5.1分式及其基本性质 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 同步练，初中数学，分式及其基本性质，新授课。分层覆盖基础概念到综合应用，梯度从单一知识点到新定义问题，适配新授课巩固与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式概念、有意义条件、值为零|直接考查定义，如选择1-4、填空11-12| |中档|分式性质、约分、化简求值|结合运算，如选择7-9、解答18| |提升|新定义、周期规律、最值问题|培养推理与创新，如选择10、解答19|

5.1分式及其基本性质 2025-2026学年北师大版八年级数学下 一．选择题（共10小题） 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A．2026x B． C． D． 2．代数式、、、中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x＝﹣3 B．x≠0 C．x＞﹣3 D．x≠﹣3 4．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 5．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．0或﹣2 6．设a＞b＞0，a2+b2＝4ab，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 7．如果分式中的x、y都扩大为原来的3倍，那么所得分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不确定 8．将分式约分，结果正确的是（　　） A． B． C． D．3x 9．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（　　） ①a2025＝x+4； ②若，则； ③若a1•a2•a3…a23＝8，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数x共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　 ． 12．若分式的值为0，则x的值为　 　 ． 13．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且代数式的值是整数，则符合条件的所有整数a的值的和为　 　 ． 14．若，则的值为 　 　 ． 15．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子A是　 　 ． 16．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 　 　 （填序号即可）． ①；②；③；④． 三．解答题（共3小题） 17．已知当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0．求a+b的值． 18．已知x﹣2y＝0，求分式的值． 19．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 5.1分式及其基本性质 2025-2026学年北师大版八年级数学下 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列代数式中，是分式的是（　　） A．2026x B． C． D． 【解答】解：A、不是分式，故此选项不符合题意； B、不是分式，故此选项不符合题意； C、是分式，故此选项符合题意； D、不是分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．代数式、、、中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：代数式、、、中，分式有，，共2个， 故选：B． 3．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　） A．x＝﹣3 B．x≠0 C．x＞﹣3 D．x≠﹣3 【解答】解：∵分式有意义， ∴x+3≠0， ∴x≠﹣3， 故选：D． 4．若分式的值为零，则x的值为（　　） A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【解答】解：依题意，得 x2﹣4＝0，且x+2≠0， 解得，x＝2． 故选：B． 5．当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．0或﹣2 【解答】解：原式 ＝1， ∵x取不超过6的正整数， ∴x＝1、2、3、4、5、6， ∵分式有意义， ∴x≠0且x≠3， ∴当x＝1时，分式的整数值﹣2． 故选：C． 6．设a＞b＞0，a2+b2＝4ab，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：由条件可知． 又∵，且 a2+b2＝4ab， ∴， ∴． 故选：C． 7．如果分式中的x、y都扩大为原来的3倍，那么所得分式的值（　　） A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不确定 【解答】解：由题意得： ， ∴如果分式中的x、y都扩大为原来的3倍，那么所得分式的值扩大为原来的3倍， 故选：A． 8．将分式约分，结果正确的是（　　） A． B． C． D．3x 【解答】解：原式 ， 故选：B． 9．下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A． ，所以A选项不符合题意； B． 为最简分式，所以B选项符合题意； C． ，所以C选项不符合题意； D． x2+1，所以D选项不符合题意． 故选：B． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，以此类推，第n个数记为an（n为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（　　） ①a2025＝x+4； ②若，则； ③若a1•a2•a3…a23＝8，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数x共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：由题意可知， ， ， ， ， ， ∴该数列每6个数为一个周期循环． ∵2025÷6＝337⋯⋯3， ∴a2025＝a3＝x+4，故①正确，符合题意； ∵，a3＝x+4，， ∴，即x2＝3﹣4x， ∴，故②正确，符合题意； ∵一个周期内a1a2a3a4a5a6＝1，23＝6×3+5 ∴，解得x＝4， ∵31÷6＝5⋯⋯1， ∴，故③错误，不符合题意； ∵2024÷6＝337⋯⋯2，2025÷6＝337⋯⋯3 ∴，a2025＝a3＝x+4， 则 ∵原式为整数，x为整数， ∴x+3是4的约数，即x+3＝±1，±2，±4， ∴x＝﹣2，﹣4，﹣1，﹣5，1，﹣7 又∵分式的分母不能为0， ∴x≠0，x+3≠0，x+4≠0， ∴x≠0，x≠﹣4，x≠﹣3， 舍去x＝﹣4，共5个满足条件的整数x，故④错误，不符合题意； 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≠2026　 ． 【解答】解：∵代数式有意义， ∴x﹣2026≠0， 解得x≠2026． 故答案为：x≠2026． 12．若分式的值为0，则x的值为　﹣2　 ． 【解答】解：根据题意可知，0， ∴， 解得：x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≥5，且代数式的值是整数，则符合条件的所有整数a的值的和为　﹣2　 ． 【解答】解：由2x﹣1≤3（x﹣2）得，x≥5， 由得，x＞a+2． 因为该不等式组的解集为x≥5， 所以a+2＜5， 解得a＜3． 又因为代数式的值是整数， 所以符合条件的所有整数a为2，0，﹣1，﹣3， 则2+0+（﹣1）+（﹣3）＝﹣2， 所有符合条件的所有整数a的值的和为﹣2． 故答案为：﹣2． 14．若，则的值为 　　 ． 【解答】解：∵， ∴y＝2x， ∴． 故答案为． 15．某同学将分式约分后得到最简分式，则原分式的分子A是　2x2﹣6x ． 【解答】解：利用分式约分的逆运算求解可得： 2x（x﹣3）＝2x2﹣6x． 故答案为：2x2﹣6x． 16．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，是“和谐分式”的是 　②　 （填序号即可）． ①；②；③；④． 【解答】解：①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”， ②的分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，故该分式是“和谐分式”， ③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有x+y，可以约分，故该分式不是“和谐分式”， ④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有a+b，可以约分，故该分式不是“和谐分式”， 所以，上列分式中，是“和谐分式”的是：②， 故答案为：②． 三．解答题（共3小题） 17．已知当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分式的值为0．求a+b的值． 【解答】解：根据题意得：1﹣a＝0， 解得：a＝1， ∵x＝4时，分式的值为0， ∴4+2b＝0， 解得：b＝﹣2， ∴a+b＝﹣1． 18．已知x﹣2y＝0，求分式的值． 【解答】解：， ∵x﹣2y＝0， ∴x＝2y， ∴原式2． 19．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，则和都是“和谐分式”． （1）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （2）应用：求分式的最大值； （3）应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， ∵x2≥0， ∴x2+1的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）原式 ， 当x+1＝±2，x+1＝±1时，是整数； 即当x＝1，﹣3，0，﹣2时，是整数； ∵分母不能为0， ∴x≠﹣1，0，1，﹣2， 故只有当x＝﹣3时，分式的值为整数． ∴当x＝﹣3时，分式运算的结果是整数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/23 10:51:47；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $