精品解析：26年5月第四周江苏省南京市鼓楼区南京民办求真中学中考二模练习数学卷

2026年南京求真中学二模数学 5.27 一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法，同底数幂乘法运算，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算进行判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项符合题意； C、，原式错误，故此选项不符合题意； D、，原式错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 三种视图都改变 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案． 【详解】解：图甲和图乙的主视图相同，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形； 左视图相同，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形； 图甲的俯视图底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形； 图乙的俯视图底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形． 所以三视图有改变的是俯视图． 故选：B． 3. 下列说法正确的个数是（ ） ①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧． ②的角所对的弦是直径． ③圆的切线垂直于经过切点的半径． ④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧．本选项正确； ②的圆周角所对的弦为直径，本选项错误； ③圆的切线垂直于经过切点的半径．本选项正确； ④到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，如图所示，本选项错误， 综上可知，说法正确的有2个． 4. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍、不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿． 甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有人，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，分别设出不同的未知数，列出方程后判断即可． 【详解】解：设竹竿有竿，根据题意可列方程 设牧童有人，根据题意可列方程． 所以两位同学的方程均正确， 故选：A． 5. 如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边数量关系，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握全等形的判定和性质，勾股定理，三角形三边数量关系的计算是关键． 如图所示，连接，由三角形三边数量关系得到，，证明，，，，，在中，，点在外部，即，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点O 在中，， ∴，即， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 点在外部，即， ∴， 故选：C ． 6. 如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题涉及的知识有等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的图像和性质，解题的关键在于判定，并利用相似的性质建立二次函数关系式． 根据等边三角形的性质得，由于，得，根据三角形相似的判定方法得到，利用相似比即可得到，配方得到，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断即可得出答案． 【详解】解：∵等边中，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 即， 图象开口向下，顶点坐标为， 故选：B． 二、填空题（共10小题，每小题2分，共0） 7. 比较大小： __________填“”“”或“” 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较的应用，熟练掌握并能根据实数的大小比较法则比较两个实数的大小是解答此题的关键．将两个分数分别化简为 和，然后比较大小． 【详解】解：，，且， ， ， 故答案为：． 8. 将函数的图象绕着原点旋转，得到的新图象的函数表达式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】将其绕顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标和开口方向都发生变化，确定顶点坐标即可得出所求的结论． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为, 图象绕着顶点旋转后，开口大小不变，顶点坐标变为，开口方向相反，即， 则旋转后的二次函数解析式是：． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，在绕抛物线顶点旋转过程中，二次函数的开口大小不变，方向和顶点坐标都发生变化． 9. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：圆锥的底面周长是：． 设圆锥底面圆的半径是，则． 解得， 即圆锥底面圆的半径为． 10. 如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°． 【答案】25 【解析】 【分析】由平行线的性质和折叠的性质可得，再由三角形的内角和定理求出，利用角的和差即可求出． 【详解】∵折叠后得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键． 11. 如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】结合函数图象，可以得到当在的左边或者在和之间时，满足不等式，求解即可． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于点和， 又∵点的坐标是，点的坐标是， ∴根据函数的图象得：关于的不等式的解集为或． 12. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 13. 如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质以及概率公式，设，由黄金分割点的定义得，，再由概率公式和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得：四边形为正方形， 设， ∵点E是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__． 【答案】． 【解析】 【分析】连接BC,构造直角三角形ABC,由正三角形及菱形的对角线平分对角的性质, 得出∠BCD=α=30°,∠ABC=90°,从而α+β=∠ACB,分别求出△ABC的边长， 【详解】如图,连接BC, ∵上图是由10个小正三角形构造成的网格图, ∴任意相邻两个小正三角形都组成一个菱形, ∴∠BCD＝α＝30°,∠ABC＝90°, ∴α+β＝∠ACB, ∵每个小正三角形的边长均为1, ∴AB＝2, 在Rt△DBC中, , ∴BC＝, ∴在Rt△ABC中, AC＝, ∴sin（α+β）＝sin∠ACB＝, 故答案为: ． 【点睛】本题考查了构造直角三角形求三角函数值,解决本题的关键是要正确作出辅助线,明确正弦函数的定义. 15. 已知直线与抛物线，当时，它们有且只有一个公共点．则的取值范围为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分析，有且只有一个公共点，通过联立两个方程，得到新的二次函数关系，进而将问题转化成为新的二次函数在时，只有一个根．分两种情况讨论：二次函数只有一个根，即，得到的值，舍去不满足条件的；二次函数有两个根，一个根在，另一个根不在，但这两个根的函数值互为相反数，由此得到一个一元二次不等式，进而求得的范围，但需要分析和这两个临界值对应的是否满足条件． 【详解】解：由题意 联立 得：， 令， 直线与抛物线有且只有一个公共点， 的图像在上只有一个根， 此时有两种情况： 当时， 即， 解得， 当时， ，舍去 当时， ，符合题意； 当时， 令，， 令，， ， ， 当时，代入中， 解得， 此时方程为， 方程的另一个根是，符合题意， 当时，代入中， 解得， 此时方程为， 方程的另一个根是，不符合题意， 故的取值范围为： ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，抛物线与轴的交点，二次函数图像的性质，根的判别式，一元二次不等式的解，掌握二次函数图像性质，利用所学知识用分类讨论的思想是解答本题的关键．解题中需要将所有情况都考虑到位，尤其是分析和这两个临界值对应的是否满足条件． 16. 如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次方程．先证明，推出，设，由勾股定理得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设，记和相交于点， ∵矩形， ∴，，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共10小影，共88分） 17. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 满足， 当时，代入． 18. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 【答案】（1），； （2）补全条形统计图见解析； （3）人； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率的求法，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键． （）根据对课程感兴趣的学生人数除以所占百分比即可求出此次被调查的学生总人数，然后通过对课程感兴趣的学生人数除以总人数再乘以即可求出的值； （）由（）总人数减去人数，即可得到抽取部分学生对课程感兴趣的学生人数，然后补全条形统计图即可； （）用乘以对课程感兴趣的学生所占百分比即可求解； （）由题意列表或画树状图，然后通过概率公式即可求解． 【小问1详解】 此次被调查的学生总人数为（人）， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 抽取部分学生对课程感兴趣的学生有（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：人， 答：估计该校对感兴趣的学生有人； 【小问4详解】 情况：列表格， 甲 乙 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴； 情况：画树状图， 如树状图所示，共有种等可能结果，而出现甲、乙两人恰好选到同一课程的有种：，，，， ∴． 19. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，在运用数学知识解决问题过程中，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题，解答的关键是构造直角三角形． 过点A作于，过点作于，利用矩形的判定与性质求得，，，在Rt中，利用锐角三角函数定义求得，，进而求得，再在中，利用正切定义求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在Rt中，，， ，， ，， 中，， ， ， 答：的长约为． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，分别将点、的横坐标、纵坐标都乘以，得相应的点、的坐标． （1）画出； （2）与________位似图形；（填“是”或“不是”） （3）若线段上有一点，按上述变换后对应的上点的坐标是________． 【答案】（1）见解析；（2）是；（3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用将点、的横坐标、纵坐标都乘以，得相应的点、的坐标，即可得出答案； （2）利用位似图形的定义得出答案； （3）利用位似图形的性质即可得出对应点坐标． 【详解】解：（1）如图所示：，即为所求； （2）与是位似图形； （3）若线段上有一点，按上述变换后对应的上点的坐标是：． 【点睛】本题考出来位似变换以及位似图形的性质，正确得到图形对应点的坐标是解题关键． 21. 某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． （1）求A、两种商品每件售价各多少元； （2）商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种商品每件售价元，种商品每件售价元 （2）种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和函数关系式． （1）设种商品每件售价元，根据“用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍“列方程并检验，即可得到答案； （2）根据题意得，由二次函数的最值可得答案． 【小问1详解】 解：设A种商品每件售价元，则种商品每件售价元， 用元购进种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍， ， 解得：， 经检验，是原方程的解，也符合题意， ， 种商品每件售价元，种商品每件售价元； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ， 当时，取最大值，最大值为元， 种商品销售单价为元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是元． 22. 证明：三边成比例的两个三角形相似． 【答案】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点作，交于点，如图： ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 【解析】 【详解】略 23. 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】（1）2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【小问1详解】 解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； 【小问2详解】 ①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； 【小问3详解】 证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 24. 如图，中，，分别为边，上一点，且，的外接圆与边交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ①设的半径为，求弦的长度（用含字母的代数式表示）； ②弦长度的最小值为______． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的外角的性质，圆周角定理，推出，结合，即可得证； （2）①连接，作，利用垂径定理和圆周角定理，得到，，进而得到，解直角三角形，进行求解即可；②连接，作，求出的长，再根据，求出的最小值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，作，则，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②连接，作，则， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的值最小为． 25. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：； 【小问2详解】 由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 26. （1）如图1所示，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，求的长； （2）①在一场数学设计活动中，老师提出了一个问题： 【问题】已知直线a、b，满足，点为直线、之间一点，试用直尺、圆规在如图2所示中作出，使得，其中点A在直线上，点在直线上． 【设计】活动成员小明结合作业题中的解题思路，尝试利用尺规完成作图： 第一步：利用直尺，过点C作直线b的垂线，分别交直线a、b于点E、F； 第二步：在点E、F的右边分别取点A、B，由于 ∽ ，可以得到的值是 ； 第三步：利用圆规，分别在直线、上截出、，连接，即可得到所求的三角形． 【操作】请你根据上述思路，完成第二步填空，并在图3中作出满足条件的． ②通过小明同学的思路与作法，请你尝试设计：当直线a、b不平行时，利用尺规在如图中作出，使得，其中点A在直线a上，点B在直线b上．（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】（1）5 （2）①，；1；图见解析 ②图见解析 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理求出的长，延长，与的延长线交于点F，证明，进而可求的长，用勾股定理示的长，证明，求出的长，进而用勾股定理可求、，即可得解； （2）①由作法及可证明，得，由，可得，，即可得答案；②由①可得求作的． 【详解】解：（1）：，， ， 延长，与的延长线交于点F， ∵， ，， ， ，即， ， 中，， ， ， ， ， ， ，即， ， 中，， 中，； （2）①∵，于点F， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 同理可得， 在a上截取，在b上截取，连接，即为所求； 故答案为：，，1； ②利用直尺，过点作直线的垂线，交直线于点D； 以D为圆心，长为半径作弧，交直线b于点E， 过点E作直线b的垂线，交直线a于点A， 以C为圆心，的长为半径作弧，交直线b于点B， 连接， 当于点F时，， 四边形是矩形， ， ∵， ， ， ， ， ， 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及复杂的尺规作图，综合性强，比较有难度，熟知相关性质及基本的尺规作图方法是正确解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年南京求真中学二模数学 5.27 一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲图由5个完全相同的小正方体组成，移动其中一个小正方体后，得到乙图，所得几何体的三视图有改变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 三种视图都改变 3. 下列说法正确的个数是（ ） ①同圆中，相等的圆心角所对的弧是等弧． ②的角所对的弦是直径． ③圆的切线垂直于经过切点的半径． ④到三角形三边所在直线距离相等的点有且只有一个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍、不知有多少人和竹竿．若每人6竿，则多14竿；若每人8竿，则少2竿． 甲、乙两位同学分别给出自己的解法： 甲：设竹竿有竿，根据题意可列方程； 乙：设牧童有人，根据题意可列方程． 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙都正确 B. 甲正确，乙错误 C. 甲错误，乙正确 D. 甲、乙都错误 5. 如图，四边形，已知，且点在外部，则之间的距离可能是（ ） A. 4 B. C. 9 D. 11 6. 如图，在等边中，，当直角三角板的角的顶点P在上移动时，斜边始终经过边的中点D，设直角三角板的另一直角边与相交于点E，设，那么y与x之间的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每小题2分，共0） 7. 比较大小： __________填“”“”或“” 8. 将函数的图象绕着原点旋转，得到的新图象的函数表达式为_________． 9. 用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥（接缝忽略不计），则该圆锥的底面圆的半径为__________． 10. 如图，已知中，，，D为上一点，将沿折叠后，且，则的度数是_____°． 11. 如图，一次函数为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点和，已知点的坐标是，点的坐标是．根据函数图象直接写出关于的不等式的解集为__________． 12. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 13. 如图，点E是线段 的黄金分割点，且．分别以，为边长在的同侧作正方形和，延长，分别交，于G，H，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在四边形内的概率为，针尖落在四边形的概率为，则________． 14. 如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝__． 15. 已知直线与抛物线，当时，它们有且只有一个公共点．则的取值范围为________． 16. 如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是___________． 三．解答题（共10小影，共88分） 17. 计算及化简求值： （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 为了让学生体验青海民俗文化，某学校开设了特色艺术实践课程，课程分别是：．五谷画，．彩陶，．剪纸，．排灯．现学校要了解学生最感兴趣的课程情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行调查（每位学生必选且只能选一个课程），根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：根据提供的信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生总人数为__________；扇形统计图中__________； （2）补全条形统计图； （3）该校有人，请你估计该校对课程感兴趣的学生有多少名？ （4）甲、乙两名同学从、、、四个课程中任选一个，用树状图或列表法求两人恰好选到同一个课程的概率． 19. 洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，洗手盆及水龙头示意图如图②，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，其相关数据头，，，求落水点C到洗手盆边的宽度．（结果取整数，参考数据，） 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，分别将点、的横坐标、纵坐标都乘以，得相应的点、的坐标． （1）画出； （2）与________位似图形；（填“是”或“不是”） （3）若线段上有一点，按上述变换后对应的上点的坐标是________． 21. 某商场有A、两种商品，一件商品的售价比一件A商品的售价多元，若用元购进A种商品的数量恰好是用元购进种商品的数量的倍． （1）求A、两种商品每件售价各多少元； （2）商品每件的进价为元，按原售价销售，该商场每天可销售种商品件，假设销售单价每上涨一元，种商品每天的销售量就减少件，设一件商品售价元，种商品每天的销售利润为元，求种商品销售单价为多少元时，种商品每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 22. 证明：三边成比例的两个三角形相似． 23. 定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 24. 如图，中，，分别为边，上一点，且，的外接圆与边交于点，连接． （1）求证：； （2）若， ①设的半径为，求弦的长度（用含字母的代数式表示）； ②弦长度的最小值为______． 25. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 26. （1）如图1所示，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，求的长； （2）①在一场数学设计活动中，老师提出了一个问题： 【问题】已知直线a、b，满足，点为直线、之间一点，试用直尺、圆规在如图2所示中作出，使得，其中点A在直线上，点在直线上． 【设计】活动成员小明结合作业题中的解题思路，尝试利用尺规完成作图： 第一步：利用直尺，过点C作直线b的垂线，分别交直线a、b于点E、F； 第二步：在点E、F的右边分别取点A、B，由于 ∽ ，可以得到的值是 ； 第三步：利用圆规，分别在直线、上截出、，连接，即可得到所求的三角形． 【操作】请你根据上述思路，完成第二步填空，并在图3中作出满足条件的． ②通过小明同学的思路与作法，请你尝试设计：当直线a、b不平行时，利用尺规在如图中作出，使得，其中点A在直线a上，点B在直线b上．（不写作图过程，保留作图痕迹） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $