精品解析：江苏泰州市靖江市实验学校2024-2025学年七年级下学期第一次阶段数学试题

2024~2025年春学期七年级第一次数学课堂练习 （考试时间：120分钟，满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列语句中，是命题的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 庄子故里欢迎您！ C. 作线段的垂线 D. 你吃饭了吗？ 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知长方形纸片， 点 、 在 边上，点、 在 边上，分别沿、 折叠，使点 和点 都落在点 处，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米． A. 40 B. 36 C. 48 D. 60 6. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 计算___________． 8. 若，，则______． 9. 古人常说的“一刹那”大约是小时，这个数据用科学记数法表示是______小时． 10. 计算：___________ 11. 若式子有意义，则实数满足___________ 12. 已知命题：“同位角相等”它的逆命题是_____________ 13. 若，则的值为___________． 14. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 15. 如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 16. 观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 已知：． （1）求的值； （2）求的值． 19. 规定，求： （1）求； （2）若，求的值． 20. 已知：，求的值． 21. 如图，已知五边形中，，求的度数． 22. 证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． 23. 图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，顺次首尾连接，若恰好经过点，且，，在一条直线上，若，，． （1）求的度数． （2）连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由． 24. 如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． （1）若，，则______°，______°． （2）若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． （3）若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 25. 阅读以下材料： 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为．对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下： 设，则 ，由对数的定义得 又 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式___________； （2）证明 （3）计算． （4）若，求的值． 26. 我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为入射光线，入射点为．为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． 根据以上材料完成下面问题： （1）如图2，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，，法线交于点．交的延长线于点，试探究与之间的数量关系并加以证明； （2）如图3，入射光线经过平面镜和处的平面镜两次反射后，得到反射光线．入射光线和反射光线的反向延长线交于点． ①若，反射光线与平行，此时为多少度． ②若，平面镜绕点旋转，是否存在一个定值，使得总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025年春学期七年级第一次数学课堂练习 （考试时间：120分钟，满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列语句中，是命题的是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 庄子故里欢迎您！ C. 作线段的垂线 D. 你吃饭了吗？ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查命题的识别，对一件事情做出判定的语句是命题，根据其定义对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A，有题设，有结论，是命题； B，有结论，没有题设，不是命题； C，有题设，没有结论，不是命题； D，疑问句，没有结论，不是命题； 故选A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，根据这些性质逐一判断各选项即可 【详解】∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，选项A正确； ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，选项B错误； ∵ 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， ∴，选项C错误； ∵ 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴ ，选项D错误； 故选：A 3. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】∵ ， ， ， ， 又∵ ， ∴ ． 4. 如图，已知长方形纸片， 点 、 在 边上，点、 在 边上，分别沿、 折叠，使点 和点 都落在点 处，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，折叠的性质，三角形外角性质，解决本题的关键是掌握折叠的性质．根据折叠性质，平行线性质，三角形内角和定理，三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∴， ∵分别沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，小明从A点出发，沿直线前进6米后向左转，再沿直线前进6米，又向左转…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）米． A. 40 B. 36 C. 48 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的外角求出边数． 【详解】解：， （米）． 【点睛】注意正多边形边数和外角的关系． 6. 已知，，为自然数，且满足，则的取值不可能是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，根据题意可得，从而得出，，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，为自然数， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的取值不可能是8， 故选：D． 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 计算___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆运算及有理数乘方的性质简便计算． 【详解】解：． 【点睛】注意利用幂的运算的简便算法． 8. 若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握同底数幂的除法的逆运算法则是解题的关键，利用同底数幂的除法的逆运算法则变形计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：2． 9. 古人常说的“一刹那”大约是小时，这个数据用科学记数法表示是______小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 10. 计算：___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用负整数指数幂的定义将原式转化为同底数幂的形式，再通过提取公因式进行合并计算． 【详解】解：． 11. 若式子有意义，则实数满足___________ 【答案】 【解析】 【分析】依据零指数幂有意义的条件求解． 【详解】解：， 解不等式得． 12. 已知命题：“同位角相等”它的逆命题是_____________ 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 13. 若，则的值为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法法则、乘方的意义进行求解． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； ∴． 14. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 15. 如图，，平分交于点，，，M、N分别是、延长线上的点，和的平分线交于点，的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用角平分线的性质，表示出相等的角，利用三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 【点睛】注意角平分线的性质，角的和差，三角形内角和定理的灵活应用． 16. 观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方进行计算； （2）利用同底数幂的乘法，积的乘方进行计算； （3）利用负整数指数幂，有理数的乘方，求一个数的绝对值，零指数幂进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】注意掌握幂的运算以及求一个数的绝对值运算法则． 18. 已知：． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）9 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用幂的乘方的逆应用进行求解； （2）利用同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用进行求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 【点睛】注意掌握幂的运算的逆应用． 19. 规定，求： （1）求； （2）若，求的值． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】（1）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则进行计算； （2）根据规定运算法则，利用同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂进行计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ， ∴， 解得 20. 已知：，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】利用积的乘方的逆应用求出的值，利用幂的乘方，同底数幂的乘法以及同底数幂相除法则化简整式，最后代数求值． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得， 将代入上式得， 原式． 【点睛】注意掌握幂的运算的法则． 21. 如图，已知五边形中，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【点睛】该题为“铅笔头”模型，添加平行线是解答的关键． 22. 证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． 【答案】 已知如图，分别平分且相交于点． 求证：． 证明：， ． 分别平分， ， ， ． 【解析】 【详解】略 23. 图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为，，，，，，，将，，，，，顺次首尾连接，若恰好经过点，且，，在一条直线上，若，，． （1）求的度数． （2）连接，当与满足怎样数量关系时，．并说明理由． 【答案】（1） （2） 如图， 当时，， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长交于K，进而解答即可； （2）根据平行线的判定和性质解答即可． 【小问1详解】 解：延长交于K， ∵ 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查平行线的判定和性质，准确添加辅助线是解题关键． 24. 如图，在中，点D在上，过点D作，交于点E．平分，交的平分线于点P，与相交于点G，过点C作交的延长线于点Q． （1）若，，则______°，______°． （2）若，当的度数发生变化时，，的度数是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求，的度数（用含m的代数式表示）． （3）若中一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】（1）114；24 （2）， （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求出，根据角平分线的定义及平行线的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可得出的度数；根据，进而可得出的度数； （2）根据角平分线的定义及平行线的性质得，根据三角形内角和定理得，则，进而可得出的度数；然后根据可得出的度数； （3）由（1）（2）可知，，，根据当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍，有以下4中情况：①当时，②当时，③当时，④当时，根据每一种情况求出m的值即可得出的度数． 【小问1详解】 解： 在中，，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， 在中，； ， ∵， ， 在中，， 【小问2详解】 解：、均不发生变化，，，理由如下： ， ，， 平分，平分， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 由（1）可知：， 在中，； 【小问3详解】 解：由（1）（2）可知：在中，，，， 当若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，有以下4中情况： ①当时，则， 解得：； ②当时，则， 解得：； ③当时，则， 解得：； ④当时，则， 解得：， 综上所述：若中存在一个内角等于另一个内角的4倍时，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行计算是解决问题的关键． 25. 阅读以下材料： 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为．对数式可以转化为． 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下： 设，则 ，由对数的定义得 又 解决以下问题： （1）将指数转化为对数式___________； （2）证明 （3）计算． （4）若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：设，则， ，由对数的定义得， 又， ∴； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用对数的定义进行求解； （2）参照的证明过程进行证明； （3）利用和进行求解； （4）根据对数定义进行变形求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意幂的运算法则以及逆应用． 26. 我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如图1，为入射光线，入射点为．为法线（过入射点且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角． 根据以上材料完成下面问题： （1）如图2，一束光线沿方向射入，先后经过平面镜反射后，沿方向射出，，法线交于点．交的延长线于点，试探究与之间的数量关系并加以证明； （2）如图3，入射光线经过平面镜和处的平面镜两次反射后，得到反射光线．入射光线和反射光线的反向延长线交于点． ①若，反射光线与平行，此时为多少度． ②若，平面镜绕点旋转，是否存在一个定值，使得总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：，理由如下： 根据题意得，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）①； ②存在，定值为2． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等以及对顶角相等证明； （2）①根据直角三角形的性质，平行线的性质，得出角的关系，利用角的和差以及三角形的外角定理进行求解； ②根据三角形的外角定理以及内角和定理，直角三角形的性质进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得， ∴； ②，理由如下： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】注意角的和差，三角形内角和定理，三角形外角定理，直角三角形的性质，平行线的性质的灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $