四川省广安市加德学校（领航班）2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 广安加德学校高2025级领航班半期数学试卷，以复数、立体几何、概率统计等为核心，融入内江三元塔测量、天舟七号航天竞赛等情境，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数、立体几何、概率|基础概念辨析，如第2题线面平行判定| |多选题|3/18|复数性质、解三角形|多维度考查，如第10题锐角三角形边长范围| |填空题|3/15|分位数、曲率、路线计数|创新情境，如第13题四棱锥顶点曲率计算| |解答题|5/77|向量、统计、立体几何、解三角形|综合应用，如16题航天竞赛成绩统计分析|

广安加德学校2025-2026学年下期高2025级领航班半期考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．i是虚数单位，复数z＝的虚部是（　　） A．﹣i B．﹣1 C．i D．1 2．已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（　　） A．若a⊥α，b⊥α，则a⊥b B．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b C．若a⊥α，a⊥β，则α⊥β D．若α⊥β，a∥α，则a⊥β 3．现有两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球a、b，再将两个箱子的球混合后取出一个小球c，事件M：“小球为红色”，事件N：“小球b为白色”，事件P：“小球c为红色”，则下列说法正确的是（    ） A．M发生的概率为 B．M与N互斥 C．M与N相互独立 D．P发生的概率为 4．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（　　） A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B．甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 5．内江三元塔位于四川省内江市三元村三元山上，是一座具有千年历史的古塔.它始建于唐代，明末倒毁，后在清嘉庆九年（公元1804年）得以重建，历时三年竣工.三元塔的修建寓意着“天开文运，连中三元”，象征着文运昌盛和崇文重教的精神.内江某中学数学兴趣小组准备运用解三角形知识测量塔高时，选取了两个测量基点与与塔底在同一水平面，并测得米，，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A. 60米 B. 米 C. 米 D. 米 6．甲、乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（　　） A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648 7．在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8．在△ABC中，P为边AB上一点，CP＝1，∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，AP＝λBP， ∠CPB＝θ．当△ABC面积最小时，tanθ＝（　　） A．+1 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．i为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（　　） A．|（8﹣6i）i|＝10 B． C．若复数z满足z2∈R，则z∈R D．若复数z满足|z﹣i|＝1，则|z﹣1|的最小值为 10．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且a＝2，，下列选项正确的是（　　） A． B．若b＝3，则△ABC有两解 C．若△ABC为锐角三角形，则b取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 11．如图，棱长为2的正方体．ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（　　） A．动点F轨迹的长度为 B．三棱锥B1﹣D1EF体积的最小值为 C．B1F与A1B不可能垂直 D．当三棱锥B1﹣D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数据4，5，5，5，6，8，9，10的60%分位数为__________. 13．刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角．角度用弧度制）．例如，正四面体的每个顶点有3个面角，每个面角为，所以正四面体在各顶点的曲率为．在底面为矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，．PC与底面ABCD所成的角为，在四棱锥P﹣ABCD中，顶点B的曲率为 　 ． 14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线．从1移动到数字n（n＝2，3，…，9）的不同路线条数记为rn，从1移动到9的事件中，经过数字n（n＝2，3，…，8）的事件概率记为pn，则r5＝　 　 ；p5＝ 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量． （1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角． 16．（15分）2024年1月17日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程2024年发射任务首战告捷．为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值．若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （Ⅱ）用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及第50百分位数； （Ⅲ）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD． （1）求证：AB∥平面PCE； （2）求证：平面PAB⊥平面PBD； （3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值． 18．（17分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB＝bcosC． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若，且，求△ABC的面积； （Ⅲ）如图，过点A作BC的平行线AP，且，在四边形ABCP中，AB＝2，AP＝3，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，求的最小值． 19.（17分） 在平面四边形中，，且. （1）中，设角的对边分别为，若. ①当时，求的值； ②当时，求的最大值. （2）若，且，将沿翻折成，使得平面平面，在四面体中，任取两条棱，记它们互相垂直的概率为；任取两个面，记它们互相垂直的概率为；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为，试比较的大小. 广安加德学校2025-2026学年下期高2025级领航班半期考试数学试卷答案 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B A D C A 二．多选题（共3小题） 题号 9 10 11 答案 ABD BC ABD 12.6 13. 14. 5; 8.解：CP＝1，∠ACP＝30°，∠BCP＝45°，AP＝λBP，∠CPB＝θ．可得，，所以，在△ACP中，由正弦定理得，，CP＝1，即， 在△BCP中，由正弦定理得，，即， 因此S△ABC＝（+）＝（+），设， 可得S△ABC＝（+）＝•，由二次函数性质可知，， 当时，f（m）取最大值，且最大值为正，即当，S△ABC取到最小值，此时tanθ＝＝＝+1． 10.解：A．因为，所以，，又A∈（0，π），所以，A错；B．若b＝3，且，则bsinA＜a＜b，三角形有两解，B正确； C．若△ABC为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；D．若D为BC边上的中点，则，， 又，， ∴，，当且仅当b＝c时等号成立， 所以，所以，当且仅当b＝c时等号成立，D正确．故选：BC． 14.解：由题意可知：r2＝1，r3＝2，若移动到数字n+2，则由数字n+1或数字n移动一次得到， 则rn+2＝rn+1+rn，据此可得r4＝3，r5＝5，r6＝8，r7＝13，r8＝21，r9＝34，所以r6＝8， 又因为5到9共有56789，5679，5689，5789，579五条不同的路线，所以经过5的路线共有5r5＝25， 所以．故答案为：8； ． 15.解：（1）由题意，设，因为，所以，所以λ＝±2， 所以或． （2）因为，所以，所以， 即，设与的夹角为θ，则， 又θ∈[0，π]，所以，所以与的夹角． 16.解：（I）由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a）×10＝1，解得a＝0.030， 因为0.01×10×200＝20（人），0.015×10×200＝30（人）． 所以不高于50分的抽（人）； （Ⅱ）平均数． 由图可知，学生成绩在[40，70）内的频率为0.4，在[70，80）内的频率为0.3， 设学生成绩中位数为t，t∈[70，80），则：（t﹣70）0.03+0.4＝0.5，解得，所以中位数为． （III）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A， 则． 所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 17.【解答】（1）证明：连接CE，因为AD∥BC，，且E是AD的中点，所以AE∥BC，AE＝BC， 所以四边形ABCE是平行四边形，所以AB∥CE，又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，所以AB∥平面PCE． （2）证明：在直角梯形ABCD中，，所以AB＝，BD＝，所以AB2+BD2＝AD2，即AB⊥BD，因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，又AB∩PA＝A，AB、PA⊂平面PAB， 所以BD⊥平面PAB，又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD． （3）解：因为PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，所以由三垂线定理知，PD⊥CD，所以∠ADP就是二面角P﹣CD﹣A的平面角，即∠ADP＝45°，所以PA＝AD＝2，所以PB＝， 由（2）知，平面PAB⊥平面PBD，所以直线PA与平面PBD所成角即为∠APB， 在Rt△PAB中，sin∠APB＝＝＝，故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为． 18.解：（I）因为（2a﹣c）cosB＝bcosC，所以由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC， 所以2sinAcosB＝sin（B+C）＝sinA，又0＜A＜π，sinA≠0，所以， 又0＜B＜π，所以； （Ⅱ）因为，且，所以BD＝2，BC＝3，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cosB，即7＝AB2+4﹣2AB，解得AB＝3，或AB＝﹣1（舍），所以△ABC的面积； （Ⅲ）以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，可得， 因为，所以设， 则，，，， 由，得，由，得，所以 ＝＝，当时，取得最小值， 所以的最小值为． 19.【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由余弦定理得，化简得：， ①当时，， . ②当时，， 当且仅当即时取等号， 的最大值为. 小问2详解】 由，， 由余弦定理得， 即，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 所以在四面体中，任取两条棱，共有15种情况，其中相互垂直的棱有5对： ， 故， 由平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以4个面任选2个面，共有6种情况，其中相互垂直的面有3对： 平面平面，平面平面，平面平面， 故. 任选1个面和不在此面上的1条棱，先从4个平面任选1个平面，共有4种情况， 再从不在此面上的3条棱中选1条，有3种情况，故共有12种情况，其中满足垂直关系的有2种， 分别为平面和棱，平面和棱，故， 所以. 第8页 学科网（北京）股份有限公司 $