专题01 幂函数与指数函数中的三类综合题型（压轴题专项训练）数学沪教版2020必修第一册

专题01 幂函数与指数函数中的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂函数与指数函数中的不等关系判断 类型二、幂函数与指数函数中的参数范围问题 类型三、幂函数与指数函数的图象及应用 压轴专练 类型一、幂函数与指数函数中的不等关系 (1)比较幂值的大小,若指数相同,利用幂函数单调性,若底数相同利用指数函数单调性,有时也可能利用0,1等中间量比较大小,有时需要把幂值作为中间量,如比较的大小,可把作为中间量； (2)当或时；当或时； (3)在确定幂函数与指数函数中的不等关系时有时可利用作差或基本不等式求解. 【例1】已知,,则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【解析】令,在R上都单调递增,则函数在R上单调递增,同理在R上单调递增,而,,则；,,则,即,所以.故选C. 【变式1-1】已知,则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】若,其中m,n均为实数,则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】设大于1的实数,满足,,则（    ） A． B． C． D． 类型二、幂函数与指数函数的参数问题 参数问题的求解策略 (1)给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式(组)求参数的值或取值范围； (2)根据函数单调性求参数范围,通常要根据式子的结构构造相应的函数； (3)根据不等式恒成立或方程、不等式有解求参数范围,通常分离参数转换为函数求最值或值域. 【例2】已知函数的值域为,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为,值域为,所以对于时的函数值范围应包含,若函数值含有正数则正数部分不超过,根据图像可知. 【变式2-1】已知,若对任意,不等式 恒成立,则实数a的取值范围是 ． 【变式2-2】设,若有不相等的实数满足,则的取值范围是 . 【变式2-3】已知定义在的严格增函数与.若对任意实数,存在实数和,不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 类型三、幂函数与指数函数的图象及应用 1.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把(且)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到的图象,注意的图象关于直线对称； 2.函数图象的辨识可从以下方面入手 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势； (3)根据图象的对称性进行判断； (4)从函数的特殊点,排除不合要求的图象． 3.利用幂函数的图象及平移变换可作一次分式函数的图象,该函数的图象为双曲线,关于点对称. 【例3】函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】A选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,A选项错误； B选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,B选项错误； C选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,C选项正确； D选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,D选项错误；故选C. 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中,二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【变式3-3】已知幂函数,当取不同的正数时,在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点,,连接,线段恰好被其中的两个幂函数,的图象三等分,即有,那么（   ） A． B． C．1 D．3 一、填空题 1．若,且函数与的图象若有1个交点,则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点,则满足条件的不同集合A有 个． 2．已知a为奇数且,则关于x的不等式的解集为 ． 3．若函数对于任意,总存在使得,则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”,则实数的取值范围是 . 4．设且,函数、的定义域都是,且满足,（其中表示最小值）．记函数的值域为,若集合中仅有四个元素,则实数的取值范围为 ． 5．函数的定义域为,值域为,则的最大值为 ． 6．如图是幂函数的部分图像,已知分别取这四个值,则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 7．若对任意,都有成立,则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 8．若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知 ,则下列命题中真命题的个数为（   ） ①至少有一个不小于1；  ②至少有一个不大于1 ； ③恒成立；     ④恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 10．数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现,工人工作效率E与工作年限r（）,劳累程度T（）,劳动动机b（）相关,并建立了数学模型,已知甲、乙为该公司的员工,则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 11．函数满足：对于任意都有,（常数,）.给出以下两个命题：①无论取何值,函数不是上的严格增函数；②当时,存在无穷多个开区间,使得,且集合对任意正整数都成立,则（    ） A．①②都正确 B．①正确②不正确 C．①不正确②正确 D．①②都不正确 12．已知函数,若对于任意的、、,以、、为长度的线段都可以围成三角形,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 三、解答题 13．已知,,,幂函数在区间上是严格增函数． (1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数,求实数的范围； (3)若,关于的方程的两实根分别为,（其中）,求的值． 14．对于函数,若存在实数对,使得等式对定义域中的任意都成立,则称函数是“型函数”． (1)判断函数,是否是“型函数”； (2)若函数（其中为常数,且）是“型函数”,且存在满足条件的实数对,求实数满足的关系式： (3)若定义域为的函数是“型函数”,且存在满足条件的实数对和,当时,的值域为,求当时,函数的值域． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂函数与指数函数中的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、幂函数与指数函数中的不等关系判断 类型二、幂函数与指数函数中的参数范围问题 类型三、幂函数与指数函数的图象及应用 压轴专练 类型一、幂函数与指数函数中的不等关系 (1)比较幂值的大小,若指数相同,利用幂函数单调性,若底数相同利用指数函数单调性,有时也可能利用0,1等中间量比较大小,有时需要把幂值作为中间量,如比较的大小,可把作为中间量； (2)当或时；当或时； (3)在确定幂函数与指数函数中的不等关系时有时可利用作差或基本不等式求解. 【例1】已知,,则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【解析】令,在R上都单调递增,则函数在R上单调递增,同理在R上单调递增,而,,则；,,则,即,所以.故选C. 【变式1-1】已知,则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,单调递增,,所以,同理,函数是增函数,所以.综上,可得． 【变式1-2】若,其中m,n均为实数,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由变形,可得：,设函, 因为指在上单调递增,在上单调递减,所以在上单调递增.由可得,即.故选C. 【变式1-3】设大于1的实数,满足,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】,又,,且时,随的增大而增大, ,,,则,即．故选D． 类型二、幂函数与指数函数的参数问题 参数问题的求解策略 (1)给出函数定义域与值域的关系求参数的取值或取值范围,通常是先确定所给函数的单调性,然后根据函数单调性列出关于参数的方程或不等式,通过解方程或不等式(组)求参数的值或取值范围； (2)根据函数单调性求参数范围,通常要根据式子的结构构造相应的函数； (3)根据不等式恒成立或方程、不等式有解求参数范围,通常分离参数转换为函数求最值或值域. 【例2】已知函数的值域为,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为,值域为,所以对于时的函数值范围应包含,若函数值含有正数则正数部分不超过,根据图像可知. 【变式2-1】已知,若对任意,不等式 恒成立,则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题可得,又注意到在上单调递增,在上单调递增,,则在R上单调递增.则 得,由,则.则关于x的一次函数在上单调递增,要使恒成立,则, 即,解得：. 结合,可得. 【变式2-2】设,若有不相等的实数满足,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于,当时,,则；当时,,则,且当时,；当时,,则,且当时,,当时,；作出函数的图象,如图, 不妨设,因为,则,由得,则,由,得,即,则. 【变式2-3】已知定义在的严格增函数与.若对任意实数,存在实数和,不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在上是严格增函数,所以在上恒成立,即在上恒成立,而,故；因为对任意实数,存在实数和,不等式恒成立,又,所以,即, 则,且在上恒成立,令,则,恒成立, 若,则存在使得在恒成立,故存在使得成立,故,故,当且仅当时等号成立,若,不妨设,若即,则存在,使得成立即,故,而,故即. 此时,可使得等号成立,若,则存在,使得成立, 故,故,综上. 类型三、幂函数与指数函数的图象及应用 1.指数型函数的图象,一般可由基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到．如把(且)的图象经过平移、翻折、对称变换可得到的图象,注意的图象关于直线对称； 2.函数图象的辨识可从以下方面入手 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势； (3)根据图象的对称性进行判断； (4)从函数的特殊点,排除不合要求的图象． 3.利用幂函数的图象及平移变换可作一次分式函数的图象,该函数的图象为双曲线,关于点对称. 【例3】函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】A选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,A选项错误； B选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,B选项错误； C选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,C选项正确； D选项,由二次函数图像可知：,由指数型函数图像可知：,D选项错误；故选C. 【变式3-1】在同一平面直角坐标系中,二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A,二次函数开口向上,则,,,,为减函数,符合题意,对于B,二次函数开口向上,则,,此时不是指数函数,不符合题意,对于C,二次函数开口向下,则,,此时函数 不是指数函数,不符合题意,对于D,二次函数开口向下,则,,指数函数增函数,不符合题意,故选A. 【变式3-2】函数的图象大致为（    ） A． B．   C．   D．   【答案】B 【解析】因为,易知,故选项A和C错误；令,,因为是定义域上的增函数,又在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以选项B正确,选项D错误,故选B. 【变式3-3】已知幂函数,当取不同的正数时,在区间上它们的图象是一族曲线（如图）.设点,,连接,线段恰好被其中的两个幂函数,的图象三等分,即有,那么（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【解析】由题得：点,,,所以,,分别代入,, 因为,,,所以. 一、填空题 1．若,且函数与的图象若有1个交点,则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点,则满足条件的不同集合A有 个． 【答案】 （答案不唯一） 4 【解析】作出五个函数图象,如图： 由图可知：图像与、、、的图象有1个、1个,2个、2个交点； 图像与、、的图像有1个、1个,1个交点；图像与、的图像有2个、2个交点；图像与的图像有3个交点.综上可得,函数与的图象若有1个交点,则,,,,；满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个：,,,． 2．已知a为奇数且,则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】或 【解析】由题设,又a为奇数且,则,当时,,,则不满足题设；当时,成立；当时,不等式等价于,若时, ,即与题设矛盾；若时,,满足；综上,不等式解集为或. 3．若函数对于任意,总存在使得,则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可得,对于任意,总存在使得, 即有,则,即. 4．设且,函数、的定义域都是,且满足,（其中表示最小值）．记函数的值域为,若集合中仅有四个元素,则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【解析】由题意,,, ,, 当时,,此时,当时,单调递增,,此时函数的值域中仅有一个元素；不符合题意,当时,单调递增, ,,, ,, 由于单调递增,, ,此时函数的值域中最多有两个元素,不符合题意；当时,单调递减, ,,, ,要使集合中仅有四个元素,需满足：, 即,解得：,所以实数的取值范围为. 5．函数的定义域为,值域为,则的最大值为 ． 【答案】 【解析】函数,作出函数的图象如图所示, 令,解得或,因为函数的定义域为,值域为, 由图象可得, 的最大值为． 6．如图是幂函数的部分图像,已知分别取这四个值,则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时,幂函数在上单调递增,当时,幂函数在上单调递减, 并且在直线的右侧,图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大,所以,所以.故选A. 7．若对任意,都有成立,则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】显然当或时,,则,不满足题意,若,则也不满足题意, 只有适合,实际上,此时, ,,故选A． 8．若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,当时,,故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立, 设,由二次函数的性质可知在区间上单调递减,故,得, 故选D. 9．已知 ,则下列命题中真命题的个数为（   ） ①至少有一个不小于1；  ②至少有一个不大于1 ； ③恒成立；     ④恒成立 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为,所以；；；, 对于①,假设都小于1,则有,即,解得,故假设错误, 所以至少有一个不小于1,故①正确；对于②,假设都大于1, 则有,即,解得,故假设错误,所以至少有一个不大于1,故②正确；对于③④,因为 ,,令,则当时,,此时；当时,,此时有,即；, 即；所以与均不成立,故③④均错误. 故选B. 10．数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现,工人工作效率E与工作年限r（）,劳累程度T（）,劳动动机b（）相关,并建立了数学模型,已知甲、乙为该公司的员工,则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作年限长,劳累程度弱,则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同,且甲比乙工作年限长,劳动动机高,则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同,且甲比乙工作效率高,劳动动机低,则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同,且甲比乙工作效率高,工作年限短,则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【解析】设甲与乙的工人工作效率为,,工作年限为,,劳累程度为,,劳动动机为,, 对于①,,,,,所以,, 则,所以,即甲比乙工作效率高,故①正确；对于②,,,,所以,, 则,所以,即甲比乙工作效率高,故②正确；对于③,,,,,所以, ,,所以,即甲比乙劳累程度弱,故③错误； 对于④,,,,所以,,所以,所以,即甲比乙劳累程度弱,故④正确.故选C. 11．函数满足：对于任意都有,（常数,）.给出以下两个命题：①无论取何值,函数不是上的严格增函数；②当时,存在无穷多个开区间,使得,且集合对任意正整数都成立,则（    ） A．①②都正确 B．①正确②不正确 C．①不正确②正确 D．①②都不正确 【答案】A 【解析】对于①：由题得,若函数是上的严格增函数,因为,,则当时,,当时,,均与矛盾,所以无论取何值,函数不是上的严格增函数,故①正确； 对于②：因为对于任意都有,令,当时,,且, 当时,,且, 当时,,且 , 以此类推,故当时,存在无穷多个开区间,使得,且集合对任意正整数都成立,故②正确,故选A. 12．已知函数,若对于任意的、、,以、、为长度的线段都可以围成三角形,则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令,,则,令,由双勾函数的单调性可知,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,当时,,则,,则,, 构造函数,其中,由,可得,由于函数在区间上单调递减,则,可得.二次函数的对称轴为直线, 则函数在区间上单调递增,当时,,即.由于以、、为长度的线段都可以围成三角形, 所以,,解得.因此,实数的取值范围是.故选C. 三、解答题 13．已知,,,幂函数在区间上是严格增函数． (1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数,求实数的范围； (3)若,关于的方程的两实根分别为,（其中）,求的值． 解：（1）由题意知,,即,解得, 又因为,所以,所以； （2）不等式为,即；所以, 解得, 所以不等式的解集为,其中； 因为不等式的解集中有且仅有个整数,则这个整数分别为2,3,4,5,6； 所以,即,解得； 所以的取值范围是； （3）由题意知,方程为,所以, 即； 由根与系数的关系知,,； 解方程,得； 因为,且, 所以,； 因为, 所以, 因为, 所以, 所以． 14．对于函数,若存在实数对,使得等式对定义域中的任意都成立,则称函数是“型函数”． (1)判断函数,是否是“型函数”； (2)若函数（其中为常数,且）是“型函数”,且存在满足条件的实数对,求实数满足的关系式： (3)若定义域为的函数是“型函数”,且存在满足条件的实数对和,当时,的值域为,求当时,函数的值域． 解：（1）对于函数, 对定义域中的任意不可能恒成立, 因此函数不是“型函数”； 对于函数, , 故存在实数对,使对定义域中的任意都成立, 因此函数是“型函数”. （2）因为函数（其中为常数,且）是“型函数”,且存在满足条件的实数对, 所以对定义域中的任意都成立, 则, 所以且,所以. （3）∵定义域为的函数是“型函数”,且存在满足条件的实数对和, ∴,且, 由,用替换可得, ∵当时,的值域为, 当时,,,∴, 当时,,即． 由,用替换可得, 又,,则, 用替换可得. 当时, ,,∴, 当时, ,,∴, 依次类推可知,当时,, 当时,, ∴当时,, 当时,,∴, ∴, 综上可知,当时,函数的值域为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $