上海市第五十四中学2025-2026学年高二下学期数学周测12

**基本信息** 高二下数学周测卷，以人口普查数据、几何模型等真实情境为载体，覆盖概率、数列、解析几何等核心知识，通过填空与解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题（60分）|随机数表抽样、等比数列、直线与圆、函数奇偶性等|梯度设计，基础题如等比数列求公比，提升题如折叠问题求线面角正弦值| |解答题|4题（60分）|频率分布直方图、立体几何二面角、函数恒成立、椭圆方程与面积|真实情境与综合应用，如人口普查统计题考查数据意识，立体几何题融合空间观念与逻辑推理|

高二下数学第12周测验卷 班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分） 1. 现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为______（以下摘自随机数表第行）. 2．已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为 ． 3. 过点的直线被圆截得的最短弦长为____________. 4. 已知是偶函数，则函数的最大值为 　　 ． 5. 的展开式中含项的系数是____ ___. 6. 已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 . 7. 已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为__________． 8. 已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 9. 如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，，，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为 . 10. 在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为________________. 11．在公差不为的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______________． 12．若，则实数的取值范围是_______________． 二、 解答题(每小问5分) 13. 深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路. 2020 年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计(未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据)，我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图.(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区有几个? (2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内? 14. 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：平面ADE；（2）设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 15.已知函数的定义域为，记，其中且． （1）当，，，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数的取值范围. 16. 椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且． （1）求椭圆的方程并求出椭圆的左焦点；（2）如图，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为， 若，求点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学第12周测验卷 班级 姓名 学号 一、填空题（每题5分） 1. 现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为______（以下摘自随机数表第行）. 【答案】11 2．已知等比数列的各项均为正数，若，，则该等比数列的公比为 ． 【答案】 3. 过点的直线被圆截得的最短弦长为____________. 【答案】 4. 已知是偶函数，则函数的最大值为 　　 ． 【答案】 5. 的展开式中含项的系数是____ ___. 【答案】 6. 已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 . 【答案】 7. 已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为__________． 【答案】 8. 已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】 9. 如图，点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，，，与底面圆所成的角为，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 10. 在中，，，，为边上的一点，且，现将沿边折起，使得点至点的位置，且满足平面平面，如图所示，则直线与平面所成的角的正弦值为________________. 【答案】 11．在公差不为的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______________． 【答案】 12．若，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 二、 解答题(每小问5分) 13. 深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路. 2020 年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计(未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据)，我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图.(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间内的省级行政区有几个? (2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内? 14. 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，平面BEC，，，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：平面ADE；（2）设平面AEF与平面BEC的交线为l，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，通过平行的传递性得到，由题中条件得到四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到平面； （2）设平面与平面所成的锐二面角的大小为，由平面和平面，得到在平面上的射影为，利用余弦定理求出，利用同角关系式求，从而得到和，则，代入数值求解，从而得到二面角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点，连接，，即， ，G，F分别是线段BE，DC的中点， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面； 【小问2详解】 设平面与平面所成的锐二面角的大小为， 平面，平面， 在平面上的射影为， ，， 由可得，，所以. 分别是线段BE，DC的中点，，， ，， ，， 又，， 二面角A-l-B的余弦值为. 15. 已知函数的定义域为，记，其中且．（1）当，，，求函数的零点； （2）当，，若恒有，求实数的取值范围. (1)， 2分 令，解得，所以函数的零点为． 4分 （2）解一：，所以当，，为严格减函数， 当，，为严格增函数． 6分 且有．由于，即对恒成立． 因为，且，取，必有，当时，，有，矛盾，舍去．显然． 当，取，，当时，，当时，，均与矛盾，舍去． 8分 当时，，所以当时，， 当时，，均有成立．故． 10分 解二：由于，即对恒成立，即对恒成立．由二项式定理，化简可得，对恒成立．显然．所以对恒成立． 6分 对称轴为，当，即，，即． 8分 当，即，，即，解得舍去． 故． 10分 16. 椭圆，是第一象限内椭圆上的点，，，，椭圆的离心率是．，，且． （1）求椭圆的方程并求出椭圆的左焦点；（2）如图，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为， 若，求点的坐标. 【解】（1）已知，，则， 椭圆离心率，且， 得，椭圆方程 作图依据：以为圆心，长为半径作圆，与轴负半轴焦点即为左焦点. （2）当时，，，， 设，则， 直线方程：， 到直线距离， ， 由，得， 即，代入椭圆方程，得故. 学科网（北京）股份有限公司 $