5.1 分式及其基本性质（分层题型专练，8夯基题型+5进阶题型+拓展培优）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

**基本信息** 练习为“分式及其基本性质”分层题型专练，以基础概念辨析、性质应用为起点，通过条件探究、规律分析到综合情境应用，构建三层递进路径，适配新授课分层巩固需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|分式识别、有意义/无意义/值为0条件、最简分式判断、简单约分|多选型+填空题夯实概念，如“识别分式”“分式有意义的条件”直接对应核心考点| |能力提升|分式值的正负/整数条件、变形判断、分子分母扩大n倍后值的变化|结合参数取值培养推理能力，如“根据分式值为整数求未知数范围”深化性质理解| |综合应用|新定义（假分式）、阅读理解（倒数法）、实际情境（港珠澳大桥）|融入跨学科情境发展应用意识，如“单位分数拆分”“杨辉三角形关联”体现创新思维|

第五章分式与分式方程 5.1分式及其基本性质 (分层题型专练) 题型分层思维导图 识别分式 分式有意义的条件 分式无意义的条件 分式的值为0的条件 ⅰ组*夯基达标题 求分式的值 最简分式的判断 约分 ⅲ组★拓展培优题 分式及其基本性质 根据题意列分式 根据分式的值的正负性求未知数的取值范围 根据分式的值为整数求未知数的取值范围 iⅱ组*进阶提质题 判断分式的变形是否正确 判断分式的分子、分母扩大n倍后的大小变化 分式中的规律问题 i组 夯基达标题 题型一识别分式 1.下列各式中，是分式的是() A.x2 B.等 C.黑 D.(x+y) 2.下列代数式是分式的是() A.Sy B.克 C.4 D. 3.若“”是分式，则”不可以是（) A.2y B.a+1 C.5x-3 D.81t 4.在式子，9,9，受，品，铝中，分式是 整式是 题型二分式有意义的条件 1.要使分式号有意义，x的取值应满足() A.x>1 B.x≠0 C.x≠1 D.x<1 2.要俊式子感有意文，则m的取值范围是（) A.m≥-1 B.m>-1 C.m>-1且m≠2D.m≥-1且m≠2 3.若V3一X十高在实数范围内有意义，则x应满足 题型三分式无意义的条件 1.若分式无意义，则x的值是() A.-2 B.0 C.1 D.2 2.当x=一1时，下列分式无意义的是() A.帝 B,高 C. D.装 3.当x= 时，分式可无意义. 4.要使分式无意义，则x的取值应满足 题型四分式的值为0的条件 1.分式号的值为0，则x的值是() A.-2 B.0 C.2 D.2或-2 2.若分式的值等于0，则x的取值为() A.X=2 B.X=-1 C.x=±2 D.x=0 3.若x=3时分式的值为0，请写出一个符合条件的分式： 4.若分式是的值为0，则x的值为 题型五求分式的值 1.若m=5,则四-444细的值为（) m2 A是 B.号 c.帚 D.昌 2.已知暗=支，则分式号的值为() A.-1 B.2 C.-4 D.5 3.若号=号，则安的值为() A. B.3 C. D.4 4.若2=3=1，那么芳的值为（) A.青 B.吉 C.1 D.3 5.已知2x-3y=0,则芒的值是 6,已知：a+吉=5，则a2+急的值为 题型六最简分式的判断 1.下列分式中，属于最简分式的是() A咎 B.xI c.器 2 D.42 2.下列分式中是最简分式的是() A. B.会 C.号 D. 3.下列分式是最简分式的是() A. B,器 x-y C.xyi D.i 4.任意写一个分母含x和y的最简分式为 5.在分式器、特、警层中，最简分式有一个。 题型七约分 1.将分式器约分，结果正确的是（) A.贸 B.等 c.9 D.3x 2.约分：分式对的结果是（) A.X-2 B.x+2 C. D.1 3.约分：器=一 4.约分：= 5.己知a,b是有理数，a>0,b<0,则嵋+自=一 题型八根据题意列分式 1.某校组织全体师生m人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发 现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆() A.驶辆 B.四辆 c.(罗+1)辆 D.(晋-1)辆 2.已知一款衣服的价格上涨x%后是α元，则这款衣服原来的价格是() A.器元 B.a(1+0)元c.元 D.1+元 3.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥.大桥全长55千米，其中包含海底隧道长约7千米.一辆汽车在海 底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢20k/h.若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为 xkh,则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为() A.小时B.年2可小时 55 55x+140 c.+20小时 D.小时 62x+140 4.某工厂原计划x天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产件产 品（用含x的式子表示）.当x=5时，现在每天要生产 件产品， ii组 进阶提质题 题型一根据分式的值的正负性求未知数的取值范围 1.若分式器的值是正数，则x的取值范围是() A.x>5 B.x<5 C.x25 D.x≤5 2.若分式需的值为负数，则x的取值范围是() A.X≠月 B.x≤-月 C.x> D.x< 3.当代数式 的值为正时，x的取值范围是() A.x≥月 B.x≥3 C.x> D.x>3 4.写出使分式的值为正数的x的一个值 5.当x时，分式最的值为负数， X-2 6,分式+的值为负数，求x的取值范围· 题型二根据分式的值为整数求未知数的取值范围 1.若分式2的值为整数，则整数x的值为() A.1 B.±1 C.3 D.1或3 2.能使分式号值为整数的整数x有()个 A.0 B.1 C.2 D.8 3。已知分式器兰的值为整数，若a是非负整数，则a的值是 4.定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.例 如：等=苧=寻+马=1+马，则特是“和谐分式”，若分式(2+)÷学的值为整数，则整 数x的值为 题型三判断分式的变形是否正确 1.下列分式变形一定正确的是() A.君=B.君=影 c.=(c≠0)D.= 2.若号=(a+b≠0，c+d≠0)，则下列等式不一定成立的是() A.光=B.若= C.开6=4 D. =提 3.下面三个式子：二=-，=一，=一世，其中正确的有 个 4.在03=等，②务=器，®站=经，@装=这儿个等式中，从左到右的变形一定正确的有 题型四判断分式的分子、分母扩大倍后的大小变化 1.如果分式号中的xy的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值() A.保持不变 B.扩大到原来的9倍 C.扩大到原来的3倍 D.缩小到原来的 2.如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值() A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的倍C.缩小为原来的言倍D.不变 3。如果把分式密中的@，b都缩小到原来的吃，那么分式的值()） A.缩小到原来的 B.不变 C.扩大2倍D.缩小到原来的字 4.若分式号中、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是， 2x 5,如果分式3x4的值为9，把式中的x,y同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 6。不改变分式的值，把等的分子、分母中含x项的系数化为整数为() A. -2x-3 B.30x+5 2-300 2x+300 C.30x+500 D._30x+500 7.改变分式动的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是() A.品 -5 B.2x+15 C. D. 西十 8.将分式言中分子、分母系数化为整数，结果为（) 3y+2s 3x-2y 2x+3y 2x-3y A.3y-2x B.3x+2 C.2x-3家 D.2x+3 9.不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数 0.5x-0.7y (1)0,2x+0.6 (2) a+0,1山b 0.02a-b 题型五分式中的规律问题 1.在计算分式号的值时，若x分别取2026,2025,2024，，2,1,0,1，京，青，，0,30， 2026,再将所得结果相加之和等于() A.-1 B.2026 C.2027 D.20262026 2.观察一列数：专，是品，号，……，按你发现的规律计算这列数的第8个数为() A.9 B.器 c.器 D.器 3.一组按照规律排列的分式：-鸟，$，一昌，哥…(a≠0，b≠0)，则第9个分式是(） A多 B.- C. D.b 4.一组按规律排列的式子：录，一条，寻，一品，…(a≠0)，其中第n个式子是一· 5.已知a1=2a2=,a3=,…,an=-是1，则a2026的值=； ii组 拓展培优题 1.若分式+中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是() A.x+y B.3x+3 C.3xy D.x2 2.若abc=1,则b+++十a-的值是() a b A.1. B.0. C.-1. D.-2. 3.根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() -2 -1 0 y 无意义 米 A.閔 B. c器 D. 4.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律 如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第 个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.若从杨辉三角 形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作a1ya2a3a4as,an,由图可知 a1=1,2=3,a3=6,.若毫+是+.+毫=8，则n=(） 杨辉三角 1 11 12 13 目1 1441 gggg用g用gg用年 A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 5.若分式号=0，则x的值为 6。分式兰5的值为正整数，则正整数x的值为 7.若实数a,b同时满足ab十2a+2b=5,ab一2a一2b=1,则言+的值为 8.定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假 分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.例如会，号都是假分式”京，器都 是“真分式”.“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式。例如会=1一是， 器==x十高=x+#=x+1十 2 1)已知式子：①发；②，③土，④x+x-可，其中属于分式的是一；属于“假分式”的是一： 属于“真分式”的是·（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值. 9.阅读下面的解题过程 已知碎=有，求舜的值 解：由=青，知x≠0，…=3： 即x十袁=3， 装=x2+京=(x+克)2-2x京=32-2=7 “器= 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知之=7， (1)求x-是的值； (2)求4的值 10.分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫"埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几 个不同单位分数之和.数学课上，张老师提出：对于任意单位分数是(a为正整数且a>1)均可以拆分成 两个不同单位分数的和.兴趣小组对此进行探究，过程如下： 【探索规律】 当a=2时，专=青十言： 当a=3时，青=寺+立： 当a=4时，寺=言十六： (1)写出a=5时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数k(k>2),亲可以拆分成 两个不同单位分数的和. 第五章 分式与分式方程 5.1 分式及其基本性质 （分层题型专练） 题型一 识别分式 1．下列各式中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式定义：一般地，如果，表示两个整式，，且中含有字母，那么式子是分式； 【详解】解：∵是整式，的分母是常数，是整式，均不符合分式定义； 的分母含有字母，符合分式定义． 2．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义进行判断，若代数式形如，其中，为整式，且分母中含有字母，则该代数式为分式，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：根据分式的定义判断： 选项A：分母是常数，不含字母，是整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项B：是常数，属于整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项C：分母为常数，不含字母，是整式，不符合分式定义，故该选项不符合题意； 选项D：分子是整式，分母是含有字母的整式，满足分式定义，故该选项符合题意． 3．若“”是分式，则“∃”不可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的定义为：若中，是整式，且中含有字母，则是分式，据此判断即可． 【详解】解：∵若是分式，则分母必须是含有字母的整式， 选项A的，选项B的，选项C的，均含有字母，符合分式的分母要求， 又∵是常数， ∴是不含字母的常数，若 ，则是整式，不是分式， 因此不可以是． 4．在式子，，，，，中，分式是_________，整式是__________． 【答案】 ，， ，， 【分析】本题考查了分式与整式的定义，掌握分式是分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含字母的代数式是解题的关键． 根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，否则是整式，逐个判断即可． 【详解】解：分式是指分母中含有字母的代数式，整式是分母中不含有字母的代数式． 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式； 对于，分母是多项式，含有字母，是分式； 对于，分母是数字，没有字母，是整式． 故答案为： 、、； 、、 题型二 分式有意义的条件 1．要使分式有意义，的取值应满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出分母不为0的式子求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴要使分式有意义，则， 解得． 2．要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：根据题意，得， 解得且， ∴的取值范围是且． 3．若在实数范围内有意义，则应满足_____． 【答案】/ 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，列出不等式组求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得． 题型三 分式无意义的条件 1．若分式无意义，则x的值是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为0，解答即可． 【详解】分式无意义， ， 解得：． 2．当时，下列分式无意义的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件，即分母的值为，将代入各选项的分母计算，找到分母为的选项即可． 【详解】解：∵分式无意义的条件是分母等于， 将代入各选项的分母计算： 对于A：分母，该分式无意义，符合题意； 对于B：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于C：分母，该分式有意义，不符合题意； 对于D：分母，该分式有意义，不符合题意， 故选：A． 3．当_______时，分式无意义． 【答案】0或1 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式无意义得出，求出的值即可得答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得：，． 故答案为：或． 4．要使分式无意义，则的取值应满足________． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件∶分母等于0，列一元一次方程求解即可． 【详解】解∶∵分式无意义，则分母等于0， ∴移项得 系数化为1得． 题型四 分式的值为0的条件 1．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 2．若分式 的值等于，则的取值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式的值等于， ∴，且， ∴． 3．若时分式的值为0，请写出一个符合条件的分式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据分式值为0的条件，即分子为0且分母不为0，构造满足条件的分式即可. 【详解】根据分式的定义，分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0. 由题意，当时分式值为0，因此可令分子为，当时，， 取分母为，当时，分母，满足分母不为0的条件， 因此得到符合条件的分式. 4．若分式的值为0，则的值为________． 【答案】8 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 题型五 求分式的值 1．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先对分子因式分解，约分化简分式后，再代入计算结果． 【详解】解：∵， 又， ∴原式． 2．已知，则分式的值为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意可得，再代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据已知比例关系表示出a和b，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∴． 4．若，那么的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】通过对已知等式整理，得到x与y的倍数关系，即可求出的值． 【详解】解：∵ ，且 ∴ 等式两边同乘，得 移项整理得 由题意可知，等式两边同时除以得 ． 5．已知，则的值是_____． 【答案】/2.5 【详解】解： ，即 ∴． 6．已知：，则的值为________． 【答案】23 【分析】本题利用完全平方公式变形，将已知等式两边平方，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：将已知等式两边同时平方，根据完全平方公式得 整理得 移项计算得 ． 题型六 最简分式的判断 1．下列分式中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A ， 分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项B 无法分解因式，分子和分母没有公因式，不能约分， 是最简分式； 选项C ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式； 选项D ，分子分母存在公因式，可约分为，不是最简分式． 2．下列分式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最简分式的定义，判断各选项分子分母是否存在除1以外的公因式，即可得到答案． 【详解】解：A、无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，则是最简分式； B、，分子分母含有公因式，不是最简分式； C、，分子分母含有公因式，不是最简分式； D、，分子分母含有公因式，不是最简分式． 3．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、 ，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、 ，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、 ，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 4．任意写一个分母含和的最简分式为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了构造最简分式． 构造一个分母同时含有和且分子与分母无公因式的分式即可． 【详解】解：分式的分母为，含有和，分子为1，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 故答案为：． 5．在分式、、中，最简分式有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了最简分式的定义．根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式为最简分式，逐一判断各分式即可． 【详解】解：对于分式，分子和分母有公因式2，可约分为，故不是最简分式； 对于分式，分子和分母无公因式，故是最简分式； 对于分式，分子可因式分解为，分母可因式分解为， 故，故不是最简分式． 因此最简分式有1个． 故答案为1． 题型七 约分 1．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 2．约分：分式的结果是（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：． 3．约分：______． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，根据分式的基本性质，约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 4．约分：_____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解： ． 5．已知a，b是有理数，，则_____ ． 【答案】0 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 题型八 根据题意列分式 1．某校组织全体师生人到革命圣地野三坡进行研学活动，租车公司提供的车每辆能乘坐人，宋老师发现除自己外，其他人刚好能将座位坐满，则学校从租车公司共租用车辆（   ） A．辆 B．辆 C．辆 D．辆 【答案】B 【分析】根据题意，总人数为，但宋老师自己除外，因此实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 本题考查了列代数式，分式的应用，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得实际乘车人数为，每辆车可坐人，且其他人刚好坐满所有座位，说明车辆数为． 故选：B． 2．已知一款衣服的价格上涨后是a元，则这款衣服原来的价格是（　　） A．元 B．a元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了分式的应用，根据涨价后的售价与原价的数量关系列式即可． 【详解】解：∵一款衣服的价格上涨后是a元， ∴这款衣服原来的价格是． 故选：D． 3．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 4．某工厂原计划天生产60件产品，若现在需要比原计划提前1天完成任务，则现在每天要生产____件产品（用含的式子表示）．当时，现在每天要生产_______件产品． 【答案】 15 【分析】本题考查列分式以及求值，理解题意，准确列出代数式是解题关键． 根据工作总量、工作时间与工作效率的关系，原计划每天生产件，现在提前1天，每天生产件，代入计算得15． 【详解】解：原计划x天生产60件产品，则原计划每天生产件产品， 现在需要比原计划提前1天完成任务，即现在所用时间为天，工作总量仍为60件，因此现在每天生产件产品． 当时，现在每天生产件产品． 故答案为：，15． 题型一 根据分式的值的正负性求未知数的取值范围 1．若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 3．当代数式的值为正时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的值，二次根式有意义的条件，正确计算是解题的关键． 根据题意列出，即可求出x的取值范围． 【详解】解：当代数式的值为正时，， 不等式组解集为：， 故选：D． 4．写出使分式的值为正数的的一个值_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的值，解一元一次不等式，熟练掌握分式的性质和一元一次不等式的解法是解题的关键．要使分式的值为正，分子为正，因此分母必须为正，由此确定的取值范围，再在范围内找一个值即可． 【详解】解：要使分式的值为正数， 分母必须为正数，即，解得， 任意大于的实数均可，例如取． 故答案为：（答案不唯一）． 5．当_____时，分式的值为负数． 【答案】 【分析】先判断分式分母的取值范围，再根据分式值为负数的条件，得到分子的不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：对于任意实数，都有， ，即分母恒为正数． 若分式的值为负数， 则分子小于， 即， 解得． 6．分式的值为负数，求的取值范围______． 【答案】且 【分析】本题考查分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母必是正数，分子的值是负数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式若有意义，分母不能为0， ∴， ∴ ∴ ∵分式的值为负数， ∴， 解得：且， 故答案为：且． 题型二 根据分式的值为整数求未知数的取值范围 1．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 2．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 3．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 4．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查求使分式值为整数时未知数的整数值． 首先将原分式化简为，然后将其表示为整数与分式的和形式，根据值为整数的条件，确定需为1的约数，并排除分母为零的情况． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴的值为整数， ∵为整数， ∴为整数， 要使的值为整数，则为分子1的约数， ∴或， 解得或 ， 当 时原分式分母为零，无意义， ∴舍去， 当时，此时原分式分母均不为零，且值为整数， 验证：当 时，，为整数，满足题意， ∴整数的值为． 故答案为：． 题型三 判断分式的变形是否正确 1．下列分式变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：对于选项A：举反例，当，时，，，则，故A错误； 对于选项B：举反例，当，时，，，则，故B错误； 对于选项C：由分式的基本性质，分子分母同乘以不为零的整式，分式的值不变，故C正确； 对于选项D：举反例，当，时，，，则，故D错误． 2．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 3．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 4．在①，②，③，④这几个等式中，从左到右的变形一定正确的有______． 【答案】②④ 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质中，同乘的整式必须不为0的要求，逐一判断变形是否正确即可. 【详解】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此逐一判断： ①，当时，该变形不成立，故①错误； ②，分式有意义，则，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故②正确； ③，当时，该变形不成立，故③错误； ④，由平方的非负性得，因此，分子分母同乘不等于0的整式，变形成立，故④正确. 题型四 判断分式的分子、分母扩大n倍后的大小变化 1．如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 【答案】C 【分析】将x，y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：将和分别替换原分式中的和， ∵ ∴新分式的值是原分式的倍，即分式的值扩大到原来的倍． 2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．不变 【答案】D 【详解】解：把分式中的、都扩大为原来的3倍可得： ， ∴分式的值不变． 3．如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 4．若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 5．如果分式的值为9，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值是______． 【答案】3 【分析】根据分式的基本性质计算求解． 【详解】解：∵分式的值为9，把式中的x，y同时扩大为原来的3倍， ∴原式＝． 故答案为：3． 【点睛】本题考查利用分式的基本性质判断分式值的变化，理解分式的基本性质准确对原式进行化简计算是解题关键． 6．不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 7．改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 8．将分式中分子、分母系数化为整数，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要将分式的分子、分母的系数化为整数，需要找到分子、分母中各项系数的分母的最小公倍数，然后根据分式的基本性质，将分子、分母同时乘以这个最小公倍数． 【详解】解：． 9．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数． （1）________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质的应用．根据分式的基本性质，给分子与分母同乘一个合适的非零整数，将分子、分母中各项系数化为整数，第一问选择乘10，第二问选择乘100后再约分即可． 【详解】解：（1）； （2）． 题型五 分式中的规律问题 1．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 2．观察一列数：，按你发现的规律计算这列数的第8个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别观察数列分子、分母和对应序号的关系，总结出第n个数的规律，代入计算即可得到结果. 【详解】解：序号为1时，分子，分母； 序号为2时，分子，分母； 序号为3时，分子，分母； 序号为4时，分子，分母； ∴ 可得规律：第个数为， 将代入公式，得， 因此第8个数为. 3．一组按照规律排列的分式：，，，（，），则第个分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数式类规律探索，解答本题的关键是发现每一项的变化特点，求出相应的项．观察分式的规律：符号交替为负、正、负、正，的指数为奇数序列，，，，，的指数为，，，，，归纳出第项公式，再代入计算即可． 【详解】解：第个分式的符号为，的指数为，的指数为， 第个分式为， 当时，第个分式为． 故选：D． 4．一组按规律排列的式子：，，，，（），其中第个式子是_____． 【答案】. 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果． 【详解】∵, ， ， … 第个式子应为：， 故答案为：． 5．已知，则的值________； 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律探究、数列的周期性及有理数的运算，熟练掌握通过计算前几项寻找数列周期，再利用周期解决问题的方法是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，即每项重复一次：，，．计算除以的余数，余数为，对应周期中的第一项，因此 ． 【详解】解：计算序列的前几项： ， ， ， ， ， ， 由此可知序列周期为，即． ， 因此， 故答案为：． 1．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 2．若，则的值是（     ） A．1． B．0． C．-1． D．-2． 【答案】A 【详解】解：， 、、的值均不为0． ． 3．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 4．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一系列新的数，依次记作，由图可知若，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】根据题中数据，发现规律，再由裂项相消的方法求和后解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，的规律是， 则， ， ， 解得． 5．若分式，则x的值为______． 【答案】－1 【分析】根据分式值为零的条件，需同时满足分子等于零，分母不等于零，先求解分子得到的可能取值，再排除使分母为零的取值，即可得到最终结果． 【详解】解：由题意可得 解，得，即， 由，得， ． 6．分式的值为正整数，则正整数x的值为______． 【答案】1或2/2或1 【分析】先把分式进行因式分解，然后约分，再根据分式的值为正整数，得出的取值，从而得出x的值． 【详解】解：， 要使的值为正整数，则分母是2的约数，即的值可以为1，，2，， 当时，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数； 当，，此时，不是正整数； 当，，此时，是正整数， ∵x为正整数， ∴或1． 7．若实数a，b同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先通过加减消元法求出和的值，再将分式通分，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ； ， ， ； ∵， 将、代入： ． 8．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如，都是“假分式”；，都是“真分式”．“假分式”可以化为整式与“真分式”的和或差的形式．例如，． (1)已知式子：①；②；③；④．其中属于分式的是_____；属于“假分式”的是_____；属于“真分式”的是_____．（填序号） (2)若分式的值为整数，求所有符合条件的整数的值． 【答案】(1)①③④；③；①④ (2)符合条件的整数的值是0，1，，2 【分析】（1）根据分式的定义判断，根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式进行判断即可； （2）先把分式化为带分式的形式，然后问题即可求解． 【详解】（1）解：式子：①；②；③；④． 其中属于分式的是①③④；属于“假分式”的是③；属于“真分式”的是①④； （2）解：． ∵分式的值为整数，为整数， ，均为整数， 或或或， ∴符合条件的整数的值是0，1，，2． 9．阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 10．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … (1)写出时的拆分结果； (2)【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； (3)【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】(1) (2)猜想：（为正整数，且），证明见解析 (3)（为奇数，且），证明见解析 【分析】（1）通过观察已知的拆分结果，找出规律，进而写出时的拆分结果； （2）根据前面的规律猜想出的拆分结果，然后通过分式的运算进行证明； （3）先仿照前面的过程探索的拆分规律，再进行证明． 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明： ； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明： ． 学科网（北京）股份有限公司 $