精品解析：2026年山东省 临沂市 兰山区九年级中考数学二模试题

2026年初中学生学业水平模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 近年来，中国新能源汽车产业发展迅速，2025年产量突破1652.4万辆，同比增长25.1%，保有量达4397万辆，连续10年产销量位居全球第一．以下四个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B、是轴对称图形不是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是轴对称图形不是中心对称图形． 2. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则，首先确定符号是负号，再用绝对值相减即可求得． 【详解】解：． 故选：A． 【点睛】此题考查了有理数的加法．首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 3. 平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点满足横坐标小于0，纵坐标大于0 ∴ 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 4. 在进行数学素养能力大赛校级竞选时，7名选手得分分别是：9，7，7，8，6，7，5，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（ ） A. 7，7，8 B. 8，7，7 C. 7，7，7 D. 7，8，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、中位数、平均数的定义依次计算三个统计量即可得到答案． 【详解】解：先将这组数据从小到大排序，得 ， ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，这里出现次，次数最多， ∴众数为， ∵这组数据共个数，第个数是， ∴中位数为， 计算平均数： ， ∴平均数为 因此这组数据的众数、中位数、平均数分别是． 5. 如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及间距离可得点E所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为5，且， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中含角的三角尺的角的顶点与含角的三角尺的直角的顶点重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，进而求出结论． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵正方形的边在上， ， ． ， ∴ ， ， ， ∴这个正方形零件的边长为． 8. 公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，设，则 ，构建关于的方程即可求出结论． 【详解】解：如图，连接，， 正八边形把圆分成了等分， 根据同圆中相等的弧所对的圆周角相等， 可得, , , , 设，则 . 由对称性可知四个阴影部分是全等的等腰直角三角形， 等腰直角三角形，， ， ， ， 阴影部分的面积 ． 9. 如图，等边的顶点，分别在函数图象的两个分支上，且经过原点．当点在函数的图象上移动时，顶点始终在函数的图象上移动，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的对称性可得，设，则，，根据等边三角形三线合一可证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：函数图象关于原点对称， ， 连接，过作轴于，过作轴于， 是等边三角形， ， ，， ， 设，则，， 轴，轴， ， ， ， ， 顶点在函数图象的两个分支上， ， ， 顶点始终在函数的图象上， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了综合运用反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象关于原点对称，相似三角形的判定与性质及等边三角形等知识点，难度不大，属于中档题． 10. 已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】先通过消元法解方程组，得到用表示的，再逐一验证四个结论，用到二元一次方程组解法，象限内点的坐标特征等知识点． 【详解】解：， 由，可得， 把代入，得， 即方程组的解为， 当时，，， 代入，满足方程，故①正确； 若，则，整理得，解得， 即存在实数满足条件，故②正确； ∵， ∴不论取何值，恒为，值不变，故③正确； 若点落在第三象限，需满足且，即， 解得，该不等式组无解， ∴没有点落在第三象限，故④正确． 综上，四个结论都正确，选项D符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生务必用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】交换原命题的题设与结论得到逆命题，再根据分式有意义的条件判断逆命题的真假即可． 【详解】解：逆命题为：如果，那么， 当，时，分式与无意义，则等式不成立， ∴逆命题是假命题． 12. 函数中自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】函数表达式同时含有二次根式和分式，需满足二次根式被开方数非负，分式分母不为0，据此列不等式求解即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得且， 解得：且． 13. 如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】连接、，根据圆周角定理可知，根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据正切的定义即可求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、， ， ， 是直径， ， ， 由网格可知，， ． 14. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由作图可知，，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，然后在和中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由作图可知，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 15. 一次数学考试共有8道判断题，每位同学选择或者，每道题判断正确得10分，判断错误不得分，满分80分．甲、乙、丙、丁四名同学的答卷及得分情况如表所示，则的值为______． 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 60 乙 50 丙 50 丁 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查合情推理，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，属于基础题． 由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得m值． 【详解】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是50分，所以第2，5两题答案正确； 又因为甲得分60分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是； 对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分， 故答案为：60． 三、解答题 16. 计算： （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 当时，原式． 17. 如图，为等边三角形，为它的一个外角． （1）尺规作图：分别作与的角平分线相交于点，连接；（保留痕迹，不写画法） （2）在（1）成立的条件下，求证：四边形为菱形． 【答案】（1） （2）证明： 为等边三角形， ，， 由（1）分别为与的角平分线， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线尺规作图的步骤作图即可； （2）由等边三角形和角平分线的性质，求出各角度数，证明，再结合即可证明菱形． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 18. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 【答案】（1）屋顶到横梁的距离为 （2）房屋的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）根据题意得出，，解即可得出答案； （2）过点作于点，设，得出，，得出，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． 【小问2详解】 解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． 19. 某初级中学组织学生讲题大赛活动，参赛选手的选题分别分布在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域．依据选题所属领域、选题数量，绘制了如下尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次活动所选题目总数量为_______，在图1中，________； （2）补全图2； （3）在属于综合与实践领域的4道题目中，有3道题与函数相关，1道题与圆相关．若从中随机选取2道题目进行研讨，求选中的2道题目都是与函数相关的题目的概率． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“统计与概率”在扇形统计图的占比与在条形统计图中的数量，求出总数量；再由扇形统计图，用，即可求出 （2）由选题的总数量和“图形与几何”的占比，求出“图形与几何”的选题数量，即可作图； （3）列举出所有等可能的选取情况，数出2道题目都是与函数相关的情况数，再用符合条件的结果数除以总的结果数，从而得到相应的概率． 【小问1详解】 解：由题意可得， “统计与概率”的选题数量有道，占总数量的， 本次活动所选题目总数量为， 由扇形统计图可得， ， ． 【小问2详解】 解：由题意可得， “图形与几何”的选题数量为． 【小问3详解】 解：设3道题与函数相关的题目分别为，道与圆相关的题目为， 从道题目中随机选取道题目的所有可能情况为：共种， 其中道题目都是与函数相关的情况有：共种， 选中的道题目都是与函数相关的题目的概率为． 20. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 0 1.2 2.4 4.8 6.0 … 0 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中的值为__________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与，与的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编，同时开始编织，编织面积恰好相等时，所用时间为__________； ②该工厂接到一批订单，需要平编产品200件，绞编产品100件．已知生产一件平编产品要比生产一件绞编产品多用，本次订单两种产品总编织面积为．那么两种产品每件的编织面积分别是多少？ 【答案】（1） （2）如图所示： （3）①；②平编产品每件的编织面积是，绞编产品每件的编织面积是 【解析】 【分析】（1）由与的关系可以近似用正比例函数表示，先求出函数表达式，再将代入求即可； （2）根据题干中数据，描点连线即可； （3）①观察函数图象，可得与的关系可用二次函数表示，求出二次函数解析式，再根据面积相等列方程求解即可； ②设生产一件绞编产品需要，则生产一件平编产品需要，根据题意及（1）（2）问得出的结论列一元二次方程求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，与的关系可以近似用正比例函数， 可设， 将代入可得，解得， ， 当时，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由函数图象，可得与的关系可用二次函数表示， 可设， 将代入可得， ，解得， ， 由（1）得， 当同时开始编织，编织面积恰好相等时， ，即， 解得或（舍） ． ②设生产一件绞编产品需要，则生产一件平编产品需要． 由题意可得，， 整理可得，因式分解得， 解得或（舍）， 平编产品每件的编织面积为， 绞编产品每件的编织面积为． 21. 已知二次函数，其函数图象顶点为． （1）顶点的坐标为______；记与轴交点为，点的坐标为_______．（含的代数式表示）； （2）若点也在该函数图象上． ①求这个二次函数的解析式； ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1） （2）①②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标公式为求解即可；令，求得对应的函数值即可． （2）①把点代入抛物线解析式，确定a值即可求得二次函数的解析式； ②根据，对称轴分类求解即可． 【小问1详解】 解：由，根据抛物线的顶点坐标公式为，得即； 令，得， 故． 【小问2详解】 ①解：把点代入抛物线解析式， 得， 解得， 故二次函数的解析式为； ②解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线的开口向上，抛物线上的点与对称轴的距离越大，其函数值越大，且对称轴的左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大， 当时，在对称轴的左侧， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 故， 解得，不符合的要求，舍去； 当时， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得， 不符合的要求，舍去； 故； 当时， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得， ，，不符合的要求，都舍去； 当时，在对称轴的右侧， 时，函数取得最大值，且为； 时，函数取得最小值，且为； 函数的最大值与最小值的差为， ， 整理得， 解得，符合的要求， 故； 综上所述，或． 22. 如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，由圆周角定理可知，等量代换可证结论成立； （2）根据直径所对的圆周角是直角，可知，根据余弦定义可知，可以求出，由垂径定理可知，利用的余弦求出，利用勾股定理求出，从而可得，，可以求出，利用三角函数求出，根据勾股定理列式计算，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：如下图所示，连接， 弦直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ，， ， 在中，， ，解得， ，， 弦直径， ，， 在中，， ，， ，， 在中，， 为切线，是半径， ， ， 在中，， ， ， 则． 23. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图1，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形__________（填“是”或“不是”）标准矩形； 【深入探究】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． （2）如图2，当恰好经过点时，旋转角的度数是__________，线段的长是__________； 【拓展应用】 （3）当矩形在平面内绕点旋转到如图3的位置时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】（1）是 （2）， （3） 证明：如图，分别过两点作的垂线，垂足为， 由旋转可知，, , , , 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据标准矩形的定义，分别求出的长度即可判断； （2）由（1）的结论，得出为等腰直角三角形，进而推出，即可； （3）如图，分别过两点作的垂线，通过旋转性质得出相关线段和角相等，先后根据角角边定理证明，，从而得到． 【小问1详解】 解：四边形为标准矩形， , ，分别是，的中点， ,且，， 四边形为矩形， ， ，即， 矩形是标准矩形． 【小问2详解】 解：矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学生学业水平模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在答题卡规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂到答题卡中． 1. 近年来，中国新能源汽车产业发展迅速，2025年产量突破1652.4万辆，同比增长25.1%，保有量达4397万辆，连续10年产销量位居全球第一．以下四个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 在进行数学素养能力大赛校级竞选时，7名选手得分分别是：9，7，7，8，6，7，5，则这组数据的众数、中位数和平均数分别是（ ） A. 7，7，8 B. 8，7，7 C. 7，7，7 D. 7，8，7 5. 如图，已知正方形的面积为，点在数轴上，且表示的数为．现以点为圆心．以的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点（在的右侧），则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中含角的三角尺的角的顶点与含角的三角尺的直角的顶点重合，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一块锐角三角形材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 公元三世纪中期，我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓“割圆术”，是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，间接求出圆面积和周长的方法．如图，在半径为2的圆内作两个正方形，得到一个正八边形，则阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边的顶点，分别在函数图象的两个分支上，且经过原点．当点在函数的图象上移动时，顶点始终在函数的图象上移动，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 2 D. 3 10. 已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 注意事项： 1．第Ⅱ卷分填空题和解答题． 2．第Ⅱ卷所有题目的答案，考生务必用0.5毫米黑色签字笔答在答题纸规定的区域内，在试卷上答题不得分． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 命题“如果，那么”的逆命题是__________（填“真”或“假”）命题． 12. 函数中自变量的取值范围是__________． 13. 如图，在边长为的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为________． 14. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为__________． 15. 一次数学考试共有8道判断题，每位同学选择或者，每道题判断正确得10分，判断错误不得分，满分80分．甲、乙、丙、丁四名同学的答卷及得分情况如表所示，则的值为______． 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 60 乙 50 丙 50 丁 三、解答题 16. 计算： （1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 17. 如图，为等边三角形，为它的一个外角． （1）尺规作图：分别作与的角平分线相交于点，连接；（保留痕迹，不写画法） （2）在（1）成立的条件下，求证：四边形为菱形． 18. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， （1）求屋顶到横梁的距离； （2）求房屋的高． 19. 某初级中学组织学生讲题大赛活动，参赛选手的选题分别分布在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个学习领域．依据选题所属领域、选题数量，绘制了如下尚不完整的扇形统计图（如图1）与条形统计图（如图2）． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次活动所选题目总数量为_______，在图1中，________； （2）补全图2； （3）在属于综合与实践领域的4道题目中，有3道题与函数相关，1道题与圆相关．若从中随机选取2道题目进行研讨，求选中的2道题目都是与函数相关的题目的概率． 20. 竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 … 0 1.2 2.4 4.8 6.0 … 0 0.5 2.0 4.5 8.0 12.5 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，其中与的关系可以近似用正比例函数刻画． （1）表中的值为__________； （2）在给出的平面直角坐标系中，画出与，与的函数图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编，同时开始编织，编织面积恰好相等时，所用时间为__________； ②该工厂接到一批订单，需要平编产品200件，绞编产品100件．已知生产一件平编产品要比生产一件绞编产品多用，本次订单两种产品总编织面积为．那么两种产品每件的编织面积分别是多少？ 21. 已知二次函数，其函数图象顶点为． （1）顶点的坐标为______；记与轴交点为，点的坐标为_______．（含的代数式表示）； （2）若点也在该函数图象上． ①求这个二次函数的解析式； ②当时，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 22. 如图，，均为的直径，作弦于点，连接．过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 23. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸，我们不妨称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图1，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形__________（填“是”或“不是”）标准矩形； 【深入探究】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形． （2）如图2，当恰好经过点时，旋转角的度数是__________，线段的长是__________； 【拓展应用】 （3）当矩形在平面内绕点旋转到如图3的位置时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $