陕西西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三下学期第十一次适应性训练数学试卷

陕西西安市西北工业大学附属中学2025-2026学年高三下学期第十一次模 考数学试题 一、单选题 1.已知集合A={x-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=() A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 2.已知数据1,2,3，a,8的80%分位数是7，则实数a=（) A.4 B.5 C.6 D.7 3.直线1：3x-y=0被圆C:(x-1)2+y2=1所截得的弦长为() A.1 B.2 C.5 D.2 4.等差数列{an}的前n项和为Sn,且42=5，a4+a。=26,则S,=（) A.45 B.49 C.56 D.63 5。已知单位向量云在单位向量5上的投影向量为，则收-2：（) A.3 B.5 c D.1 6.当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术.在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及 临床试验等方面，显著提升了科研效率.假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候 选分子M',事件B是“AI模型筛选出候选分子N”.己知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(B|A)=0.2,则P(AB) () 13 9 A. c. D. 33 B. 20 10 40 π 7.记函数f(x)=sin@x+ 4 )(@>0)的最小正周期为若5<I<,且y=)的图象关于点(，2 中心对称， 则 =() A.1 B. 3-2 D.3 8。已0为坐标原点，双由线C子芳-1a0b0)的左、右张点分别为开，马，过名作C的条渐 近线的垂线，垂足为A,线段AF与C交于点B,若△AO,△B的面积相等，则C的离心率为() A.√4-2W2B.6-√2 c.2 D.23 二、多选题 9.任何一个复数：=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos6+isinθ)的形式，通常 称之为复数=的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：z”=「r(cos日+isin)=r”(cos0+isinne)(n∈N+), 我们称这个结论为棣莫弗定理.公众号悦爱学堂根据以上信息，下列说法正确的是() A.= B.z3的实部为cos38 C.s2=2 D.若r=1,日=匹时，若n为偶数，则复数z为纯虚数 10.设函数f(x)=(x3-x)nx,则() A.f(x)是偶函数 B.f(x)≥0 C.f(x)在区间(0,1)上单调递增 D.x=1为∫(x)的极小值点 三、单选题 11.一个棱长为2的正方体内有一个内切球O,若球O,与正方体的三个面和球O相切，球O3与正方体的 三个面和球O相切，依次类推，球O+与正方体的三个面和球On相切∈N,设球On的半径为R,体积 为，，则下列结论不正确的是() A.R=2-V5 B.数列{R}为等比数列 1+V3 C.R+R+R+…+R0> 10+6W3)元 2 D.Y+V+y+…+Vn< 15 四、填空题 12.(2x-y)°的二项展开式中x2y4的系数是·（用数字作答） 1B.已知a,B为锐角、若oac月=5coe(aA)则如a+B= 2 14.已知抛物线E:x2=2y的焦点为F,其准线1与坐标轴交于点K.P为E上一点，∠KPF的平分线与y轴 交于点M,则点M纵坐标的最大值为 五、解答题 15.在VABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C.已知2a-b=2 ccos B. (1)求角C: (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2W5,求边长a的值 16.甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),输的概率为1-p,每局 比赛的结果是独立的. 2 (1)当p=二时，求甲最终获胜的概率； 3 (2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得-2分；方案二： 最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大. 17.如图，三棱柱ABC-ABC1的所有棱长都为2，∠AAC=60°，M是AA的中点，AC1⊥BM. B (I)证明：平面ACCA⊥平面ABC; (2)求CB与平面ABBA所成角的正弦值， 18.己知椭圆E:)+ +示=1（a>b>0)M,V分别为E的上顶点、右顶点，MNV6,坐标原点O到直 线W的距离为2V5 3 (1)求E的方程 (2)若A,B为E上不同的两点，△OAB的面积为√2，直线OA,OB的斜率均存在且分别为k,k (i)证明：kk3为定值； (i)设P为线段AB的中点，点C1,1),求△OP2面积的最大值. 19.已知函数f(x)=e-x-nsinx(l,neR) (1)当n=0时，讨论f(x)的单调性： (2)当m=n时，若f(x)≥0在(0，π)上恒成立，求正整数m的最大值； 3)若fs)在(0，+o)上有零点，求证：m+r>e。 2 (参考数据：e4≈2.2，e2≈48”e≈23.1) 参考答案 1.A 【详解】因为A={x-5<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<5<2， 从而A∩B={-1,0 故选：A. 2.C 【详解】共5个数，5×80%=4，则第80%分位数是第4个和第5个数的平均数， 因为第80%分位数是7，则必有一数小于7，一数大于7， 故a+8=7,得a=6. 2 故选：C 3.A 【详解】圆C:(x-1)+y2=1的圆心C(L,0),半径r=1, 点C到直线1：V3x-y=0的距离d=5 所以所求弦长为2F-d-2-(9-1 故选：A 4.D 【详解】由题意，a4+4=24=26,解得a。=13, 故S,=74+a）.7a+a_7x5+13》-63. 2 2 2 故选：D 5.B 【详解】因为向量a在向量多上的投影向量为克，所以确定a与乃的夹角为于，所以a6 2 所以a-2=(@2+4(6)-4ā.万=3，所以a-2=V5 故答案为：B 6.A 【详解】因为P(A)=0.3,所以P(A=1-0.3=0.7 所以P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7×0.2=0.14. 由P(B)=P(AB)+P(AB),得P(AB)=P(B)-P(AB)=0.4-0.14=0.26 P(AB)0.262613 所以P(AB)=P(B=044020 7.A 【详解】由函数的最小正周期T满足2亚<T<元，得2红<2红<元，解得2<0<3， 30 又因为商数图象关于点侣2对称，所受0+至xe乙，且b=2 4 所以0=- 。c么，所以w0)m食引2. 63 所以(}1 故选：A 8.C 【详解】设R(0,R.0叭，共中c=心-，又双曲线c号手-1a06>0)的新近发方程为 y=±x, a 如图，取y=bx,即x-y=0,设B到直线x-=0的距离为d,则d= =b, a a+b2 1 所以04=O-dF=e2-6-a,则Saos=2b, 因为△103，△B的面积相等，又R=2,则}×2-2c%咖，得到为 1. 2c 又直线8R方程为y=- -e小.则空号-d.解物 2c2-b2 2c 2c2-b2 2 所以B 2c2-b2 ab 2c 2c 又点B在双曲线上，所以 2c 2c a b 整理得到c2=2a2,所以e=C=√2 a 9.AC 【详解】对于A,因为z=a+bi,a,beR,则-2=(a+bi)2=a2+2abi-b2=a2-b2+2abi, 所以=l口2-62+2ab1=Va2-b2y+4a2b2=Va2+62)=a2+b2, 又=(N+B=d+B,所以=，故A正确， 对于B,令z=r(cos6+isin0),则z=r3(cos30+isin38),所以=3的实部为，2cos30,故B错误， 对于C,令z=r(cos8+isin8),则z=r(cos6-isin8), 所以-·三=2(cos0+isim0)(cos6-isim0)=r2(cos20+sim20=r2,故C正确， 对于D,若r=l,0=元时，则z=cos匹+isin u 4 4 4 当2为偶数时，设n=2k,k∈N,2=c0s,十is eN,' 2 所以k∈N+且为奇数时，z”为纯虚数；k∈N+且为偶数时，z为实数，故D错误. 10.BD 【详解】f(x)的定义域为(0，+o),故∫(x)为非奇非偶函数，故A错误， 由于f(x)=（x3-x)nx=x(x+1)(x-1)lnx,且x>0,故x+1>0, 当x>1时，nx>0,此时f(x)>0,当0<x<1时，nx<0,此时f(x)>0, 当x=1时，f(x)=0,因此f(x)20,B正确， 对于Cf=62-h+-1,当x∈5时，3-1>0h<0-1<0,此时/)<0，因此) 3 在B1单调递减，故C错误 厨于D,了)=3x2-1hx+-1,当x1时，3x1>0,nx>0,10,故f)>0,当x∈ 时，3x2-1>0,ln<0,x2-1<0,此时f(x)<0,因此f(x)在 3,1单调递减，在L+)单调递增，x白 为(x)的极小值点，D正确， 故选：BD 11.C 【详解】因为正方体棱长为2，所以内切球O的半径R=1(内切球直径等于正方体棱长)， 对于球On(≥2)：球On与正方体的三个面相切，故其球心坐标为(R,R,R)； 球O与球O-1相切，两球心距离为√3(R-1-R),该距离等于-1+R, 由此得到递推关系：V3(R1-R)=R1+R, 5-1-(2-3R… 整理得R=RB+1 所以{R}是首项R=1,公比q=2-√3的等比数列 对于A:R=R2-√B)=2-5,A正确： 对于B:以上己证明，B正确： 对于C:等比数列前项和-1矿1-2，因为g=2-5<1, 1-9V3-1 人5，+1，所以5，c错误： 所以S,<5-12 2 对于D:球的体积%-R,+巧+巧+…+-号R+R3+R+R)。 因为{R}是首项为1，公比为=(2-5)的等比数列， 所以RR风+R.-2 1 5+3W3 1-(2-531-(2-5) 10 所以万++++发号+806，DE确。 10 15 故选：C 12.60 【详解】二项式(2x-y)‘的通项公式为I,1=Cg(2x)(-y), 令r=4,所以x2y4的系数是C422.(-1)4=60, 故答案为：60 1月 【详解】设x=sina+sinB,y=cosa+cosB, 两边平方相加得x2+y2=sin2a+2 sin asin B+sin2B+cos2u+2 cos acos B+cos2B x2+y2=2+2(sinasinB+cosacosB)=2+2cos(a-B). 因为cos(a-P)Ay=cosa+cosp=V5 2 5 =2+2×子所以-名， 3 所以x2+ 2 41 又u,B为锐角，所以sina>0,sinB>0,所以sina+sinB>0, 所以sina+sinB= 14.3-25 2 【详解】抛物线E:x2=2y的准线方程为y= 21 所以》0 当点P在原点时，易知M(O,O) 当点不在原点时，设0，则P-+--V2-+ PFMF 由角平分线定理，得 PK MK _f y2+y+ y2+3y+4 y2+y +1y2+3y+ 2 =1-2y=1- y2+3y+4 y2+3y+1 y2+3y+ 4y+ 1+3 4 因为y>0,所以y+1 21.当n议当y衣即y时外号成立 2 1 1 所以y+。+3≥4，所以 <2 1 4v v+- +32, 4v 所以21- 1 2 -<1 +3 4v 1 即5s之1 2(+1s1-t <1,即2(252 i+ 2 i+ 1 1 y -t<-+t 2 21 解得0<ts3-2W2 2 所以点M纵坐标的最大值为3-2V2 2 15.ac-3 (2)4 【详解】(1)2a-b=2 ccos B,由正弦定理得2sinA-sinB=2 sinCcosB, ysin A=sin -(B+C)=sin(B+C)=sin B cosC+cos B sinC, 所以2 sin B cosC+2 cos BsinC-sinB=2 sinCcos B,即2 sin BcosC-sinB=0, 因为8∈0，，所以simB>0,故2cosC-1=0,即cosC= 又ceQ对.所以c- (2)由(1)知，C=3 兀 又CD为∠ACB的平分线，故∠ACD=∠BCD= 6 其中CD=2V5,由三角形面积公式得SacD=号4AC.CDsin∠ACD=x4×2V3x)=2W5, 21 Sso=)C.CDsin∠BcD=a-2N5×-5a, 2 2 22 又8ac-片C.乙4c8=x4a5-Va, 2 2 2 显然SMc=Sasa+Sae,即Va=2V5+5a -a 2 解得a=4. 160器 (2)答案见解析 【详解】(1)记“甲最终以2：1获胜”为事件A,记“甲最终以2：0获胜为事件B,“甲最终获胜”为事件C, 于是C=AUB,A与B为互斥事件， 由于P0=Cp-p-p)=氵P()=p- 8 9 则P(C)=P(4)+P(B)=3p2-2p=20 Γ27 即甲最终获胜的概率为 20 (2)由(1)可知，P(C)=P(A)+P(B)=3p2-2p3, 若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，-2， P(X=3)=P(C)=3p2-2p,P(X=-2)=1-3p2+2p3, 则X的分布列为： X 5 -2 3p2-2p3 1-3p2+2p 则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p2=-10p2+15p2-2, 若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1,0， P(Y=1)=P(C)=3p2-2p3P(Y=0)=1-3p2+2p, 则Y的分布列为： 0 3p2-2p 1-3p2+2p3 则E(Y)=3p2-2p3, 所以()8)=-8p+12p2-2=40-2-2p-. 由于0<p<1,则2p2-2p-1=2p(p-1)-1<0, 于是p=时，两种方案都可以选， 2 当0<p<2时，B(X)<B(Y),应该选第二种方案， 当}p<1时，8()>80)，应该选第一希方案 17.(1)证明见解析 (2)0 5 【详解】(1)证明：取AC的中点O,连接OB,OM,AC, 因为M是A4的中点，所以OM1IAC, 又因为三棱柱ABC-ABC1的所有棱长都是2， 所以四边形ACC1A为菱形，所以AC⊥AC,所以AC1⊥OM, 因为AC1⊥BM,且OM∩BM=M,OM,BMC平面BOM,所以AC1⊥平面BOM, 又因为OBC平面BOM,所以AC1⊥OB, 在等边VABC中，因为O为AC的中点，所以AC⊥OB, 又因为AC∩AC1=A,且AC,AC1C平面ACCA,所以OB⊥平面ACCA, 因为OBc平面ABC,所以平面ACC1A⊥平面ABC (2)解：连接AO,因为三棱柱ABC-AB,C1的所有棱长都为2，且∠AAC=60°， 可得△A4C为等边三角形，且O为AC的中点，所以AO1AC, 由(1)知：平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCA∩平面ABC=AC, 且AOC平面ACCA,所以AO⊥平面ABC, 所以OB,OC,OA两两垂直，以O为坐标原点，以OB,OC,OA所在的直线分别为x轴，y轴和=轴，建立空间 直角坐标系，如图所示， 则O(0,0,0),B(N3,0,0),A(0,-1,0)A(0,0,V3),C1(0,2,V3),C(0,1,0), 所以AB=(N3,1,0),A4=(0,1,V3), n.AB=3x+y=0 设平面ABBA的法向量为n=(x,y,),则 AA=y+3z=0 取x=1,可得y=-5,z=1,所以=(1，-√5,1)， 因为CB=CB+CC=(W3,-1,0)+(01,V3)=(N3,0,V3), 设c8与平面4BA4所成的角为0，则sn9-ko(aC画 nCB 23 10 CB V6x√55 所以C网与平面ABB4所成的角的正弦值为 5 Z M 18.)2 421: ②①D转=分证明见解折；(m5 1 2 【详解】1)由题可知，+b=石，S6.25-万-b, 2 3 a2+b2=6 a=2 即 ab=22，解得 b=V2' 则椭圆2：+ 42 1. (2)(i)①若直线AB的斜率不存在，设点A(,),B(伤，-)， 则5ae=方2yH万，又因为手号1，可解得非万A1, 42 由对称性，不妨取x=√2，=1，即A(W2,1),B(N2,-1), 此时5万万五若取=5，同胖可求得= 1-11 ②若直线AB的斜率存在，可设直线AB:y=x+m,点A(x1,),B(x,y), [y=k+ 联立直线4B与椭圆父+父-1整理得(2+)r+4物+2m-4=0, 42 而△=(4am)2-4(2k2+1)(2m2-4)=8(4k2-12+2)>0,得4k2>m2-2, 根据韦达定理且直线OAOB的斜率均存在，有飞+3，=一4h 22-4+0,则nd2≠2， 2+,=2K+1 有到.ae-分则565号侧c1)八-4-m25m2 y 5, 2k2+1 得m2(4k2-m2+2)=(2k2+1)2, 整理得4-(4k2+2)m2+(2k2+1)2=[2-(2k2+1)]2=0, 则m2-2+1,因m≠2，放=行 kk,=业=C+m,+四_子3西+k(+x)+m X1X2 1X2 XX2 =k2+mk. -4a. m2m2-4k22k2+1-4k2-2k2+11 2m2-42m2-4-2m2-42(2k2+1)-44k2-22 2k2+1 综上所述，kk= 1 2,得证 (i)①若直线AB的斜率不存在，由(i)可知，A(W2,1),B(W2,-),则P(W2,0), 此时8om行51= 2 ②若直线AB的斜率存在，由题可知，直线OQ:y=x,P(西十，为+)， 2 2 当+3=k(化+x3)+2= 故心 1+2k 又因为m=2次+121，故2(2次，点P到直线o2的距离1-%， √2 11+2k 2 2 电对称性，不纺假设m0,则m=21,因此5am与2V 11+2k上1.4k2+4k+2-1_12+4k-1 2k+12V2+2+1 ◆=桃1则只期2+ =2+-I +022+ 8t 2+2t+9, -+1 8 22+i2+8 要使得面积最大，则>0,2+ ≤2+ 8 3 1+9+2 .9 2t.2+2 当且仅当1=3，即k=1时，等号成立，则S0的最大值为5 综上所述，因为55，枚△0P吧面积的最大维为5 2 2 19.(1)答案见解析； (2)1: (3)证明见解析 【详解】(1)当n=0时， ①当m≤0时，f(x)>0,f(x)在(-∞，+w)上单调递增： ②当m>0时，由f(x)=0,得x=nm, x∈(-o,lnm时，f(x)<0,f(x)单调递减. x∈n,+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 综上 m≤0时，f(x)在(-o,+o)上为增函数； m>0时，f(x)在(-o,lnm)上为减函数，在(nm,+o)上为增函数. (2)当m=n时，f(x)=e-(x+sinx), 因xe0,小)20恒成立，所以f月)2≥0， e2 -≈1.87 所以正整数m的最大值为1. 下证m=1时，f(x)=e-x-sinx≥0在(0，)上恒成立. 设h(x)=e-x-1,x∈(0，)， 则l(x)=e-1>0,h(x)在(0，π)上单调递增，h(x)>h(0)=0,即e-x>1, 所以f(x)=e-x-sinx>1-simx,又sinx≤1， 所以f(x)>1-sinx20,即f(x)=e-x-sinx>0恒成立. 所以正整数m的最大值为1. (3)由题意设x为f(x)的零点(>0)，则e6-x-nsin xo=0, 即x+sinx-eo=0,则点M(l,m)在直线xx+ysin-e0=0上， 所以Vm2+n2≥ =，即m2+m2≥ e26 Vx+sin2 xo 行+sim2x’ 当x∈(0,1]时，设g(x)=x-sinx,所以g'(x)=1-cosx≥0，则g(x)在(0,1上单调递增， 所以g(x)>g(0)=0,所以x>sinx>0,又x∈(1，+o)时，sim2x≤1<x2, 所以>0时，sin2<x号，则m2+n≥ 号+sin2x。2.x2x, 令k)-xe0,o),则国)-e-型 x2 x∈(0，)时，k'(x)<O,k(x)单调递减：x∈L,+o)时，k'(x)>0,k(x)单调递增， 所以()≥(=e,即g之e,所以m+i>g≥e. 22