精品解析：山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前预测卷（一）数学试题

忻州一中2026届高三考前终极猜想卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】设，则， 解得，，计算得，所以， 所以，所以虚部为4. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，即， 集合，即， 所以， 因此. 3. 已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，， 所以，, 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，即， ，解得，. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点， ， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角， 则，，， 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 8. 若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，通过分析函数的单调性，结合已知条件判断的大小关系. 【详解】设公共值，定义函数,， 由于对正实数恒成立，因此是单调递增函数， 其中对应 的参数分别为， 当时： 代入得， 因此，故选项D成立， 当时： 此时所有，， 对相同的，参数越大，越小，需要更大的 才能让 ， 因此越大对应越大，由 ，得 ，故选项B成立， 当时： 此时所有 ，，对相同的，参数越大，越大， 需要更小的才能让，因此越大对应越小，由， 得 ，故选项A成立，综上，只有 不可能成立. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在两个实数t，使得 C. 若，则 D. 以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A,直接利用向量模的定义，转化为关于的函数即可求解；对于选项B，，转化为关于的一元二次方程实根个数问题；对于选项C，即，转化为关于的一元二次方程进行求解；对选项D，以，为邻边的平行四边形面积，先使用数量积求出，再转化为关于的函数即可求解. 【详解】对于选项A， ，故选项A正确； 对于选项B，令，则， 即， 由于，故存在两个实数t，使得，选项B正确； 对于选项C，若，则，即， ， ，当时，方程不成立，故选项C错误； 对于选项D，以，为邻边的平行四边形，设，夹角为， 则， 由于，则 那么以，为邻边的平行四边形面积 ，故选项D正确. 10. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A直接用偶函数的定义判断可得；对B用导数判断函数的极小值及最值可得；对C将方程的根转化为函数的零点，再结合零点存在性定理判断可得；对D直接构造函数，求导，再构造函数，再求导，进而可判断当时，，故可判断D错误. 【详解】对于A，由知函数的定义域为，所以函数的定义域为， ， 所以是偶函数，因此A正确； 对于B，由求导得， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 故在处取得极小值，也是最小值，因此B正确； 对于C，令，求导得， 所以函数在上单调递减，且当时，；当时，， 由零点存在定理，有且仅有一个零点，即方程有且仅有一个实根，故C正确； 对于D，令，. 则，. 再令，则， 所以在上单调递减，且， 故当时，，即函数在上单调递减，且， 所以当时，，即， 因此，对任意，都有错误，故D错误. 11. 在棱长为1的正方体中，点P在线段上，且，．过点P作平面，使．设平面截正方体所得截面的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，截面面积为 B. 当时，截面为等边三角形 C. 的最大值在处取得 D. 当时，截面周长为3 【答案】ABC 【解析】 【分析】先证明出平面．设与平面交于点，证明出是的三等分点，此时截面多边形为等边，即可求出截面面积判断A选项，结合图形分析当时，截面图形的变化即可判断B选项分析出的单调性，根据对称性，判断出截面的位置在平面与平面中间，且为过的中点的正六边形时，截面多边形面积最大即可求解从而判断C、D选项. 【详解】连接BD，，. 在正方体中，面，所以. 由为正方形，所以. 又，平面， 所以平面，平面， 所以.同理可证. 因为，平面， 所以平面． 设与平面交于点，由等体积法得： ，解得：， 所以是的三等分点，此时截面多边形为，且为等边三角形 对于A，当时，点与点重合，所以截面的面积为，故A正确； 当时，截面与相似，因为为等边三角形， 所以当时，截面为等边三角形，故B正确； 对于C、D，当时，单调递增，； 当时，先增后减，根据对称性，当截面的位置在平面与平面中间，且为过的中点的正六边形时，边长为，此时截面多边形面积最大，此时，且截面的周长为，故C正确，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据1，2，3，4，a的方差为2，且，则__________． 【答案】5 【解析】 【详解】因为数据1，2，3，4，a的平均数为 则, 解得或， ， ． 13. 一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．点A，B在底面圆周上，且底面圆中的弦长，则沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由圆锥的侧面展开图的弧长与圆锥底面周长相等求解，由题可得，结合三角形形状得出最短路径． 【详解】如图，， 三角形中，，∴，所以， ∵底面周长为， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，得， 所以弧是展开图弧长的，所以展开图中对应的是边长为4的等边三角形， 所以沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为； 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由条件可设，，故，结合正弦型函数性质求最值. 【详解】因为，则可设，， 所以， 又， 所以， 故当，，即，时，取最大值为， 即当，或，时，取最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． （1）若，求允许出厂的产品实际合格的概率； （2）若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记事件表示“产品实际合格”，事件表示“产品允许出厂”，则，，，，再由贝叶斯及 全概率公式计算求解； （2）由（1）知，再结合题意解不等式即可． 【小问1详解】 记事件表示“产品实际合格”，事件表示“产品允许出厂”， 由题意，，， 若产品实际合格，则甲、乙均判为合格的概率为， 若产品实际不合格，则甲、乙均误判为合格的概率为， 当时，， 代入得． 【小问2详解】 由（1）知． 用分数表示为． 由题意要求． 因为， 所以． 即． 因此， 所以． 又，故． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． （1）求； （2）求和的面积． 【答案】（1） （2），的面积为 【解析】 【分析】（1）利用面积公式建立与的关系，再结合余弦定理得到关于的方程，求解得和的值. （2）根据和的值求出半周长，结合已知，用面积公式算出面积. 【小问1详解】 已知，半周长​， 由面积公式可得： ，​ 又因为，由面积公式可得：  ，因为两式相等，所以约去得：  ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得， 解得正根（负根舍去），因此. 【小问2详解】 由(1)已得，面积，代入可得：​，，  所以. 17. 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系． 则，，，， ，，，． 因为M为的中点，N为的中点，所以，． 有． 平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则， 又，则， 而平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）以A为原点，分别以，，所在方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量证明线面平行即可； （2）求出平面的一个法向量，再利用空间向量法求平面与平面的夹角即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得平面的一个法向量为． 在平面中，，． 设平面的一个法向量为， ，不妨取，则． 设平面与平面所成角为， 则， 因此， 即平面与平面所成二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）求面积的最大值，其中为坐标原点． 【答案】（1）（）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接由点差法求弦的中点轨迹方程可得； （2）先判断直线的斜率存在，再设直线的方程为，由弦长公式可得，再由点到直线的距离公式可得，进而可得，再用换元法构造函数，用导数求得其最大值，进而可得三角形面积的最大值. 【小问1详解】 设． 因为弦的中点为，所以， 又因为两点在椭圆上，所以， 两式相减得， 当时，，，即， 由于弦过点，，所以， 因此，整理得①， 又因为是弦的中点，所以必在椭圆内， 所以，再与①联立消去得：，即. 再由①得，解得，因此. 因此点M的轨迹方程为（）． 【小问2详解】 因为直线与椭圆交于两点，所以直线的斜率存在. 设过点的直线为． 代入椭圆方程，得． 整理为． ，得. ，， 所以由弦长公式得， 再由点到直线的距离， 所以， 令，．则． 记．求导可得． 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，取得最大值． 所以． 因此，当，即时，面积的最大值为． 19. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）讨论函数在上零点的个数； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有． 【答案】（1）当时，． 记，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 所以（），则在上单调递增， 所以，因此时，． （2）当时无零点，当时有且仅有一个零点 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求出的单调性以及最值即可证明结论； （2）设，，可得，将问题转化为与交点的个数，利用导数研究的单调性，结合零点存在定理判断即可； （3）将问题转化为对任意成立，结合（2）的结论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设且，则， 所以等价于， 下面研究的单调性． ，整理得， 记，则，， 令，则（）， 所以在上单调递增，则， 所以，即（）， 所以在上单调递增，则， 所以（），即在上单调递增． 又，． 当时，方程无正根，即在上无零点． 当时，方程有且仅有一个正根，即在上有且仅有一个零点． 【小问3详解】 要使对任意，都有，等价于对任意成立． 因此． 由（2）知在上单调递增， 且． 因此实数的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 忻州一中2026届高三考前终极猜想卷（一） 高三数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号． 3．选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内． 4．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面向量、解析几何、立体几何、概率统计等． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，，且z的虚部为正，则的虚部为（ ） A. B. C. 4 D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 1 8. 若正实数满足，则下列大小关系中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面向量，满足，，．对实数，设，．则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在两个实数t，使得 C. 若，则 D. 以，为邻边的平行四边形面积的最小值为 10. 设，，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在处取得最小值 C. 方程有且仅有一个实根 D. 对任意，都有 11. 在棱长为1的正方体中，点P在线段上，且，．过点P作平面，使．设平面截正方体所得截面的面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，截面面积为 B. 当时，截面为等边三角形 C. 的最大值在处取得 D. 当时，截面周长为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一组数据1，2，3，4，a的方差为2，且，则__________． 13. 一个圆锥的底面半径为2，母线长为4．点A，B在底面圆周上，且底面圆中的弦长，则沿圆锥侧面从A到B的最短路径长为__________． 14. 已知实数x，y满足，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统．设产品实际合格的概率为r，其中．若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05．两套系统的判断相互独立． 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂． （1）若，求允许出厂的产品实际合格的概率； （2）若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． （1）求； （2）求和的面积． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，满足，，且，，，．点M为的中点，点N为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 18. 已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）求面积的最大值，其中为坐标原点． 19. 已知函数，． （1）若，证明：； （2）讨论函数在上零点的个数； （3）求实数的最大值，使得对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $