期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦导数与函数最值的双向应用，通过分层例题构建从正向求解到逆向参数探究的知识逻辑链，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用导数求函数最值|3例+3变式|含切线方程、单调区间、极值及区间最值，强调导数工具性|从导数计算到单调分析，再到极值与最值判定，形成"求导-判单调-定最值"的完整逻辑| |已知函数最值求参数|4例+4变式|选择与填空结合，涉及参数范围确定，突出逆向思维|基于正向最值求解原理，通过最值条件反推参数，体现知识双向迁移，强化分类讨论能力|

期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 考点目录 利用导数求函数最值问题 已知函数最值求参数问题 考点一 利用导数求函数最值问题 例1．（25-26高二下·广西河池·期中）已知函数为． (1)求； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为、，单调递减区间为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得； （2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性； （3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得. 【详解】（1）； （2）由， 则当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，单调递减区间为； （3）由的单调递增区间为、，单调递减区间为， 则当时，在上单调递增，在上单调递减， 又， ， ， 故在区间上的最大值为，最小值为. 例2．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) （或等价形式） (3) 【分析】 （1）求的导函数，代入计算即可. （2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程； （3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值. 【详解】（1）已知，则， 进而. （2）令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. （3）由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 例3．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 变式1．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间，并求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 单调递增区间为和，单调递减区间为；最大值为 【分析】（1）根据导数求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）根据导数求出函数的单调性和极值，比较端点值和极值即可求出最大值. 【详解】（1）由函数，可得， 求导得，则得， 故在处的切线方程为. （2）由（1）得， 当或时，，当时，， 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则的极大值为，极小值为， 又，， 由于， 故在上的最大值为. 变式2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数． (1)若，试求在上的最大值； (2)若对于任意的，恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为． 【分析】（1）当时，求得函数的导数，结合导函数的符号，求得函数的单调区间，进而计算求得最大值； （2）求得函数的导数，令，则在上单调递增，求得函数的最大值，转化为求得，即可求解. 【详解】（1）当时，函数，可得， 令，解得， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. （2）由题意，函数，可得， 因为任意的，恒成立， 又由，所以，则， 令，则在上单调递增， 因为当时，，所以， 因为，所以，使得， 且当时，，则； 当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 由，可得， 因为恒成立，可得，即， 结合，得，所以， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故实数的最小值为. 变式3．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 考点二 已知函数最值求参数问题 例1．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 例2．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 例3．（25-26高二下·河北承德·月考）已知函数的最小值为0，则___________． 【答案】/ 【详解】易知函数的定义域为，且, 当时，恒成立，此时在上单调递减，不存在最小值，不合题意； 当时，令可得, 又时，，时，， 所以此时在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得极小值，也是最小值，即， 即，解得，符合题意； 综上可知. 例4．（2026·山东滨州·一模）若函数有最大值，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】当时， 有最大值，最大值为2， 因为函数有最大值， 若在内的上确界大于，则该上确界将无法在函数的定义域内取到，导致函数无最大值， 故必有在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 因为当时，， 所以单调递减，当时，， 所以， 所以的取值范围为. 变式1．（25-26高二下·安徽合肥·期中）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出的范围 【详解】，又， 令，，则的零点与的零点相同， 因为函数图象开口向下且，要使在区间上有最大值， 所以和，解得. 变式2．（25-26高二下·北京·期中）若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 变式3．（25-26高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合，再应用最小值列式求解. 【详解】因为，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 且，，若在区间上的最小值为， 因为函数取到值为的点为或， 所以对区间的最小值进行分类讨论： 若区间包含极小值点，则，解得； 若区间不包含，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当时，在区间上的最小值为。 所以当在区间上的最小值为时，或. 变式4．（25-26高二下·山东·阶段检测）若函数在区间有最小值，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】分析的单调性，结合函数在开区间有最小值，列出不等关系，求解即可. 【详解】，故可得， 故当，，单调递增；当，，单调递减； 当，，单调递增； 故的极小值为，又注意到， 则要使得在开区间有最小值，则，即， 解得； 故实数的取值范围为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 考点目录 利用导数求函数最值问题 己知函数最值求参数问题 考点一 利用导数求函数最值问题 例1.(25-26高二下广西河池·期中)己知函数为f(x=x3-3x2-9x+2. (1)求f'(x; (2)求f(x)的单调区间； (3)求∫(x)在区间[-4,2]上的最值. 例2.(25-26高二下·陕西渭南期末)己知函数fx=sinx+x2-x,f'(x是f(x)的导函数. 求的值： (②)求曲线y='(x)在x=匹处的切线方程； (3)求f(x)的最小值. 期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 例3.(25-26高二下.四川成都期中)己知函数f(x=lnx-axa∈R ()当a=)时，求f)的极值： (2)当a>0时，讨论函数∫(x)在区间1,2上的单调性及最小值. 变式1.(25-26高二下·北京顺义期中)已知函数f(x)=e(x2+x+1) (1)求∫(x)在x=0处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间，并求f(x在[-3,0]上的最大值 期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 变式2.(25-26高二下.重庆期中)已知函数f(x)=(2ae-x)e. (1)若a=0,试求f(x)在[-2，上的最大值： (2)若对于任意的x∈R,f(x)+1≤0恒成立，求a的最小值. 变式3.(25-26高二下·上海阶段检测)已知a是实数，函数fx)=x3-ax (I)若∫'(1=3，求a的值及曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线的方程： (2)当a>0时，求f(x)在区间[0,2上的最小值. 期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 考点二 已知函数最值求参数问题 例1.(25-26高二下·江苏南通阶段检测)若函数f(x)=2x3-6x在区间（←a,)存在最大值，则a的取值范围为(） A.(1,+o) B.1,+) C.(1,2] D.(1,2 例2.2526商二下河南新乡阶段检测)已知函数=-号r+e在0，+)上的最小值为0，则实数a的值为(） A.e B.e 9 3 C.2 D.e2 4 例3.(25-26高二下·河北承德·月考)已知函数f(x)=ax-lnx的最小值为0，则a= ax+4lnx,0<x<1, 例4.(2026山东滨州·一模)若函数fx)= 2s”严xx支大直，如g经有约 变式1.(25-26高二下.安徽合肥·期中)若函数fx)=-x2+ax+4lx在区间(2,4)上有最大值，则实数a的取值范围 为() A.8,+0 B.2,8 C.(7,+o） D.（2,7 期末复习：利用导数求函数最值问题、已知函数最值求参数问题专项训练 变式2.(25-26高二下.北京期中)若函数f(x)=2x2-ax+2Inx在(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围为() A.(0,3) B.（6,9 C.4v2,+∞） D.（-0,-4V2)U(42,+0】 变式3.(25-26高三下湖南张家界·阶段检测)已知函数f(x=x3-3x2+2,若f(x)在区间m,m+1]上的最小值为 -2,则实数m的取值范围是 变式4.(2526高二下：山东阶段检测)若函数=了”+在区间（口-1，a+5列有最小值，则实数a的取值范围 为