精品解析：2025年河北省沧州市东光县中考二模数学试题

2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（联考） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，若反射光线为n，则最符合要求的入射光线是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则整数n的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 3. 下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，则下列不属于其三视图中的是（ ） A. B. C. D. 5. 随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（ ） A. “”表示邻补角定义 B. “”表示同旁内角互补 C. “”表示对顶角相等 D. “”表示同角的余角相等 7. 如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（ ） A 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 8. 如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 9. 某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 10. 甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 两根分别是2和5 D. 两根分别是和 11. 如图，正六边形中，是其对角线，点P是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点P作，交延长线于点M． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作，分别交、于点Q、N． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（ ） A. 嘉嘉和琪琪均错误 B. 嘉嘉和琪琪均正确 C. 嘉嘉正确，琪琪错误 D. 嘉嘉错误，琪琪正确 12. 天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（ ） A 庚子赔款——1900年 B. 辛酉政变——1861年 C. 丁巳京察——1617年 D. 壬寅宫变——1543年 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若逆时针方向旋转记作，则顺时针旋转记作_____． 14. 如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则________． 15. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是_______． 16. 如图，菱形中，，点E是边上的点，，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点F在直线上运动时，线段的最小值是_____ 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是实数m，且． （1）求实数m值； （2）一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若，点C对应的实数为n， ①点B在点C________；（填“左侧”或“右侧”） ②求n的取值范围． 18. 已知整式，，分式． （1）化简分式C； （2）请从“，0，1”中选择一个合适的值作为C的结果，求出相对应的x． 19. 某班40名学生进行数学测验（满分20分），随机抽取10人的真实成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19． （1）直接写出该样本数据的中位数和众数； （2）嘉嘉抄录样本数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，则他抄错的原成绩是________分； （3）已知全班的平均分是16.2分．淇淇说：所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．通过计算说明淇淇的说法是否正确． 20. 下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹E正好在试管靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． （1）_______，并求管口B的高度； （2）若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取0.98） 21. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． （1）求线段所在直线的解析式及m的值； （2）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 22. 音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图1），图2为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点P，点C在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）①尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点Q（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求长方体木块的高； （3）如图3，弦交于G，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图4中的U型塑料管，将拨弦线与U型截面平行，并套在U型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 23. 如图，在河道中，建有三个钢拱，包括一个主拱和两个腹拱，均呈抛物线型．主拱跨度米，拱顶C到主拱水面距离为米，两侧各有一个对称腹拱，右侧腹拱跨度为，顶点为D．以主拱水面为x轴，过顶点C的垂线为y轴建立坐标系，设主拱抛物线解析式为，右侧腹拱所在抛物线解析式为． （1）直接写出b的值，并求a； （2）求的长； （3）汛期水位上涨，当刚好到达点D时，需在主拱内边缘两侧各对称安装一根临时支撑柱和（要求：支撑柱顶端M、在主拱上，底端N、在腹拱上，且、均垂直水平面）， ①请在第一象限画出的示意图；（任意画出一条即可） ②当支撑柱高度为米时，分别求M和的横坐标． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿折线向点C运动，连接，将绕点D顺时针旋转得到，旋转角等于，作于F，设点P运动的路程为． （1）的长为______；按角分，的形状是_____； （2）当点P在边上时． ①求证：； ②当点E落在上时，求x的值； （3）当点P经过的平分线时，求的长； （4）已知是的中线，若线段与中线有交点，直接写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（联考） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，若反射光线为n，则最符合要求的入射光线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，垂线的画法， 根据直线的性质画出被遮住的部分，再根据入射角等于反射角作出判断即可． 【详解】解：根据直线的性质补全图2并作出法线，如下图所示： 根据图形可以看出入射光线是， 故选：C． 2. 若，则整数n的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，理解二次根式的性质是解答关键． 根据来进行计算求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3. 下列选项中，其中一个的计算结果和其他三个不同，则这个不同的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，根据同底数幂的乘法，幂的乘方法则，进行计算，判断即可． 【详解】解：，，，； 故不同的式子是； 故选D． 4. 如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，则下列不属于其三视图中的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，找到从正面、左面、上看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：主视图为： ， 左视图为： ， 俯视图为： ， 故选：A． 5. 随机转动如图的游戏转盘，当转盘停止转动后，指针落在“B”所示区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单概率的计算，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算公式． 先求出区所对应的圆心角度数，然后利用简单概率公式求解即可． 【详解】解：由扇形统计图可知，区所对应的圆心角度数为， 所以，指针落在“B”所示区域内的概率是， 故选：A． 6. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号内符号所代表的内容． 如图，直线、相交于点O，求证：． 证明：因为，（），所以（）． 则回答正确的是（ ） A. “”表示邻补角的定义 B. “”表示同旁内角互补 C. “”表示对顶角相等 D. “”表示同角的余角相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，同角的补角相等，根据邻补角互补可得，，则由等角的补角相等可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，“”表示邻补角的定义，“”表示同角的补角相等， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数的图象上，根据图中四点的位置，其中不在反比例函数图象上的点是（ ） A. 点P B. 点Q C. 点M D. 点N 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象．由图知反比例函数的图象在一、三象限，故不在图象上． 【详解】解：∵恰有三点在反比例函数的图象上， ∴由图知反比例函数的图象必经过第一象限的P，Q两点， ∴反比例函数图象在第一、三象限， 又∵在第二象限， ∴四个点中点不在函数的图象上． 故选：D． 8. 如图，点B是线段上靠近点A的三等分点，若，则的长用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法与线段间的计算，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键，利用B是线段上靠近点A的三等分点，求出的长，再根据科学记数法的表示方法表示即可得答案． 【详解】解：∵B是线段上靠近点A的三等分点， ∴, 故选：D． 9. 某校九年级261位学生参加理化实验考试，其中某班35位学生的物理成绩与理化总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生，则三人中化学成绩最好的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的意义和识图的能力，甲、乙理化成绩非常靠前，但是甲的物理成绩非常靠后，则可得到甲的化学成绩比乙好，而丙的物理成绩非常好，而理化成绩一般，则丙的化学成绩比乙差，据此可得答案． 【详解】解：由统计图可知，乙的物理成绩非常靠前，甲的物理成绩非常靠后，但是甲、乙两人的理化成绩相差不大，则甲的化学成绩非常好， 丙的物理成绩非常靠前，但是理化成绩比乙差，说明丙化学成绩比乙差， ∴三人中化学成绩最好的是甲， 故选：A． 10. 甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 两根分别是2和5 D. 两根分别是和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设原方程为， 由题意得，，， ，， 原方程为，即， 解得：，， 原方程根的情况是两根分别是2和5． 故选：C． 11. 如图，正六边形中，是其对角线，点P是边上不与端点重合的动点，下面是两位同学的操作和结论： 嘉嘉 操作：过点P作，交延长线于点M． 结论：一定是正三角形 琪琪 操作：过点P作，分别交、于点Q、N． 结论：的长度不变 则对于这两个结论（ ） A. 嘉嘉和琪琪均错误 B. 嘉嘉和琪琪均正确 C. 嘉嘉正确，琪琪错误 D. 嘉嘉错误，琪琪正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角，等边三角形的判断，平行四边形的判定与性质等知识，根据正六边形的性质可求出，，根据平行线的性质可得出，，则可证是正三角形，即可判断嘉嘉的结论；证明四边形是平行四边形，得出，即可判断琪琪的结论． 【详解】解：∵正六边形，是其对角线， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是正三角形， 故嘉嘉正确， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即的长度不变， 故琪琪正确， 故选：B． 12. 天干地支纪年法是指中国传统纪年历法，是自上古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法对应的规律如表， 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 甲 乙 丙 … 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 子 … 干支纪年 甲子年 乙丑年 丙寅年 丁卯年 戊辰年 己巳年 庚午年 辛未年 壬申年 癸酉年 甲戌年 乙亥年 丙子年 … 已知今年是乙巳年，则下列历史事件与时间对应错误的是（ ） A. 庚子赔款——1900年 B. 辛酉政变——1861年 C. 丁巳京察——1617年 D. 壬寅宫变——1543年 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知：天干以10年为一个周期，地支以12年为一个周期， ∵年是乙巳年，且，， ∴天干的确定方法为年份减去3后再除以10取余，地支的确定方法为：年份减去3后再除以12取余； ∴，， ∴1900年庚子年，故A正确；不符合题意； ∴，， ∴1861年为辛酉年，故B正确；不符合题意； ∴，， ∴1617年为丁巳年，故C正确；不符合题意； ∴，， ∴1543年为癸卯年，故D错误；符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 若逆时针方向旋转记作，则顺时针旋转记作_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，解题的关键是要明确正、负数是两种相反意义的量． 根据正负数是表示一对意义相反的量进行求解． 【详解】解：逆时针方向旋转记作，则顺时针旋转记作， 故答案为：． 14. 如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据每行、每列及对角线上三个数的和都相等，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得： ，解得：； 故答案为：． 15. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是_______． 【答案】256 【解析】 【分析】结合题中的操作顺序，对256进行运算，结合二次根式的估算， 要想确定只需进行4次操作后变为1的所有正整数，关键是确定第三次操作后数的大小不能大于4，第二次操作时根号内的数不大于16，而一次操作时正整数必须不大于256，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴只需进行4次操作后变为 1的所有正整数中，最小的是256， 故答案为：256． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小的知识，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． 16. 如图，菱形中，，点E是边上的点，，，点F是上的一点，是以点G为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点F在直线上运动时，线段的最小值是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．过点作，则点四点共圆，从而得到，根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点， ， 点四点共圆， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是实数m，且． （1）求实数m的值； （2）一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C，若，点C对应的实数为n， ①点B在点C________；（填“左侧”或“右侧”） ②求n的取值范围． 【答案】（1）8 （2）①左侧；② 【解析】 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）①通过分析当点C位于线段上时，，不符合题意，从而确定点C位于线段的延长线上， ②根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【小问1详解】 解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； 【小问2详解】 解：①当点C位于线段上时，，不符合题意， ∴点C位于线段的延长线上，即点B在点C左侧， 故答案为：左侧； ②由点C对应的实数为n，且点B在点C左侧，则， 得， 解得． 18. 已知整式，，分式． （1）化简分式C； （2）请从“，0，1”中选择一个合适的值作为C的结果，求出相对应的x． 【答案】（1）； （2）当时， ； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）把，代入中，根据完全平方公式化简即可； （2）当，0，1时，分别分析求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 小问2详解】 解：当时，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， 当时，即， 解得：（原方程分母为，舍去）， 当时，即，无解， ∴当时， ； 19. 某班40名学生进行数学测验（满分20分），随机抽取10人的真实成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19． （1）直接写出该样本数据的中位数和众数； （2）嘉嘉抄录样本数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，则他抄错的原成绩是________分； （3）已知全班的平均分是16.2分．淇淇说：所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．通过计算说明淇淇的说法是否正确． 【答案】（1）中位数为，众数为18； （2）18 （3）淇淇的说法正确．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了数据分析中众数、中位数、平均数的知识；求解关键是准确掌握中位数、众数、平均数定义，从而计算得到答案． （1）根据众数和中位数的定义，即可求解； （2）根据众数的定义求解即可； （3）根据平均数的定义计算，即可计算得到答案． 【小问1详解】 解：样本数据重新排列为：12，14，15，16，17，18，18，18，19，20． 中位数为， 18出现了三次，出现次数最多，则众数为18； 【小问2详解】 解：嘉嘉抄录样本数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，则他抄错的原成绩是18分； 故答案为：18； 【小问3详解】 解：淇淇的说法正确．理由如下： 样本数据的平均数为， ， ∴淇淇的说法正确． 20. 下面是化学中制取氧气的常见实验，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度，水平放置的水槽高度，，试管长，固定夹E正好在试管靠近开口B的三等分点上，试管倾斜角为，直导管过水槽端点M．点C，D，N均在一条直线上． （1）_______，并求管口B的高度； （2）若，求铁架与水槽之间的距离．（参考数据：取0.21，取0.98） 【答案】（1）9， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过B作于P，在中，根据正弦的定义求出，即可求解； （2）过M作于G，过B作于H，则四边形、都是矩形，得出，，，，，可证，根据等角对等边得出，在中，根据余弦定义求出，然后根据线段的和差关系即可求解． 【小问1详解】 解：∵，固定夹E正好在试管靠近开口B的三等分点上， ∴， 过B作于P， 则， ∴， 又， ∴管口B的高度为； 【小问2详解】 解∶过M作于G，过B作于H， 则四边形、都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴， ∴， 即铁架与水槽之间的距离为． 21. 如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． （1）求线段所在直线的解析式及m的值； （2）若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了直线过定点问题，待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是关键． （1）待定系数法求函数解析式，然后代入点的坐标求值； （2）根据一次函数图像性质列不等式求解； （3）首先分析求得直线必经过定点，然后再通过分析临界点，即当直线经过B点时，当直线经过A点时，直线与线段有交点，从而确定n的取值范围． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：，将，代入可得 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 将代入可得：，解得； 【小问2详解】 解：若直线l不经过第一象限，则时，解得； 【小问3详解】 解：由直线整理可得， 当时， ∴直线必经过定点， 当直线经过B点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得； 当直线经过A点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得， ∴n的取值范围为． 22. 音乐课上，老师带领同学们自制弹拨乐器，将空心不带盖的塑料圆管放置在水平台面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定（图1），图2为其截面示意图，半径为的与水平台面相切于点P，点C在上，两木块之间的距离． （1）直接写出的度数； （2）①尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点Q（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②求长方体木块的高； （3）如图3，弦交于G，且． 操作：将塑料圆管沿切割取下面的部分，得到图4中的U型塑料管，将拨弦线与U型截面平行，并套在U型塑料管上便得到自制弹拨乐器． 计算：求每一根拨弦线的长． 【答案】（1）； （2）①见解析；②； （3）每一根拨弦线的长为． 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质即可求解； （2）①尺规作图即可； ②利用垂径定理和勾股定理求解即可； （3）根据垂径定理和圆周角定理得出，，，然后通过，从而求得的长；再通过弧长公式求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵是的切线，切点为于P， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，即为所作， ②连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在同一直线上， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，弦交于G， ∴，，， ∴， ∴； ∵的长为， ∴则每一根拨弦线长为． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，勾股定理，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． 23. 如图，在河道中，建有三个钢拱，包括一个主拱和两个腹拱，均呈抛物线型．主拱跨度米，拱顶C到主拱水面的距离为米，两侧各有一个对称腹拱，右侧腹拱跨度为，顶点为D．以主拱水面为x轴，过顶点C的垂线为y轴建立坐标系，设主拱抛物线解析式为，右侧腹拱所在抛物线解析式为． （1）直接写出b的值，并求a； （2）求的长； （3）汛期水位上涨，当刚好到达点D时，需在主拱内边缘两侧各对称安装一根临时支撑柱和（要求：支撑柱顶端M、在主拱上，底端N、在腹拱上，且、均垂直水平面）， ①请在第一象限画出的示意图；（任意画出一条即可） ②当支撑柱高度为米时，分别求M和的横坐标． 【答案】（1）， （2）6 （3）①见解析；②M的横坐标为15，的横坐标为 【解析】 【分析】（1）根据，，得，，得，代入，解得； （2）令，求得，得； （3）设，得，得，解得（舍去），得M的横坐标为15，由对称性得的横坐标为． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：时， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图所示， ②由（1）可得， ∵， ∴设， ∴， ∵ ∴， 解得（舍去）， ∴M的横坐标为15， 由对称性知，的横坐标为． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用——拱桥问题，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，坐标轴上或平行坐标轴的线段的长度，分类讨论，是解答的关键． 24. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿折线向点C运动，连接，将绕点D顺时针旋转得到，旋转角等于，作于F，设点P运动的路程为． （1）的长为______；按角分，的形状是_____； （2）当点P在边上时． ①求证：； ②当点E落在上时，求x的值； （3）当点P经过的平分线时，求的长； （4）已知是的中线，若线段与中线有交点，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）；直角三角形 （2）①见解析；② （3） （4） 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理逆定理可得到，即可得出结论； （2）①根据题意可得，，进而得到，可证明，根据全等三角形的性质即可证明；②由，，可得，推出，求出，根据即可求解； （3）如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点N，根据角平分线性质证明，推出，，设，则，利用勾股定理求出，再利用正切的性质得到，设，则，利用勾股定理求出，，证明四边形是矩形，求出，由旋转的性质得，，证明，即可推出； （4）分为：点在上时，点在上时，两种情况讨论． 【小问1详解】 解：，，， ， ，， ， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 ① 证明：由题意，得，， ， 即， 又， 在和中， ， ， ； ②，， ， 若点在上，则， ， 而，，， ， ， ， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点P作，垂足分别为，过点作于点N， ∵点P在的平分线上，， ∴，，， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，即， ∵， ， ； 【小问4详解】 解：如图1，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 由（2）知， ∴， 点在上时，，， ， 又， ， ∴， ， ∴， 此时，； 如图2，过点作于点，过点作于点． 点在上时，， 根据题意可得：，， ，即， ，， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ， ， ， 解得:， 此时，， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理及其逆定理、三角形全等的判定及性质、相似三角形的判定与性质，三角函数值等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$