期末复习：导数的实际应用问题复习讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

期末复习：导数的实际应用问题复习讲义 期末复习：导数的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 1. 建立实际变量间的函数关系 ，确定实际定义域； 1. 求导 ，令 解临界点； 1. 比较临界点、区间端点函数值，得到最大、最小值； 1. 二阶导数判断： 极小值， 极大值。 考点一：几何最值模型（面积、体积、用料最短） 常见题型 1. 矩形、围栏、窗框面积最大； 1. 无盖/有盖容器容积最大、材料成本最小； 1. 内接图形（圆内接矩形、球内接圆柱）最值。 解题步骤 1. 设边长/半径为自变量 ； 1. 用几何公式写出面积 、体积 、表面积 ； 1. 求导找极值点，结合实际取舍根。 例：无盖长方体底为正方形，容积固定，求用料最少尺寸。 考点二：经济利润模型（成本、收入、利润） 基础公式 · 总成本 ，总收入 ，利润 · 边际成本 、边际收入 、边际利润 结论 利润最大时满足：（边际收入=边际成本） 题型 定价多少利润最高、产量多少成本最低、销量最大化。 考点三：物理运动模型（速度、加速度、做功功率） 1. 位移 ： 瞬时速度 ，加速度 ； 1. 功率 ，结合力学式子求最大功率、最短时间； 1. 变力做功、运动最快/最慢时刻。 考点四：距离、时间、速率优化（行程最短） 1. 两点间路径分段（陆路 + 水路），设变量表示总路程/总时间； 1. ，求导求时间最小值； 1. 光线反射、供水管道铺设最短路径。 二、通用标准解题模板 1. 审题设元：设关键自变量 ，标注单位与实际范围； 1. 列函数式：根据几何/经济/物理关系写出目标函数； 1. 求导求临界点：，解出驻点； 1. 判定最值 · 闭区间：驻点 + 端点值对比； · 开区间只有一个驻点：唯一极值即为整体最值； 1. 作答：带回实际意义写出答案。 例题分析 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 例2．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 例3．（25-26高二下·上海宝山·期中）将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 例4．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 例5．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 例6．（24-25高二下·安徽·阶段检测）为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． (1)将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； (2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 变式训练 变式1．（25-26高二下·广东广州·期中）汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（    ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A．60千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2026·河北张家口·三模）将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 变式4．（25-26高二下·内蒙古包头·阶段检测）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 变式5．（25-26高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 变式6．（25-26高二下·福建龙岩·期中）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. (1)建立关于的函数，并求的最大值； (2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 实战演练 1．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车最高速度为，要使从相距甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为r cm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分. (1)请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分； (2)当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润. 注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：导数的实际应用问题复习讲义 期末复习：导数的实际应用问题复习讲义 知识点解析 一、核心原理 1. 建立实际变量间的函数关系 ，确定实际定义域； 1. 求导 ，令 解临界点； 1. 比较临界点、区间端点函数值，得到最大、最小值； 1. 二阶导数判断： 极小值， 极大值。 考点一：几何最值模型（面积、体积、用料最短） 常见题型 1. 矩形、围栏、窗框面积最大； 1. 无盖/有盖容器容积最大、材料成本最小； 1. 内接图形（圆内接矩形、球内接圆柱）最值。 解题步骤 1. 设边长/半径为自变量 ； 1. 用几何公式写出面积 、体积 、表面积 ； 1. 求导找极值点，结合实际取舍根。 例：无盖长方体底为正方形，容积固定，求用料最少尺寸。 考点二：经济利润模型（成本、收入、利润） 基础公式 · 总成本 ，总收入 ，利润 · 边际成本 、边际收入 、边际利润 结论 利润最大时满足：（边际收入=边际成本） 题型 定价多少利润最高、产量多少成本最低、销量最大化。 考点三：物理运动模型（速度、加速度、做功功率） 1. 位移 ： 瞬时速度 ，加速度 ； 1. 功率 ，结合力学式子求最大功率、最短时间； 1. 变力做功、运动最快/最慢时刻。 考点四：距离、时间、速率优化（行程最短） 1. 两点间路径分段（陆路 + 水路），设变量表示总路程/总时间； 1. ，求导求时间最小值； 1. 光线反射、供水管道铺设最短路径。 二、通用标准解题模板 1. 审题设元：设关键自变量 ，标注单位与实际范围； 1. 列函数式：根据几何/经济/物理关系写出目标函数； 1. 求导求临界点：，解出驻点； 1. 判定最值 · 闭区间：驻点 + 端点值对比； · 开区间只有一个驻点：唯一极值即为整体最值； 1. 作答：带回实际意义写出答案。 例题分析 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（   ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆柱的体积公式，圆的周长公式以及利用导数和二次函数性质求最值. 【详解】设圆柱的底面半径为米， 则底面周长，两个底面的总周长为. 钢筋总长为，所以用于做母线的钢筋总长度为：, 母线共有段，所以圆柱的高为:, 圆柱的体积, 对进行求导：,令 得(舍),, 当时，此时，圆柱体积最大. 例2．（2026·江苏南通·三模）社区便民商超售卖绿色杂粮礼盒，每盒进货成本为10元.已知日销售量与每盒售价（元）满足关系式：，其中p为每盒售价，为每日销量.若要使每日销售利润最大，则每盒礼盒应定价为（    ） A．17.9元 B．18.9元 C．19.9元 D．20.9元 【答案】B 【分析】每日销售利润等于每盒利润乘以每日销量．先写出利润函数，对利润函数取对数，再利用导数判断最大值的位置，最后结合四个选项进行判断． 【详解】由题意，每盒进货成本为10元，每盒售价为元，所以每盒利润为 元． 每日销量为，且 ． 因此每日销售利润为． 因为 ，所以 ． 令，则 ． 求导得．令 ，得 ． 两边同乘，得 ． 整理得 ，解得或． 因为 ，所以只取 ． 当时， ，利润函数递增；当 时， ，利润函数递减． 所以利润函数在 时取得最大值． 在选项中，17.9元和18.9元都小于19.18元，且利润函数在此区间递增， 所以18.9元优于17.9元；19.9元和20.9元都大于19.18元，且利润函数在此区间递减， 所以19.9元优于20.9元．再比较18.9元和19.9元，代入利润函数可得18.9元对应的利润更大，故每盒礼盒应定价为18.9元． 例3．（25-26高二下·上海宝山·期中）将一个边长为24的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒的最大容积为___________． 【答案】1024 【分析】由题意可知方盒的底面是边长为的正方形，方盒高为，进而可得方盒的容积为，.利用导数研究函数的单调性，再求出最大值. 【详解】由题意可知，无盖方盒的底面为边长是的正方形，高为， 则满足，即定义域为， 因此方盒的容积为. . 令，结合定义域，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此在处取得最大值，则. 例4．（2026·上海虹口·三模）如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 例5．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对“某国产品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出系列12千克. (1)求函数的解析式； (2)若系列的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1)； (2)当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 【分析】（1）由题给、代入函数表达式，解方程求出参数的值，确定完整的函数解析式. （2）先根据单件利润与销量关系列出每日利润并化简，再对利润函数求导得到导函数，令导函数为零求出临界点并舍去区间外的解，依据导函数正负判断函数在区间内的单调性，确定为最大值点，最后代入算出最大利润，得出定价与最大利润的结论. 【详解】（1）由题意可知，当时，，即， 解得，所以. （2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则 ， ， 令，得（舍去）或， 所以当时，在为增函数； 当时，在为减函数， 故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点， 此时元. 所以当销售价格为4元/千克时，系列每日所获得的利润最大，最大利润为40元. 例6．（24-25高二下·安徽·阶段检测）为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入住量（单位：间）与价格（单位：千元/间）满足，其中，该民宿的综合成本为千元/间． (1)将该民宿每日所获利润表示为价格的函数； (2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2)当销售单价为（千元）时，利润最大；当销售单价为（千元）时，利润最小 【分析】（1）由化简可得出的解析式，结合题中的取值范围可得结果； （2）利用导数分析函数在区间的单调性，利用函数的最值与导数的关系求解即可. 【详解】（1）由题意：. （2）因为， 设， 则， 因为，所以，所以函数在上单调递增. 又， ，又， 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又，， . 所以当销售单价（千元）时，利润最大；当销售单价（千元）时，利润最小． 变式训练 变式1．（25-26高二下·广东广州·期中）汽车在道路上每行驶100千米平均燃料消耗量（单位：升）称为百公里油耗，已知某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：.当该型号汽车以（    ）的速度匀速行驶时，百公里油耗最低. A．60千米/小时 B．80千米/小时 C．90千米/小时 D．100千米/小时 【答案】B 【详解】当速度为千米/小时时，汽车行驶100千米需小时，设百公里油耗为升， 依题意得， 则，令，得， 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增， 所以时，取得最小值. 变式2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则利润最大时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到利润函数，利用导数求最值判断. 【详解】由题知总收入 ，成本 ， 因此利润 ， 则，令 ，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因此时利润取得最大值. 变式3．（2026·河北张家口·三模）将上底面半径为2，下底面半径为4，母线长为6的一个圆台打磨成一个球，再将此球打磨成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为_________． 【答案】 【详解】 如图，由圆台的轴截面可知，当母线长等于上、下底面圆的半径之和时，圆台有内切球. 因为，所以该圆台有内切球， 故当打磨成该圆台的内切球时，球的体积最大. 记内切球半径为R，可得，. 记圆柱的底面半径为r，高为h， 易知圆柱体积最大时其外接球为圆台的内切球， 所以，则，， 此时圆柱的体积. 设，，则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，所以该圆柱体积的最大值为. 变式4．（25-26高二下·内蒙古包头·阶段检测）近期国家为了控制房价，出台了一系列的限购措施，同时由于银行可用资金紧缺，为了提高存款额，某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为，为使银行获得最大利益，则存款利率为______. 【答案】0.047 【分析】根据题意求得收益，利用导数法求解最值，即可得解. 【详解】设表示收益，则存款量是，贷款收益为， 则收益， ， ∴当时，，当时，， 所以函数在内单调递增，在单调递减， 即收益在时取得极大值，亦即最大值. 所以为使银行收益最大，应把存款利率定为0.047， 故答案为：0.047. 变式5．（25-26高二下·重庆万州·期中）已知甲、乙两地的距离是100km，按交通法规规定，甲、乙两地之间的公路车速应限制在0～120km/h， 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：. (1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将代入，得，最后得到从甲地到乙地的耗油量即可. （2）设从甲地到乙地耗油为，结合题意得到，再结合导数研究该函数的单调性即可求解. 【详解】（1）将代入，得， 所以从甲地到乙地要耗油升. （2）设从甲地到乙地耗油为，则， 化简得， 而， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得最小值，此时， 即当汽车速度为千米每小时时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升. 变式6．（25-26高二下·福建龙岩·期中）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒子的容积为. (1)建立关于的函数，并求的最大值； (2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小正方形的边长的取值（用仅含的式子表示）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长方体体积公式得到，求导确定单调性即可求解； （2）由体积得到，进而得到表面积，求导确定单调区间，即可求解. 【详解】（1）∵底边长为，高为， . ， ， 令，即，解得（舍去. 当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 可得. （2）盒子的表面积， 由，得，即， 代入表面积公式得，则. 令，得，即，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，表面积最小. 实战演练 1．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车最高速度为，要使从相距甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出电力消耗费用与速度的关系，再列出总费用与速度的函数关系，通过导函数分析单调性，求出最小值求解. 【详解】设火车每小时电力消耗费用，将代入可得， 设火车从甲城开往乙城的速度为， 则总费用，（）， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即当时，总费用最低，故A正确． 2．（25-26高三上·上海虹口·阶段检测）某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产x万台设备，则每台另需投入成本元，且．已知每台设备售价10000元，且生产的设备能全部销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数） 【答案】24.30 【分析】由题意可得出利润，再设，然后分与两种情况并结合导数从而求出最大利润. 【详解】设利润， 则设， 当时，， 则， 则， 令，解得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时，取到极大值也是最大值. 当时，此时， 则， 则，令，得， 当时，，此时单调递减， 所以. 又因，所以生产万台设备时，全年利润最大. 故答案为：. 3．（25-26高二下·江苏镇江·期中）某种圆柱形饮料罐的容积固定为125π mL，底面半径为r cm，上、下底面用料成本均为0.4分，侧面用料成本为0.1分，忽略饮料罐的厚度，每毫升饮料可获利1分. (1)请用含r的式子表示每罐饮料的实际利润分； (2)当饮料罐的底面半径多大时，每罐饮料的实际利润最大？并求出最大实际利润. 注：每罐饮料的实际利润=每罐饮料获利-饮料罐用料总成本. 【答案】(1) (2)底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，且最大利润为分. 【分析】（1）由圆柱形饮料罐的容积固定为，且，求解，再分别求解上下底面成本，侧面成本，以及每罐饮料的成本，再由总获利减去总成本求解即可. （2）令，求导，求解的最大值，再由求解即可. 【详解】（1）因为圆柱形饮料罐的容积固定为， 所以，则， 则每罐饮料的获利为容积乘以每毫升利润分， 上下底面面积总共为，因为上、下底面用料成本均为0.4分，所以上下底面成本为分， 侧面面积为，成本0.1分，则侧面成本为分， 因此，总成本， 利润，则. （2）令，则， 令，解得，即， ，可得，因为，所以时，单调递增，时，单调递减， 故是极大值点，则代入，可得 ， 所以分，即当饮料罐的底面半径时，每罐饮料的实际利润最大，最大实际利润为分. 2 学科网（北京）股份有限公司 $