第09讲 立体几何核心考点：平行与垂直（7题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学期末重点题型归纳及应试过关检测（人教A版）

第09讲 立体几何核心考点：平行与垂直 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 3 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 3 03 重难点题型 5 题型一：空间平行与垂直关系的辨析与判定 5 题型二：直线与平面平行的证明方法与应用 6 题型三：平面与平面平行的证明思路与技巧 8 题型四：空间直线与直线垂直的判定与证明 11 题型五：直线与平面垂直的证明与性质应用 14 题型六：平面与平面垂直的转化与证明 16 题型七：空间平行与垂直的存在性探究问题 18 04 过关检测 27 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 题型一：空间平行与垂直关系的辨析与判定 例1．（25-26高一下·河北·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A：若，，可能落在平面内，此时不满足，A错误； 对于B：若，，与可能是异面直线，不一定平行，B错误； 对于C：若，，可能落在平面内，此时不满足，C错误； 对于D：该命题就是线面平行的性质定理，D正确. 例2．（25-26高一下·重庆·期中）已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【解析】选项A，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行知，若，，则，故A正确； 选项B，若，，则或，故B错误； 选项C，根据面面垂直的判定定理知，若，，则，故C正确； 选项D，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故D正确. 例3．（24-25高一下·北京丰台·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】A：由，则平行、异面、相交均可能，错， B：由，则或，错， C：由，结合线面垂直、面面平行的性质有，对， D：由，要使，根据面面平行的判定定理，条件还需相交，错. 故选：C 例4．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，若，则不能推出，C错误； D选项，因为，，所以.又，所以，D正确. 故选：D 例5．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【解析】A选项，若，，则或，故A错误； B选项，若，，则，又因为，则，故B正确； C选项，若，，则或与相交，故C错误； D选项，若，，，则或异面，故D错误. 故选：B 题型二：直线与平面平行的证明方法与应用 例6．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 例7．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【解析】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 例8．（20-21高一上·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【解析】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 题型三：平面与平面平行的证明思路与技巧 例9．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【解析】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 例10．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【解析】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 例11．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【解析】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为 （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 题型四：空间直线与直线垂直的判定与证明 例12．（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 【解析】（1）因为、、分别是、、的中点，所以，， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面，所以平面． 因为，、平面，所以平面平面． （2）因为底面为矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． （3）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，故. 例13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 【解析】（1）设与的交点为， 直线与所成角为， 由已知，同理可得， 所以， 所以， 因为 ， 所以 . 即直线 与 所成角的正弦值为 . （2）证明：因为 是直棱柱， 所以 平面 . 又因为 平面 ， 所以 . 因为底面 是正方形， 所以 . 又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ， 所以 . 例14．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 【解析】（1）由直四棱柱可知平面， 因为平面，所以， 四边形为菱形，则，又，所以， 又因为，平面，所以平面， 则为与平面所成的角， 由，， 由余弦定理可得， 所以，则， 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以在中，， 即与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知平面，又平面，所以. 题型五：直线与平面垂直的证明与性质应用 例15．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 【解析】（1）由正方形，得，又平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）由正方形，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面， 由（1）知，所以平面. 例16．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体中，为的中点，      (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 【解析】（1）连接，， 在正方体中， 则，，所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，所以平面. （2） 连接交于，连接，， 因为四边形是正方形，所以为的中点， 在中，因为为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，所以平面. （3）在正方体中，平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. 例17．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【解析】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 题型六：平面与平面垂直的转化与证明 例18．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【解析】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 例19．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【解析】（1）平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 例20．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 【解析】（1）如图，连接交于点，连接， 因为是正方形，所以是的中点，又是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）因为分别是的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. 又平面，且平面，， 所以平面平面. （3）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 题型七：空间平行与垂直的存在性探究问题 例21．（25-26高一下·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【解析】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD， 因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN， 因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 例22．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，所以， 又因为M是的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以， 点M为的中点，所以，， 所以， ， 设点A到平面的距离为h，则， 所以，解得， 所以点A到平面的距离为. （2）由（1）可知平面， 因为平面，则平面平面， 在中作边上的高，的延长线交于点Q，即有， 平面平面，平面， 因此平面， 于是点Q即为所要找的点， 在和中，，即， 所以，因此， 即有，于是，所以. 例23．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由长方体性质可得平面，又平面，故， 又，则底面为正方形，故， 又，、平面，故平面， 又平面，故平面平面； （2）令，连接、，由长方体性质可得， 则直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 由（1）知平面，故等于直线与平面所成的角， ，，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为； （3）存在，且，即点与重合，连接、、， 则， ， ， 有，故， 由平面，平面，故， 又，、平面，故平面， 故在直线上存在点Q使得平面，且. 例24．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）取的中点，连接， 因为分别为的中点，则∥，， 又因为N为BC的中点，且ABCD是正方形，则∥，， 可得∥，且，可知为平行四边形，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB. （2）因为ABCD是正方形，则， 且侧面平面ABCD，侧面平面，平面ABCD， 可知平面，由平面，可得， 且，，平面， 所以平面，由平面，可得， 反之，若，同理可证平面，即可得， 所以等价于， 不妨设，则，可知边上的高为， 由的面积可得，解得， 则， 所以在线段PD上是存在一点Q，使得，此时. 例25．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【解析】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 1．（25-26高一下·河北保定·期中）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【解析】对于A选项：若，，此时也有可能，所以A错误； 对于B选项，若，，也可能，所以B错误； 对于C选项，若，，可能，所以C错误； 对于D选项，若，，，则垂直于内的所有直线，垂直于内的所有直线，由于，存在直线且，则，又，，所以，从而，因此D正确. 2．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【解析】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 4．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 【答案】D 【解析】若直线与平行，则空间四点A，B，C，D共面，故A不正确； 若直线与相交，则空间四点A，B，C，D共面，故B不正确； 若A，B，C，D四点中有三点共线，则空间四点A，B，C，D共面，与题设矛盾，故C错误，D正确. 5．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】D 【解析】对于A，因为与都在平面内，所以与不是异面直线，故A错误； 对于B，因为是正三角形，所以，即与不垂直，所以不可能垂直平面，故B错误； 对于C，设，，则， 又， 所以， 设与所成角为，则， 因为与的大小关系不确定，所以与所成角的余弦值不确定，故C错误； 对于D，因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确. 6．（25-26高一下·重庆·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（     ） A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 【答案】B 【解析】根据棱柱的定义可知，在图（1）（2）中棱柱的上下底面分别为， 图（3）中，棱柱的上下底面分别为，故A正确； 在四边形中长度不变，但到直线的距离一直在变化， 所以水面四边形的面积是变化的，故B错误； 因为棱始终与，平行，故棱始终与水面所在平面平行，故C正确； 因为水的体积是不变的，有水的部分始终呈棱柱形，且高始终是也不变， 所以底面积也不会变 ，即是定值，故D正确. 7．（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】分别取，的中点为，，连接，，， 又点M是的中点，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点N是侧面上的一个动点，且平面， 所以点在平面上的轨迹为线段，在中，可知， 所以当时，的长度最小，即， 所以的最小值为. 8．（23-24高二上·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 【答案】D 【解析】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接， 连接，由，得四边形是平行四边形， 则，又，平面，平面， 因此平面，平面，又平面，， 则平面平面，而侧面，平面，于是平面， 则点在侧面上的轨迹为线段，又， 所以点在侧面上的轨迹长度为. 9．（多选题）（25-26高一下·湖北·期中）已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则或． B．若，，，则． C．若，，，则． D．若，为异面直线，，，则． 【答案】AC 【解析】由正方体来辅助证明，取的中点，连接EF. 对于A，设平面为，平面为， 当时， ，当时， ，故A正确; 对于B， 设平面为，，此时， 设，平面为，此时，，但，故B错误， 对于C， 设平面为，平面为，平面为， ，，则，即，故C正确； 对于D， 设，平面为，此时， 设，平面为，此时，，故D错误. 10．（多选题）（25-26高一下·陕西·期中）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 【答案】BC 【解析】连接，记，连接. 若平面，则，则，，不符合题意，A错误，B正确. 菱形的边长为，设的中点为，连接，. 在，中，分别有，. 若平面平面，则，，. 因为，所以存在点，使得平面平面，C正确，D错误. 11．（多选题）（2026·重庆渝中·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 【答案】ABD 【解析】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 【答案】① 【解析】因为，平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面，故①正确； 由于， 则四边形是梯形， 的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 【答案】②④ 【解析】对于①，如图①所示，连接，因为分别是上下底面对应边的中点， 可得且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以①不符合题意； 对于②，如图②所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以②符合题意； 对于③，如图③所示连接，因为分别各边的中点，可得且， 四边形是以和为腰的梯形，所以和必相交，所以③不符合题意； 对于④，如图④所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以④符合题意. 14．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上， 又正方体的棱长为2，所以，则， 故点轨迹长度为. 15．（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 16．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 【解析】（1）因为在四棱锥中，平面， 由，，，， 所以． （2）证明：因为，， 所以， 又平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面． （3） 取的中点为，又为的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，即， 又因为平面，平面， 所以平面． 17．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【解析】（1）因为分别是的中点，则，又因为，则， 且平面，平面，所以平面. （2）因为底面，则，又因为底面为矩形，则， 因为且平面，平面，所以平面， 由（1）得，所以平面. 18．（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 【解析】（1）因为、分别是、的中点， 所以是的中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）由（1）可知平面 因为平面，平面平面，所以. （3）若三棱锥的各棱长均为， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 一个等边三角形的面积为，故该几何体的表面积为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 立体几何核心考点：平行与垂直 目录 01 题型归纳目录 2 02 知识点梳理 3 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 3 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 3 03 重难点题型 5 题型一：空间平行与垂直关系的辨析与判定 5 题型二：直线与平面平行的证明方法与应用 5 题型三：平面与平面平行的证明思路与技巧 7 题型四：空间直线与直线垂直的判定与证明 8 题型五：直线与平面垂直的证明与性质应用 9 题型六：平面与平面垂直的转化与证明 10 题型七：空间平行与垂直的存在性探究问题 12 04 过关检测 15 知识点1、证明空间中直线、平面的平行关系 （1）证明直线与平面平行的常用方法： ①利用定义，证明直线与平面没有公共点，一般结合反证法证明； ②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段； ③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行； （2）证明面面平行的常用方法： ①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合； ②利用面面平行的判定定理； ③利用两个平面垂直于同一条直线； ④证明两个平面同时平行于第三个平面． （3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理； 知识点2、证明空间中直线、平面的垂直关系 （1）证明线线垂直的方法 ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质（）； ⑦平行线垂直直线的传递性（∥）． （2）证明线面垂直的方法 ①线面垂直的定义； ②线面垂直的判定（）； ③面面垂直的性质（）； 平行线垂直平面的传递性（∥）； ⑤面面垂直的性质（）． （3）证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理（）． 题型一：空间平行与垂直关系的辨析与判定 例1．（25-26高一下·河北·期中）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 例2．（25-26高一下·重庆·期中）已知为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例3．（24-25高一下·北京丰台·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 例5．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 题型二：直线与平面平行的证明方法与应用 例6．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 例7．（25-26高一下·四川遂宁·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 例8．（20-21高一上·宁夏·期末）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 题型三：平面与平面平行的证明思路与技巧 例9．（24-25高一下·河南焦作·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 例10．（25-26高一下·辽宁沈阳·期中）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 例11．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 题型四：空间直线与直线垂直的判定与证明 例12．（25-26高一下·北京·期中）已知四棱锥，底面为矩形，、、分别是、、的中点．设平面与平面的交线为，平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求证：； (3)求证：． 例13．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，底面是正方形的直棱柱中，，． (1)求直线与所成角的正弦值； (2)求证：． 例14．（2026·湖南株洲·模拟预测）在直四棱柱中，底面是菱形，边长为1，，，为的中点． (1)求与面所成角的余弦值； (2)证明：． 题型五：直线与平面垂直的证明与性质应用 例15．（25-26高一下·福建南平·期中）如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面， (1)求证：； (2)求证：平面； 例16．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体中，为的中点，      (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)证明：平面. 例17．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 题型六：平面与平面垂直的转化与证明 例18．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 例19．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 例20．（25-26高一下·北京·期中）如图，在正方体中，E，F分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求证：平面平面. 题型七：空间平行与垂直的存在性探究问题 例21．（25-26高一下·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 例22．（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例23．（24-25高一下·江西景德镇·期末）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 例24．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且，侧面平面ABCD. (1)设M，N分别为PD，BC的中点，求证：MN∥平面PAB； (2)设，在线段PD上是否存在一点Q，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例25．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 1．（25-26高一下·河北保定·期中）已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·广西南宁·期中）如果空间四点，，，不共面，那么下列判断正确的是（   ） A．直线与平行 B．直线与相交 C．，，，四点中可以有三点共线 D．，，，四点中不存在三点共线 5．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面，是正三角形，E是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A．与是异面直线 B．平面 C．与所成角的余弦值为 D． 6．（25-26高一下·重庆·期中）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下面说法中错误的是（     ） A．没有水的部分始终呈棱柱形 B．图（2）中水面EFGH所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值 7．（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 8．（23-24高二上·重庆·期末）在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为（   ）    A．4 B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·湖北·期中）已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（     ） A．若，，则或． B．若，，，则． C．若，，，则． D．若，为异面直线，，，则． 10．（多选题）（25-26高一下·陕西·期中）如图，是菱形的对角线，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得平面 B．不存在点，使得平面 C．存在点，使得平面平面 D．不存在点，使得平面平面 11．（多选题）（2026·重庆渝中·模拟预测）如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） A．平面 B．为等边三角形 C．平面 D．圆锥的侧面积为 12．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 13．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 14．（25-26高一下·江苏常州·期中）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点G的轨迹长度为________． 15．（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 16．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．    (1)求的体积； (2)求证：平面； (3)求证：平面． 17．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 18．（25-26高一下·广东湛江·期中）如图，在三棱锥中，、分别是、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $