期末复习：平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦平行四边形动点与四边形线段最值两大期末高频考点，通过典例与变式构建“动态几何建模-特殊图形判定-最值转化”的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形的动点问题|2例+2变式|含t参数的动点运动、特殊四边形判定|平行四边形性质→矩形/菱形判定→代数表达与方程求解，培养运算能力与几何直观| |四边形中的线段最值问题|3例+3变式|结合图形变换的线段最小值求解|四边形性质→对称/旋转转化→几何直观与推理意识应用，发展空间观念与模型意识|

期末复习：平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 期末复习：平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 考点目录 平行四边形的动点问题 四边形中的线段最值问题 考点一 平行四边形的动点问题 例1．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_____；_____． (2)当_____s时，四边形为矩形； (3)当时，求的值； 【答案】(1)； (2)6 (3)5或7 【分析】（1）根据题意即可求解； （2）当时，四边形为矩形，则，即可求解； （3）分两种情况①当四边形为等腰梯形时，过点作于点，过点作于点，求出，得，解得；②当四边形为平行四边形时，，即，解得：； 【详解】（1）解：由题意得：， 则，． （2）解：∵， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴． （3）解：， ∴当时， 分两种情况：①当四边形为等腰梯形时， 过点作于点，过点作于点，如图1， 则， 又∵， ， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：； 综上所述，当时，的值为5或7． 例2．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3)，见解析 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，能够利用代数式表示相关边的长度是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得； （2）由（1）易证四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可求解； （3）根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 又， ； （2）解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 变式1．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由四边形是平行四边形可得，设运动时间为，可得，再解方程即可； （2）证明四边形是矩形，再结合运动速度表示出，根据勾股定理列式，，同理表达，结合进行列方程，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：由四边形是平行四边形可得，设运动时间为， ∴， 解得：； 即经过，四边形是平行四边形； （2）解： 过点作，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，且，， ∴， ∴， ∴， 同理证明四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 依题意，，运动停止时间为， ∵， ∴在运动过程中，需经过或才能使． 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1)； (2) (3)t的值为；此时的面积为 (4)点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到 （3）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可； （4）根据轴对称的性质和三角形的面积公式，分别求出点P在上运动时和点P在上运动时的t值即可． 【详解】（1）解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． （2）解：当时P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． （4）解：分二种情况：①点P在上运动时，如图， 则，，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴， 即， ∵， ∴； ②点P在上运动时，如图， 则，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：； ∴点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为． 考点二 四边形中的线段最值问题 例1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 例2．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 例3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）先证明，可得，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解； （3）连接交于点P，结合矩形的性质可得为等边三角形，从而得到，作，交y轴上于点G，连接，则，根据直角三角形可得，从而得到，进而得到，，可证明四边形为平行四边形，可得，从而得到，即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴点； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）得：点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点； （3）解：如图，连接交于点P， ∵点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，作，交y轴于点G，连接，则， ∴， ∴， ∵点K是的三等分点（靠近点B处）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 变式1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得，，，根据证明，故可得； （2）连接，可证，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． （3）根据，得出，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． （3）解：由（2）可知，， ， ， ∴四边形的面积与的面积相等， 的底与高均为定值， ∴当点E在边上运动（不与端点重合）时，四边形的面积保持不变． 变式2．（24-25八年级下·重庆·期中）平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 【答案】(1)7 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）过点A作交于点Q，利用等腰三角形三线合一的性质和平行四边形的性质得到相关线段的长度，再利用等腰直角三角形的性质可求得的长度，从而利用三角形面积即可得出结果； （2）连接，，先证明，设，则，利用等腰直角三角形的性质证得，从而证得，和是等腰直角三角形，进而证得结论； （3）利用轴对称的性质，解的直角三角形的性质，勾股定理及三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点A作交于点Q， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）解：， 证明：如图，连接，， ∵，四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理，，是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点A作交于点S， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， 过点G作交延长线于点R， ∵， ∴， ∴， ∵点M、N分别是、上的动点， 作点C关于的对称点，连接交于点L，连接，过点作交于点N，交于， ∴，即的最小值为， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 将绕点G顺时针旋转得射线，过点N作交于点P，与交点K， 在中，， ∴， ∴， 当点N，K，P三点共线时，有最小值，即， 过点N作于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ． 变式3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】(1)， (2)存在， (3) (4) 【分析】（1）过点作于，根据各点坐标得出，，，，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出，是等腰直角三角形，得出； （2）利用正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出； （3）过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于，根据菱形的性质及平行线的性质得出，可得，得出，，可得是等腰直角三角形，得出,即可得出点坐标； （4）设，，根据菱形点性质，结合中点坐标公式求出，即可得出点在直线上运动，根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动过程中，能使得四边形为正方形，点坐标为． （3）解：如图，过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于， ∴四边形是矩形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （4）解：如图，设，， ∵四边形是菱形，、，交于点， ∴点为中点， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当轴时，取最小值，最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 期末复习：平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题专项训练 考点目录 平行四边形的动点问题 四边形中的线段最值问题 考点一 平行四边形的动点问题 例1．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在四边形中，，于点，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_____；_____． (2)当_____s时，四边形为矩形； (3)当时，求的值； 例2．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 变式1．（25-26八年级下·河南安阳·期中）已知：如图，在四边形中，，，，，，点从出发，以的速度向点运动，点从出发，以的速度向运动，其中一动点到达端点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为． (1)经过多少时间，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，需经过多长时间才能使？ 变式2．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） (2)当时，的面积=_________； (3)当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (4)当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 考点二 四边形中的线段最值问题 例1．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 例2．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 例3．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 变式1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 变式2．（24-25八年级下·重庆·期中）平行四边形中，，连接，点G为延长线上一点，连接，． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，过点C作，交延长线于点E，过点G作，交延长线于点F，以为斜边构造等腰直角三角形，过点H作交于点K，交于点I．猜想线段、、的关系，并证明； (3)如图3，若、，点M、N、K分别是、、上的动点，请直接写出长度的最小值． 变式3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 2 学科网（北京）股份有限公司 $