精品解析：2026年江苏省常州市钟楼区中考二模考试数学试题

2026年九年级教学质量调研 数学试题 注意事项：1．本卷满分为120分，答题时间为120分钟．答题时不允许使用计算器． 2．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 2. 若使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为，列不等式求解的取值范围即可． 【详解】 分式有意义的条件是分母不为， ， 解得． 3. 如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱体 C. 三棱锥 D. 长方体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键． 通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可． 【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面， 因此该几何体是三棱柱． 故选：A． 4. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义求出垂直高度，再利用勾股定理求出斜坡长  【详解】解： ∵坡度， 即  又∵  ∴  在中， 由勾股定理得： ． 5. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴是等边三角形． ∴． ∴的长为． 故选：D． 6. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用平均数，方差做决策，首先比较平均数，平均数较小的用时较少，平均数相同时选择方差较小的参加比赛即可． 【详解】解：甲和丙的平均数较小，用时较短 从甲和丙中选择一人参加竞赛， 丙的方差较小， 选择丙参加比赛， 故选：C． 7. 如图，某同学用剪刀沿虚线将四边形纸片剪掉一个角，发现剩余图形的周长比原四边形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点，有无数条直线 C. 点动成线 D. 经过两点，有且只有一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质； 根据两点之间，线段最短进行解答即可． 【详解】解：某同学用剪刀沿虚线将四边形纸片剪掉一个角，发现剩余图形的周长比原四边形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短， 故选：A． 8. 无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，分三个阶段：在线段上运动时，距离h随着时间的推移越来越大，在半圆弧上运动时，h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时h随着时间的推移越来越小，据此可得答案． 【详解】解：在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越大，当在半圆弧上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移保持不变，在线段上运动时，无人物品派送车离出发点O的距离h随着时间的推移越来越小， ∴四个选项中，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 4的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵， ∴4的平方根是±2． 故答案为±2． 10. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，积的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提取公因式，再利用完全平方公式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 2026年4月11日第二届苏超在常州奥体中心正式揭幕。首个比赛日，共约124000人现场观赛，数据124000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义确定和的值，其中，为整数． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 将124000的小数点向左移动5位得到，因此． 13. 如果点P（x,y）关于原点的对称点为（–2，3），则x+y=_______. 【答案】-1 【解析】 【详解】由题意可知P（2，-3）， 故答案为：-1. 14. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有实数根可得判别式大于等于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的方程是一元二次方程，且有实数根， ， 整理得 ， 解得 ． 15. 如图，平行线，被直线所截，与相交于点，于点，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义．根据两直线平行，同位角相等，即可求出，再根据垂直的定义，即可求解． 【详解】解：如图所示： ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，是的直径，，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可得的度数，根据同弧所对的圆周角相等得到的度数，再由直角三角形两锐角互余即可得解． 【详解】是的直径， ， ， ， ． 17. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 18. 如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，在运动过程中，的面积的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用平移性质得到对应边长，用割补法表示的面积，转化为二次函数求最值． 【详解】解：设， 矩形，，， ，，，， 由平移，有，，，， ， ， ， ， 整理： ，， 二次函数，，开口向上， 对称轴：， 把代入： ． 三、解答题（本大题共10小题，第19、22、23、24、25题每题8分，第20、21题每题6分，第26、27题每题10分，第28题12分，共84分．） 19. 计算与解不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 解①得：，即， 解②得：，即， 原不等式组的解集为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 某校八年级数学兴趣小组利用课余时间对本年级学生1分钟跳绳次数情况进行调查，调查报告如下： 八年级学生1 分钟跳绳次数情况调查报告 调查目的 1．了解八年级学生1分钟跳绳次数情况； 2． 确定需重点指导跳绳技能的学生 调查方式 随机抽样调查 调查内容 实地调查被抽到学生的1分钟跳绳次数(转化后成绩满分为10分) 调查结果 被调查学生1分钟跳绳成绩结果 条形统计图 解决问题 1 分钟跳绳成绩低于被调查学生跳绳成绩中位数的学生，需重点指导跳绳技能 结合调查信息，解决问题： （1）小明1分钟跳绳的成绩为8分，他是否属于需重点指导跳绳技能的学生，请说明理由； （2）若又有m个人参与调查，把他们的1分钟跳绳成绩合并到之前的数据中，发现众数发生了改变，求当m的值最小时，八年级1350名学生中，需重点指导跳绳技能的学生人数． 【答案】（1）小明不属于需重点指导跳绳技能的学生，理由见解析 （2）八年级1350名学生中，需重点指导跳绳技能的学生人数为人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数概念，用样本估计总量，正确从条形统计图中得到相关数据是解题的关键． （1）根据条形统计图得到中位数，即可解答； （2）利用众数改变求得，再用样本估计总量即可解答． 【小问1详解】 解：小明不属于需重点指导跳绳技能的学生，理由如下： 由条形统计图可得总人数为人， 则数据从小到大排列，中位数为第13个人的成绩， 即中位数为分， 小明的成绩为8分，大于7分， 故小明不属于需重点指导跳绳技能的学生； 【小问2详解】 解：现在数据的众数为6分，人数为8人，出现次数第二多的分数为7分，人数为6人， 若众数发生了改变，则m的值最小为， 此时总人数为人， 则数据从小到大排列，中位数为第14个人的成绩， 即新数据的中位数为7分， （人）， 八年级1350名学生中，需重点指导跳绳技能的学生人数为人． 22. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关的示意图（四个控制开关分别记为A，B，C，D）， （1）任意按下一个开关，恰好打开A日光灯的概率是_____； （2）同时任意按下两个开关，请利用画树状图或列表的方法，求恰好打开A、B两盏日光灯的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、用概率公式求概率等知识点．正确画出树状图是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图确定所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：任意按下一个开关，恰好打开A日光灯的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由图知，共有12种等可能结果，其中恰好打开A、B两盏日光灯的情况有2种． ∴恰好打开A、B两盏日光灯的概率为． 23. 如图，，，与相交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得到． （2）由含30度直角三角形的性质得出，由可得出，即可求出． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出分式方程是解题的关键，注意要检验；设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里；根据等量关系：快速换轨车更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时，列出分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）；； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标代入，，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 点在反比例函数的图象上， ， 解得，， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ，解得， 点，在一次函数的图象上， ， 解得， 一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：由（1）得，一次函数的解析式为， 令，则； 令，则，， ， ，， ， ， ，解得， ∴当时，，当时，， 或． 26. 如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）当点是的中点时，． ①求的长； ②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补得出，则，根据，得出，则是等腰直角三角形； （2）延长交于点，证明，进而根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得； （3）①由（1）知．根据，即可求解； ②分或，两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 证明：如图1，∵正方形 ∴ 点在的外接圆上， ， ， ． ∵， ， 是等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：， 理由：如图，延长交于点， ，， ， 即， ， ， ， ， 又是等腰直角三角形， ， ， ，， ， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：①由（1）知． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴， ②∵， ∴， ∴存在或， 当时，如图，， ， 度， 是圆的直径， ， 又， ； 当时，如图，连结； 是圆的直径， ， ， ， ， 综上所述，的长是或． 【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，弧与弦的关系，圆内接四边形对角互补，直角所对的弦是直径，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 27. 设二次函数． （1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数的对称轴为直线，得出，将代入得，，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据函数最大值5，得出，解方程即可； （3）先求出抛物线的解析式为：，得出抛物线的对称轴为直线，根据当时，都有，利用图象法解决问题即可． 【小问1详解】 解：∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入得，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：存在； ∵函数最大值5， ∴， 即， 解得：， 【小问3详解】 解：将点坐标代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线，当时，都有， ∴根据函数图象可知：此时或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求出二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 28. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】 （1）如图3，在四边形中，，，．求：与的位置关系为： ； 【方法应用】 （2）如图4，在中，．将绕点逆时针旋转至，点恰好落在上，求证：四边形是双等四边形． （3）如图5，在等腰三角形中，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，从而可得； （2）根据双等四边形的定义进行证明即可． （3）分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，； 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级教学质量调研 数学试题 注意事项：1．本卷满分为120分，答题时间为120分钟．答题时不允许使用计算器． 2．请将答案按对应的题号全部填写在答题卡上，在本卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 若使分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（ ） A. 三棱柱 B. 圆柱体 C. 三棱锥 D. 长方体 4. 如图，在坡度的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距为，则这两棵树在坡面上的距离长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名短跑运动员最近几次选拔赛的平均成绩（单位：秒）和方差（单位：秒2）如图所示，根据图中数据，要从他们四人中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，某同学用剪刀沿虚线将四边形纸片剪掉一个角，发现剩余图形的周长比原四边形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 经过一点，有无数条直线 C. 点动成线 D. 经过两点，有且只有一条直线 8. 无人物品派送车现已应用于实际生活中．如图是派送车某次派送的路线，该车从圆心O出发，按箭头所示方向，依次沿线段半圆弧线段匀速行驶，最后回到点O处．则无人物品派送车离出发点O的距离h与所用时间t之间关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 4的平方根是_______． 10. 计算的结果等于______． 11. 因式分解：__________． 12. 2026年4月11日第二届苏超在常州奥体中心正式揭幕。首个比赛日，共约124000人现场观赛，数据124000用科学记数法表示为______． 13. 如果点P（x,y）关于原点的对称点为（–2，3），则x+y=_______. 14. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 15. 如图，平行线，被直线所截，与相交于点，于点，，则的度数为______． 16. 如图，是的直径，，则的度数为______． 17. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 18. 如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，在运动过程中，的面积的最小值是______． 三、解答题（本大题共10小题，第19、22、23、24、25题每题8分，第20、21题每题6分，第26、27题每题10分，第28题12分，共84分．） 19. 计算与解不等式组 （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某校八年级数学兴趣小组利用课余时间对本年级学生1分钟跳绳次数情况进行调查，调查报告如下： 八年级学生1 分钟跳绳次数情况调查报告 调查目的 1．了解八年级学生1分钟跳绳次数情况； 2． 确定需重点指导跳绳技能的学生 调查方式 随机抽样调查 调查内容 实地调查被抽到学生的1分钟跳绳次数(转化后成绩满分为10分) 调查结果 被调查学生1分钟跳绳成绩结果 条形统计图 解决问题 1 分钟跳绳成绩低于被调查学生跳绳成绩中位数的学生，需重点指导跳绳技能 结合调查信息，解决问题： （1）小明1分钟跳绳的成绩为8分，他是否属于需重点指导跳绳技能的学生，请说明理由； （2）若又有m个人参与调查，把他们的1分钟跳绳成绩合并到之前的数据中，发现众数发生了改变，求当m的值最小时，八年级1350名学生中，需重点指导跳绳技能的学生人数． 22. 如图是某教室里日光灯的四个控制开关的示意图（四个控制开关分别记为A，B，C，D）， （1）任意按下一个开关，恰好打开A日光灯的概率是_____； （2）同时任意按下两个开关，请利用画树状图或列表的方法，求恰好打开A、B两盏日光灯的概率． 23. 如图，，，与相交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 我国自主研发的型快速换轨车，采用先进的自动化技术、能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点是该反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 26. 如图1，在正方形中，是边上的动点，在的外接圆上，且位于正方形的内部，，连结，． （1）求证：是等腰直角三角形． （2）如图2，连结，过点作于点，请探究线段与的数量关系，并说明理由． （3）当点是的中点时，． ①求的长； ②若点是外接圆上的动点，且位于正方形的外部，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长． 27. 设二次函数． （1）若该函数的对称轴为直线．求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点，和在函数图象上，当时，都有，求的取值范围． 28. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】 （1）如图3，在四边形中，，，．求：与的位置关系为： ； 【方法应用】 （2）如图4，在中，．将绕点逆时针旋转至，点恰好落在上，求证：四边形是双等四边形． （3）如图5，在等腰三角形中，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $