山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前预测卷（二）数学试题

绝密女启用前 试卷类型：A 忻州一中2026届高三考前终极猜想卷（二) 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知复数之满足(1+)z=2+乏，则z= A.2 B.2V2 C.2v5 D.5 1 2.已知命题p:x∈R,2+2x+2=0,g:z>0,x+元之2，则下列命题为真的是 A.p∧q B.p∧-9 C.-p∧q D.p∧9 3.从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取3张，则取出的3个数中最大数为5的概率为 A.5 B. 3 2 而 C. 5 2 D. 4.已知tana+tanB=2,且tan(a+B)=3,则tan a tan B 1 A.一3 1 B.3 2 C.3 D. 4 3 1 5.已知函数f(=r+元，x>0。若f@=f2a),则a= B. v2 C.1 D.V2 6.在正方体ABCD-A1B1CD1中，棱长为2，点M为棱A1D1的中点，则直线BM与 平面ABCD所成角的正弦值为 1 A.3 B V② C. D. v5 3 3 7已知双曲线C: 2-萨=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x-2y+1=0平行，且 h C的离心率为V5,则= a B.1 C.2 D.V5 8.已知函数f(x)=x3-3x。若关于x的方程f(x)=a在区间[「-2,2]内恰有两个不同实根， 则a= 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学第1页（共3页)】 忻州一中 模拟专用一 A.-2 B.0 C.2 D.-2或2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数之≠-1，且z=1。设w= 1- 1+之 则下列说法正确的是 A.w的实部为0 B.1+z2+11-z2=4 C.若w=1,则之有且仅有两个可能值 D.Rez= w2-1 |w2+1 2an 10.已知数列{an}满足0<a1<1,a+1=1+a2 则下列说法正确的是 A.对任意n∈N*,都有0<an<1,且{am}单调递增 B.1-an+1= (1-an)2 1+a2 1+a,则bn+1=房 C.若bn=1-an 63 D.若a1=3则a4= 1 11.在三棱锥OABC中，OA⊥OB,OB⊥OC,OC⊥OA,且OA=OB=OC=1。点 P在三角形ABC及其内部运动，则下列说法正确的是 LOP的最小直为9 B.满足PA=PB的点P的轨迹是三角形ABC内的一条线段 C.满足OP=PA的点P的轨迹线段长为2 2 D.存在点P,使得OP=PA=PB=PC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数f(c)=lx-1+x-3|+x-m的最小值为4，则实数m的所有取值之和为 13.已知函数)=m上+mam的最大值为2.且其图象的一条对称轴为=-名则 m 14.已知圆O:x2+y2=1,点P(t,0),其中t>1。过点P作圆O的两条切线，切点分别 为A,B。若SAPAB= 3 4,则t= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 某种产品出厂前需经过甲、乙两套检测系统。设产品实际合格的概率为r,其中0<r<1。 若产品实际合格，则甲系统判为合格的概率为0.95，乙系统判为合格的概率为0.90；若产品 实际不合格，则甲系统误判为合格的概率为0.10，乙系统误判为合格的概率为0.05。两套系 统的判断相互独立。 规定：只有当甲、乙两套系统均判为合格时，产品才允许出厂。 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学第2页（共3页)】 忻州一中 专用 (1)若？=0.8，求允许出)厂的产品实际合格的概率； (2)若要求允许出厂的产品实际合格的概率不低于0.98，求r的取值范围。 16.(本小题满分15分)】 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其内切圆半径为r,半周长为s。已知 A=60°，b+c=6, r= 2 (1)求bc; (2)求a和△ABC的面积。 17.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD D 为直角梯形，满足AB‖CD,AD⊥AB,且 AB=2, CD=1,AD=V3, AA1=2. 点M为A1D1的中点，点N为BB1的中点。 (1)证明：MN‖平面ABD1; ⊙ (2)求平面CMN与平面ABCD所成二面角的正弦 值。 18.（本小题满分17分) 已知椭圆C:+=1。点P,0,其中t>2。过点P作椭圆C的两条切线，切点分别 为A,B。 (1)求直线AB的方程，并用t表示AB: (2)若S△PAB= 3v3 求点P的坐标及两条切线的方程。 2 19.(本小题满分17分) 已知函数 f(x)=e*-e x-2x,x>0. (1)证明：f(x)>0; 巴设e)-但，正明e)在0+刘)上单调违相 (3)求实数入的最大值，使得对任意x>0,都有 e”-e-x≥2x+λx3 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学第3页（共3页)】 忻州一中 专用 参考答案与详解 2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学 一、单项选择题 题号 12345678 答案 CC BBB CC D 1.设 之=a+bi, 则 z=a-bi. 由题意， (1+)(a+bm)=2+a-bi. 左边展开得 (1+i)(a+bi)=(a-b)+(a+b)i. 右边为 2+元=(a+2)-bi 比较实部、虚部，得 a-b=a+2, a+b=-6. 由第一式得 b=-2. 由第二式得 a+2b=0, 所以 a=4. 因此 之=4-2i: 故 z=v42+(-22=2V5. 故选C。 2.对于命题p,方程 x2+2x+2=0 的判别式为 △=22-4.1.2=-4<0. 所以该方程在实数范围内无解，命题p为假。 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 专用 对于命题q,当x>0时，由基本不等式可得 +22 所以命题q为真。 因此 -p∧q 为真。故选C。 3.从6张卡片中任取3张，总取法数为 Cg=20. 若取出的3个数中最大数为5，则必须取到5，不能取到6，另外两个数从1,2,3,4中选取。 所以满足条件的取法数为 C2=6. 故所求概率为 名品 C 故选B。 4.设 tanatan B=t. 由正切和角公式， tana+tan B tan(a+B)= 1-tanatanB' 代入已知条件，得 2 3=1-t 所以 3(1-t)=2, 解得 1 t二3 因此 tanotan9=号 故选B。 5.由 f(a)=f(2a) 得 1=2a+ 1 a+ a 2a 移项得 11 a 2a =2a-a. 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 所以 1 =a. 2a 又因为a>0,故 2a2=1, 解得 a=V 2 故选B。 6.建立空间直角坐标系，取 A0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0), A1(0,0,2),D1(0,2,2) 因为M为A1D1的中点，新以 M(0,1,2). 于是 B7=(-2,1,2). 设直线BM与平面ABCD所成角为O。平面ABCD为之=0平面，所以 12 sin= V(-2)2+12+22 =3 故选C。 7.双曲线 y2 x2 a2-62=1 的渐近线为 y=ta 直线 x-2y+1=0 可化为 11 y=2x+2 斜率为 2 因为双曲线的一条渐近线与该直线平行，所以 a 1 6=2 因此 b=2. 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 专用 又双曲线离心率满足 b2 e2=1+ a2 当 6=2 时， e2=1+4=5, 所以 e=V5 与题意一致。故选C。 8.函数 f(x)=x3-3x 的导函数为 f'(x)=3x2-3=3(x2-1) 令 f(x)=0, 得 x=-1,x=1. 计算端点和极值点处的函数值： f(-2)=-8+6=-2, f(-1)=-1+3=2, f(1)=1-3=-2, f(2)=8-6=2. 因此，函数f(x)在区间[「-2，-1上由-2增至2，在[-1,1)上由2减至-2，在[1,2上由 -2增至2。 当 -2<a<2 时，方程f(x)=a在[-2,2]内有三个不同实根。 当 a=2 时，方程f(x)=2在区间[-2,2)内的两个不同实根为 x=-1,x=2. 当 0=-2 时，方程f(x)=-2在区间「-2,2内的两个不同实根为 x=-2,x=1. 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 所以满足条件的α为 a=-2或2. 故选D。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案ABC ABC ABC 9.因为 |z=1, 所以 由 w=12 1+2 得 1-元1- 之-11-之 1+ +1= 1+之 所以 w+而=0， 即w的实部为0，A正确。 又 1+之2=(1+2)1+)=2+2+z, 1-之2=(1-之)(1-)=2-之-. 两式相加，得 |1+z2+1-z2=4. B正确。 若 |w=1, 则 1-2 =1 1+2 即 1-之=1+ 这表示复平面上点之到1与一1两点的距离相等，所以点之在虚轴上。又 |z=1, 因此 之=i或之=-i. 故之有且仅有两个可能值，C正确。 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 专用 由 w=1-: Γ1+2 反解得 1-w 名二1十w 由A可知w为纯虚数，设 w ti, t∈R. 则 1-ti(1-ti)2 1+ti1+t2 所以 Rez=1-t2 1-2w2 i+2=1+up D项给出的符号相反，故D错误。 综上，选ABC。 10. 先证明范围。若 0<am<1, 则显然 2an an+1=1+a品 >0. 又 an+1<1 等价于 2an 1+a2 <1, 即 2an<1+a2, 也就是 0<(1-an)2. 因为0<an<1,所以上式成立。由归纳法可知，对任意n∈N*,都有 0<an<1. 再比较相邻两项： an+l an= 2an 1+02a- n1-a2>0. 1+a品 所以{an}单调递增，A正确。 直接计算： 1-an+1=1- 2a=1+c2-2a-1-an2 1+a2 1+2 1+a2 B正确。 设 1+an bm一1-m 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 则 1+an+1 bn+1=1-an+1 而 2an(1+an)2 1+0+1=1+1+a昭 1+a% 2an(1-an)2 1-a+1=1-1+a2 1+a2 新以 bn+1= (1+an)2 1-an2=呢 C正确。 若 1 a1= 则 由 bn+1=b品 得 b2=4, b3=16, b4=256. 因为 b=1+a 1-an 所以 on -1 an=bn+了 于是 256-1255 a4=256+1= 257 故D错误。 综上，选ABC。 11. 建立空间直角坐标系，取 O(0,0,0), A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1). 则平面ABC的方程为 x+y+2=1. 点P在三角形ABC及其内部，设 P(c,y,), 其中 x≥0，y≥0,2≥0， x+y+2=1. 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 专用 对于A, 0p2=x2+2+z2. 由均方不小于平方均值， x2++2≥c++》2=1 3 当 x=y=之= 3 时取等号，所以 OPlau =V3 3 A正确。 对于B,条件 PA=PB 等价于 PA2=PB2. 即 (x-1)2+y2+2=x2+(y-1)2+z2. 化简得 =y. 在三角形ABC内， x=y,x+y+2=1, x,y,之≥0 表示一条线段。B正确。 对于C,条件 OP-PA 等价于 OP2=PA2. 即 x2+y2+z2=(x-1)2+2+z2. 化简得 1 x2 再结合 x+y+之=1 可得 = y≥0，≥0. 所以轨迹是一条线段，其端点为 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 该线段长度为 (G)+(G-+-)-9 C正确。 对于D,若存在点P使得 OP=PA-PB-PC, 则由OP=PA得 1 x2 同理由OP=PB、OP=PC分别得 1 y=2 名二2 于是 x+y+2= 这与点P在平面ABC上应满足的 x+y+之=1 矛盾。因此不存在这样的点P,D错误。 综上，选ABC。 三、填空题 题号 121314 答案 4-v32 12.函数 f(x)=x-1+-3+x-ml 表示数轴上一点x到1,3，m三个点的距离和 三个点的距离和取最小值时，x取这三个数的中位数。若三个数从小到大为 u≤v≤w, 则最小值为 ()-u）+(w-v)=w-u. 因此，本题中最小值等于1,3，m三个数的极差。 由题意，集合 {1,3,m} 的极差为4。 若 m<1, 则 3-m=4, 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 专用 解得 m=-1. 若 m>3, 则 m-1=4, 解得 m=5. 若 1≤m≤3， 则极差为2，不符合题意。 以 m=-1或m=5. 所有取值之和为 -1+5=4. 13.函数 f(x)=sinx+mcosx 的最大值为 V1+m2 由题意得 V1+m2=2, 所以 m2=3. 因此 m=±v3 又因为工=一石是图象的一条对称轴， 所以在该点处应有 f()=0 而 f(a)=cos a-msinz. 于是 r()-cs(-)-m()=5+罗 令其等于0，得 2 所以 m=-v5. 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 装专用 14. 设上方切点为 A(u,v), 则 u2+v2=1. 因为PA是圆O的切线，所以 OA⊥PA. 又 Oi=(u,), PA=(u-t,v), 因此 (u,v)·(u-t,w)=0. 即 u(u-t)+w2=0. 整理得 u2-t+v2=0. 结合 u2+v2=1, 可得 1-tu=0, 所以 u-i 故两个切点分别为 (1-司(-司 于是 点P(t,0)到直线 的距离为 t-7 所以 as=号AB-(-) 即 8a=V-(-) 因为t>1,所以 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第11页】 忻州一中 从而 (t2-1)3/2 S△PAB= 2 由题意 (t2-1)323V3 t2 4 当 t=2 时， (4-1)323V3 4 4 满足题意。 又函数 (t2-1)3/2 2 在t>1上单调递增，所以解唯一。 因此 t=2. 四、解答题 15. 答案：(1) :(②)re 684 49 2201 记事件G表示“产品实际合格”，事件H表示“产品允许出厂”。 由题意， P(G)=T, P(G)=1-r. 若产品实际合格，则甲、乙两套系统均判为合格的概率为 P(HG)=0.95×0.90=0.855. 若产品实际不合格，则甲、乙两套系统均误判为合格的概率为 P(H|G)=0.10×0.05=0.005. (1)当r=0.8时，由条件概率公式得 P(GP(H G) P(GI H)=P(G)P(HG)+P(G)P(HG) 代入数据： 0.8×0.855 0.684684 P(GI)=0.8×0.855+0.2×0.005=0.685 685 (2)一般地， 0.855m P(G|Hl)=0.855r+0.005(1-r) 将小数化为分数，可得 171r P(G|H0)=170r+1 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 由题意， 171r 170r+1≥0.98= 49 50 因为170r+1>0,所以 50.171r≥49(170r+1) 即 8550r≥8330r+49. 因此 220r≥49， 所以 49 rZ220 又0<r<1,故 16. 9v3 答案：(1)bc=9;(2)a=3,△ABC的面积为 设 bc=p. 由 A=60°，b+c=6 及余弦定理，得 a2=b2+c2-2 bc cos60°. 即 a2 =62+c2-bc 又 b2+c2=(b+c)2-2bc=36-2p, 所以 a2=36-3p. 三角形面积一方面为 S△ABC= 2 bcsin60°-V3 2 另一方面，由内切圆半径公式 S=TS. 又 r=V3 2, s=0+b+c-a+6 2 所以 s=5.a+6-3 2,2=4(a+6). 比较两种面积表达式，得 p=a+6. 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 专用 于是 a=p-6. 代入 a2=36-3p, 得 (p-6)2=36-3p. 展开整理： p2-12p+36=36-3p, 即 p2-9p=0. 由于p=bc>0,所以 p=9. 故 bc=9. 又 a=p-6=3. 面积为 SAAnC=V3.993 4 4 17,答案：（①证明见下；(2）所求二面角的正弦值为 10° 以A为原点，分别以AB,AD,AA1所在方向建立空间直角坐标系。由题意可取 A(0,0,0),B(2,0,0,D0,V3,0),C(1,V3,0), A1(0,0,2),B1(2,0,2), D1(0,V3,2),C1(1,V3,2): 因为M为A1D1的中点，N为BB1的中点，所以 N(2,0,1). (1)有 平面ABD1中， AB=(2,0,0), AD=(0,V5,2). 取平面ABD1的一个法向量为 n=(0,-2,V3). 则 n.B=0, n·AD1=0. 故n是平面ABD1的法向量。 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第14页】 忻州一中 专用 又 n=028(么-98-= 所以 MN‖平面ABD1. (2)平面ABCD即平面=0，其一个法向量为 n0=(0,0,1). 在平面CMW中， CN=(1,-√3,1). 取平面CMV的一个法向量为 n1=C×C 计算得 可取其同向向量 n1=(3,2,V). 设平面CMV与平面ABCD所成二面角为O,则 cos0= ni·nol v3 v3 nilnol v3+4+3V10 因此 sin=V1- 3 0=V10=10 18. 答案：(0)A8:t=兰1Aa-2V,(包)Pa0,两条切线方程为+2V=4 和x-2V3y=4。 (1)椭圆 C: 4+2=1 在点 (x0,y0) 处的切线方程为 To 4 ·+0y=1. 若该切线过点 P(t,0), 则 xot一1 4 【2026届高三考前终极猜想卷（二）·数学参考答案与详解第15页】 忻州一中 专用 所以 4 因此两个切点A,B的横坐标均为 4 故切点弦AB的方程为 4 又切点在椭圆上，所以 ( 4+2=1. 即 4 +y2=1. 故 t 因为t>2,所以 4B=2.VP-4_2VP-4 t t (2)点P(t,0)到直线 AB:-4 的距离为 所以 即 12VP-4t2-4(t2-43/2 SAPAB-2 t t2 由题意 (t2-4323vV3 t2 2 当 t=4 时， (16-43/2_123/2_24V5_3V3 16 16 16 2 又函数 (t2-4)3/2 2 在t>2上单调递增，所以解唯一。故 P(4,0). 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第16页】 忻州一中 专用 当t=4时，切点横坐标为 20=1. 代入椭圆方程得 日+6=1 所以 %生V3 2 当切点为 时，切线方程为 +=2 即 x+2V3y=4. 当切点为 时，切线方程为 x V3 4-29=1, 即 x-2V3y=4. 19. 答案：()）证明见下：(2)证明见下：(3)Xx-专 (1) f(x)=e"-e-*-2x 得 f'(x)=er+e-r-2. 由基本不等式， ex+e-x≥2， 且当x>0时等号不成立，所以 f'(c)>0. 又 lim f(x)=0, x0+ 因此对任意x>0, f(x)>0. (2)设 9)=f 3 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第17页】 忻州一中 则 d(a)=P(x)-3f(a) 记 H(x)=xf'(x)-3f(x). 要证g(x)>0,只需证 H(x)>0. 由 f'(x)=e+ex-2,f"(x)=e2-e, 得 H'(x)=xf"(x)-2f'(x), H"(x)=xf"(x)-f"(x), H"(x)=cf"(x): 而当x>0时， f"(x)=e2-e-x>0, 所以 H"(x)>0. 又 lim H()=0, lim H'()=0, lim H"(x)=0. 0t E30 x+0+ 因此 H"(c)>0, H'(x)>0, H(x)>0(x>0) 所以 g(x)>0. 故g(x)在(0，+∞)上单调递增。 (3)要使对任意x>0,都有 ex-e-x≥2x+λx3, 等价于 1≤e-e-2zr 23 对任意x>0成立，即 入≤g(x) 对任意x>0成立。 由(2)知，g(x)在(0，+∞)上单调递增，因此 入max=limg(c). →0 又 e"-e-*=2x+ 3+o(3), 所以 e-e-a-2x 1 lim x→0 2x3 3 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第18页】 忻州一中 因此 1 入max= 3 【2026届高三考前终极猜想卷（二)·数学参考答案与详解第19页】 忻州一中