期末复习：菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形与矩形的判定及性质综合应用，通过典例与变式构建从平行四边形到特殊四边形的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |菱形的判定与性质综合|3例+3变式|以判定证明为主，结合角平分线、作图等背景，涉及面积与边长计算|从平行四边形性质延伸，强化“邻边相等/对角线垂直”判定条件与性质的综合应用，培养几何直观与推理能力| |矩形的判定与性质综合|3例+3变式|含折叠、中点、等边三角形等情境，侧重判定与对角线、面积计算|基于平行四边形性质，突出“直角/对角线相等”判定，关联三角形全等与勾股定理，发展空间观念与运算能力|

期末复习：菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 期末复习：菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 考点目录 菱形的判定与性质综合 矩形的判定与性质综合 考点一 菱形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·浙江·月考）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2) 【分析】（1）由且得四边形为平行四边形，再通过导角证明，得 ，即可证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质，得出，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理得出，利用梯形的面积解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：为的中点， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，． ． 平行四边形是菱形． (2)30 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：，， 菱形的面积． 例3．（2026·浙江湖州·二模）如图，在矩形中，是对角线，分别以点，为圆心，大于的半径画弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)由作图可知：垂直平分， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）由作图可知：垂直平分，再结合垂直平分线的性质以及矩形的性质即可证明结论； （2）先说明四边形是菱形，设，则，，再运用勾股定理列方程求得即可解答． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 设，则，， 在矩形中，， ∴， ∴，即：， ∴四边形的周长为． 变式1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线和角的平分线，证明，根据，得出继而判断四边形是平行四边形，结合得证； （2）利用勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图1，，平分，且交于点C，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，交于点M，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论； （2）由直角三角形的性质以及菱形的性质得到，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， ∵平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ． ∴． 变式3．（2026·宁夏银川·二模）如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； (2)． 【分析】根据作图由作图知，由四边形是平行四边形，则，所以，则有，然后证明，得，所以，可得四边形是平行四边形，又，从而有四边形是菱形； 作于，则，由四边形是菱形，得，，所以，是等边三角形，则有，，然后通过直角三角形的性质可得，由勾股定理得出，最后通过的面积为计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作于，则， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 考点二 矩形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）由矩形的性质得，，再由勾股定理求出长，即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，， 由（1）可知，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 例2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 例3．（25-26八年级下·河南许昌·期中）实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，四边形的形状是 ． (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1)正方形 (2) 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质得，，即可得证； （2）易证四边形是矩形，则，．由勾股定理得，则，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形的形状是正方形， 证明：四边形是矩形， ． 由折叠得：，． ， ∴四边形是矩形． ， ∴矩形是正方形． （2）解：四边形是正方形， ，． ． 四边形是矩形， ． 四边形是矩形． ，． 由折叠得：，， ． ． 设，则， ， ，解得． ． 变式1．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是菱形，以及证明四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直，得到，即可判定四边形是矩形； （2）先结合菱形的性质以及矩形的性质得的长，再由勾股定理可求的长，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得四边形是菱形，四边形是矩形； ∴，， ∴ ∵， ∴， 即， ∵ ∴． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的定义得到四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定和性质得到，即可证明结论成立； （2）证明是等边三角形，根据等边三角形的性质和勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，D为中点， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵过点E作于点H， ∴ ∴ 变式3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定； （1）根据菱形的性质得到，根据对角线相等且平分的四边形是矩形证明即可； （2）根据菱形的性质得到，即可得到，根据角平分线可得，进而可得，然后根据勾股定理求出长，根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵是矩形， ∴，     ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 期末复习：菱形的判定与性质综合、矩形的判定与性质综合专项训练 考点目录 菱形的判定与性质综合 矩形的判定与性质综合 考点一 菱形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·浙江·月考）如图，在四边形中，，，过点作，交的延长线于点，连接，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点D作于点F，延长交于点G．若，，求四边形的面积． 例2．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 例3．（2026·浙江湖州·二模）如图，在矩形中，是对角线，分别以点，为圆心，大于的半径画弧交于点，，作直线分别交，，于点，，，连接，． (1)求证：． (2)若，，求四边形的周长． 变式1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在四边形中，，对角线交于点平分角，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图1，，平分，且交于点C，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，交于点M，，则的长． 变式3．（2026·宁夏银川·二模）如图，在平行四边形中，按下列步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；作射线交于；过点作交于点，交于点；连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的面积． 考点二 矩形的判定与性质综合 例1．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平行四边形中，对角线，延长到点，使，连接，交于点，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 例2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 例3．（25-26八年级下·河南许昌·期中）实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，然后把纸片展平． 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，再把纸片展平． 问题解决： (1)如图1，四边形的形状是 ． (2)如图2，若，，求的长． 变式1．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，的对角线和交于点O，，分别过点C，D作，，和交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)当，时，求的长． 变式2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在中，，D为中点，分别过A点，B点作，交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 变式3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若平分，菱形的边长为3，求矩形的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $