期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 考点目录 线面垂直的判定 面面垂直的判定 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 核心判定定理 如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 符号：mcx,nC&,m∩n=A,lLm,l⊥n→L 其他判定途径 1.平行线传递：a‖b,aL→bLa 2.面面垂直推线面垂直：a⊥B,&∩B=1,aCB,a⊥l→aLa 解题思路 1.在平面里找出一对相交直线： 2.证明目标直线分别垂直这两条相交线； 3.书写条件缺一不可，必须点明“相交”。 【例题分析】 例1.(25-26高一下·天津静海阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°， AD=AC=1,O为AC中点，P0⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点. M B (1)证明：AD⊥平面PAC; (2)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值. 例2.(25-26高一下·安徽宿州阶段检测)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB/1CD,AE⊥CD,AB=AE=1, 1 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 CD=3,把三角形DAE沿着AE翻折，得到图2所示的四棱锥D-ABCE,DM=MC,记二面角D-AE-C的平 面角为0. D D E B B 图1 图2 (I)设平面DAB与平面DEC的交线为I,求直线I与直线BE所成的角； (2)当0=90°时，求证：CB⊥平面BDE; ③)当y时，求a. 18 例3.(25-26高一下·北京朝阳期中)如图，在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AB=1,AA=2,M是DD,的中点. C A B M D ---5 (1)求证：BD/平面AMC; (2)证明：AC⊥平面BDDB,. 2 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 【变式训练】 变式1.(24-25高一下·重庆渝北期中)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，A4⊥底面 ABC,∠ACB=90°，AA=2AC,N,M分别为AA,BC的中点，求证： (1)AM/平面BNC: (2)NC⊥平面NBC 变式2.(24-25高一下·湖南衡阳·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角 形，侧面PAD⊥底面ABCD,M是线段PD的中点，N是线段PC的中点 M B (I)求证：MN⊥平面PAD; (2)求PC与面PAB所成角的正弦值. 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 变式3.(24-25高一下·吉林·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为平行四边形， PC⊥CD. B C (1)证明：CD⊥平面PAC; (2)若AP=AC=CD=1,求点A到平面PCD的距离. 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 考点二 面面垂直的判定 【知识点解析】 核心判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 符号：1Lx,1cB→⊥β 解题思路 1.先证一条直线垂直其中一个平面； 2.再说明这条垂线落在第二个平面内，直接得面面垂直； 【例题分析】 例1.25-26高一下河北郴郸期中)如图，三棱锥D-ABC的体积为25,4D=CD=BC=2,∠ADC=2、 3 为AB的中点 B (I)求证：平面DAC⊥平面ABC ②)线段DP上是否存在点Q使得CQ与平面4DC所成的角的正弦值为5，若存在，求出9的值，若不存在，请 DP 说明理由. 5 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 例2.(24-25高一下·广东惠州阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,平面PAB⊥平面ABCD, BC=AD,ADIIBC,点M为AD的中点 B D (1)求证：CM∥平面PAB; (2)若AB⊥BD,求证：平面PAB⊥平面PBD 例3.(25-26高二上·吉林四平开学考试)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，且 ∠A=60°，AD=PD=2,AB=PB=4 D B (I)证明：平面BCD⊥平面PAD; (②)当二面角D-PA-B的平面角的正切值为√6时，求直线BD与平面PBC所成的角. 6 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 【变式训练】 变式1.(24-25高一下·辽宁大连·期末)如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2, 四边形ABCD为正方形，E,M分别为AD、BC的中点 D E以 y (1)直接写出图中与EM平行的平面； (2)求证：平面SAD⊥平面SAB; (3)在棱SC上是否存在点N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在，求三棱锥C-DMN体积；若不存在，说明理由 变式2.(24-25高一下·北京通州期末)如图，在四面体A-BCD中，BC⊥CD,BC=CD,∠ACB=∠ACD,点 E为BD的中点，点F为AC上一点，且DE=1,四面体A-BCD的体积为 3 (I)求证：平面ACE⊥平面BDF; (2)若AE⊥CE,∠BFD恰为二面角B-AC-D的平面角，求BDF的面积. 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 变式3.(24-25高一下·新疆喀什·期末)如图，三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点 D F (1)求证：BD1/平面FGH; (2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证：平面BCD⊥平面EGH期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 期末复习：线面垂直的判定、面面垂直的判定复习讲义 考点目录 线面垂直的判定 面面垂直的判定 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 核心判定定理 如果一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。 符号： 其他判定途径 1. 平行线传递： 1. 面面垂直推线面垂直： 解题思路 1. 在平面里找出一对相交直线； 1. 证明目标直线分别垂直这两条相交线； 1. 书写条件缺一不可，必须点明“相交”。 【例题分析】 例1．（25-26高一下·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍）， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. (2). 【分析】（1）利用余弦定理可得，根据勾股定理，可得，再利用线面垂直的性质可得，进而可得平面. （2）取的中点，连接，可得为直线与平面所成角，利用勾股定理可得，，再利用余弦定理即可求得直线与平面所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 例2．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为． (1)设平面与平面的交线为，求直线与直线所成的角； (2)当时，求证：平面； (3)当时，求． 【答案】(1)； (2)因为,故为二面角的平面角, 即,当时,即有, 又因为, 平面, 所以平面, 又因平面,所以, 由（1）中的图，可知, , 又因为,所以, 所以为直角三角形，即, 又因为平面, , 所以平面； (3)或. 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由性质定理可得，从而将问题转化为求直线与直线所成的角，在图1中，过作于，由已知条件可得四边形为正方形，即可得答案； （2）由二面角的定义可得，当时，由线面垂直的判定定理可得平面，从而得，在中，由勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的判定定理即可得证； （3）利用等体积法可得，从而得，根据三棱锥的体积公式及，求解即可. 【详解】（1）因为，即在图2中，， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面，平面， 故得， 所以直线与直线所成的角，等于直线与直线所成的角， 在图1中，过作于， 因为，，则， 又因，故 故直线与直线所成的角为； （2）略 （3）由（2）可知， 又因为，所以， 由，解得 因为， 所以， 即，所以， 又因为， 所以或 例3．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）如图，在三棱柱中，底面分别为的中点，求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连，可证得四边形为平行四边形，则，从而利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由已知可得平面，则，再证得，从而利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【详解】（1）证明：连接交于，连， 在三棱柱中，矩形中，，则， 因为分别为的中点，所以且， 因为为中点，所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面， 所以平面. （2）证明：因为底面，平面，所以， 因为∥，所以 因为，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面， 因为平面，所以， 因为在矩形中，为的中点， 所以， 因为底面，平面，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以，所以， 所以， 因为平面， 所以平面. 变式2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是线段的中点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求与面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理得平面，再根据，即可证明答案； （2）利用等体积法求出到面的距离，进而得到与面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为底面为正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为是线段的中点，是线段的中点， 所以， 所以平面. （2） 取中点为，连接， 因为为正三角形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 设，，， 所以在中，， 由（1）得平面， 又因为，所以平面， 又因为平面， 所以， 所以，， 设到面的距离为，因为， 所以， 所以， 设与面所成角为， 则， 所以与面所成角的正弦值为. 变式3．（24-25高一下·吉林·期末）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 考点二 面面垂直的判定 【知识点解析】 核心判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 符号： 解题思路 1. 先证一条直线垂直其中一个平面； 1. 再说明这条垂线落在第二个平面内，直接得面面垂直； 【例题分析】 例1．（25-26高一下·河北邯郸·期中）如图，三棱锥的体积为，，，为的中点 (1)求证：平面平面 (2)线段上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)设点到平面的距离为， 因为，，所以，   因为，所以，   因为，所以平面，因为平面， 所以平面平面． (2)存在， 【分析】（1）利用三棱锥的体积为，先证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （2）取的中点为，连接，，作交于，连接，先证明为与平面所成的角，设，则， ，由列方程，解得，即可求解. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，，作交于，连接， 因为为中点，则，所以， 因为平面，所以平面，平面， 所以为与平面所成的角   因为为等腰三角形，，， 所以，，所以， 又，平面，所以为等腰直角三角形   设，则，，， ，   ，即，解得，（舍）   所以，当时，与平面所成的角的正弦值为   例2．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥中，，平面平面，，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 【答案】(1)因为，，所以，且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面，所以平面. (2)由已知平面平面，平面平面， ，平面，所以平面. 平面，从而. 又，， 平面，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【分析】（1）运用线面平行的判定定理求解； （2）利用面面垂直的判定定理求解. 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26高二上·吉林四平·开学考试）如图所示，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，且，，. (1)证明：平面平面； (2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由余弦定理，结合勾股定理的逆定理证得，借助三角形全等得，再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得； （2）取PA中点，由给定二面角结合勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判断性质求出线面角的正弦即得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理，， 因，则，即， 由，，，得， 则，即， 又，平面，于是平面， 又平面，所以平面平面. （2）取PA中点，连接BE，DE，如图， 由，，则，， 即为二面角的平面角， 由（1）知，平面，平面，则， 又，则，解得， 而，则，， 因，可得， 又，，平面，因此平面， 又，则平面，过作于点，平面， 则，而，平面，则平面， 因此直线BD与平面夹角即为， 在中，，故，而为锐角，故. 即直线BD与平面所成的角为. 【变式训练】 变式1．（24-25高一下·辽宁大连·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）由已知可得，，然后由线面平行的判定定理可得结论； （2）由已知面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论； （3）当为中点时，满足条件，连接，设，可得，，再结合面面垂直可得平面，然后由面面垂直的判定得平面平面，利用等体积法可求得三棱锥体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 变式2．（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在四面体中，，，，点为的中点，点为上一点，且，四面体的体积为. (1)求证：平面平面； (2)若，恰为二面角的平面角，求的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意可得，得，由点为的中点，可得,从而得平面，即可证明平面平面； （2）由，可得平面，根据四面体的体积为，可得，进而可得，再由恰为二面角的平面角，得由三角形的面积公式可求得，即可求得的面积 【详解】（1）证明：由题意可得为等腰直角三角形，斜边, 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为点为的中点， 所以, 又平面，， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （2）解：因为，， 且平面，， 所以平面， 所以为四面体的高， 所以四面体的体积, 解得， 又因为, 所以， 又因为恰为二面角的平面角， 所以， 所以， 又因为， 解得， 所以, 又因为， 所以. 变式3．（24-25高一下·新疆喀什·期末）如图，三棱台中，，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 连接，设，连接，先得四边形是平行四边形，即可证得，得出结果； (2) 先证明，由线面垂直的判定定理可得平面，结合平面，即可得证. 【详解】（1）如图所示，连接，设，连接． 在三棱台中，，所以． 因为G是AC的中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为，所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）因为分别为的中点，所以． 因为，所以． 又为的中点， 所以，， 所以四边形EFCH是平行四边形，所以． 因为，所以． 又平面， 所以平面．又平面， 所以平面平面． 2 学科网（北京）股份有限公司 $