江苏南京市玄武区2025-2026学年七年级下学期数学期末模拟试卷

**基本信息** 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷，以新苏科版下册内容为核心，融合科技前沿（阿秒光脉冲、新能源汽车）、文化传承（杨辉三角）及生活实践（垃圾分类购买），通过图形变换、方程不等式等知识，培养抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|轴对称图形、整式计算、完全平方公式|结合新能源汽车标志考轴对称，体现数学眼光| |填空题|10/20|科学记数法、平移、新定义运算|阿秒光脉冲考科学记数法，融入科技情境| |解答题|11/88|图形变换、方程组应用、杨辉三角|垃圾分类购买方案（25题）考模型意识，翻折平移旋转综合（27题）提升空间观念|

2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版七年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.近年来，国产新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量下面四个新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：、、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意； 选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：． 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 3.若是一个完全平方式，则的值为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】略 4.九章算术中记载：“今有人共买物，人出八，盈三人出七，不足四问人数、物价各几何”其大意是：“现在有一些人共同出钱买一个物品，每人出钱，还盈余钱每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 5.如图，长方形木框内、外边长的总和不超过，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】长方形木框外边长和为，内边长和为，且内、外边长的总和不超过，，解得．要保证内边长为正，解得，则的取值范围是． 6.如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点若，则；若，则；若，则；若，则以上命题中真命题的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断，即可得出结论． 【详解】解：平分， ， ， ， ，故是真命题； 平分， ， ， ， 由无法证明，故是假命题； ，， ， ， ， 平分，平分， ， ，故是真命题； 如图，延长交于点， ，， ， 平分，平分， ， ，， ， ，故是真命题； 真命题的个数是． 故选：． 本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.年月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”什么是阿秒？阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是阿秒，将阿秒用科学记数法表示为          秒 【答案】  【解析】略 8.将 中的“”换成“ ”得到 类似的，已知 ，则           ． 【答案】  【解析】此题考查了完全立方公式，熟练掌握完全立方公式是解题的关键； 依据 ，将换作 ，即可得到计算结果． 【详解】解：  ． 故答案为： ． 9.如图，将正方形沿方向平移得到正方形点、、、的对应点分别是点、、、，点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】先根据平移的性质可得，，求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移可得，，， ， 阴影部分的面积为． 10.“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个          命题．填“真”、“假” 【答案】假  【解析】本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； “两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 11.如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，若，，则的周长是          ． 【答案】  【解析】略 12.若，且，则的取值范围是          ． 【答案】  【解析】略 13.某学校组织学生乘汽车到距离学校千米的植物园春游，早晨从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于到达植物园设汽车的速度为千米时，则列一元一次不等式为          不用化简． 【答案】  【解析】略 14.如图，已知图、图均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为          ． 【答案】  【解析】本题考查完全平方公式与几何图形，设直角三角形的另一条直角边长为，利用割补法和正方形的面积公式分别表示出，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一条直角边长为， 则：，， ； 故答案为：． 15.如图，，分别交直线，于点，，且，点是位于直线，之间且在直线左侧的一点，连接，，作射线关于的对称射线，作射线关于的对称射线，若，则的度数为            【答案】或  【解析】解：关于的对称射线作射线关于的对称射线， 当在左侧时，    过作，  因为，  所以，，  设，，由对称可知，  因为，  所以；  同理，  所以，  设，交于点，  所以，  所以，  所以，，  即，，  所以，即，  当在右侧时，    过作，  因为，  所以  设，，  由对称可知，  因为，  所以；  同理，  所以，  设，交于点，  所以，  因为，即，，  所以，即，  故答案为：或． 分、在左侧和右侧两种情况，过作，利用得，将转化为设，，结合对称对称射线与原射线夹角相等、垂直、平行线同旁内角互补等性质，建立角度和差方程，求解 即． 本题考查平行线的性质、角的对称及角度计算，解题关键是作辅助线利用平行线性质，结合对称与垂直条件，通过角度关系推导求解． 16.新定义一个运算：例如，用表示大于的最小整数，例如，，按照上述规定，如果整数满足，则的值是          ． 【答案】或  【解析】因为，所以，则， 因为， 所以， 整理得， 当时，， 则，解得． 因为为整数， 所以 当时，，则， 解得． 因为为整数， 所以． 综上，的值是或． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算：； 化简：． 【答案】(1) ；   (2) ．   【解析】  本题主要考查乘方，零次幂，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 分别算出乘方，零次幂，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可；   根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算展开，再合并同类项即可． 18.本小题6分解方程不等式组： ； ． 【答案】(1)解：∵ 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， ∴方程组的解为：；   (2)解：∵ 解不等式得 解不等式得，， 故不等式组的解集为：．   【解析】  本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算方法． 利用加减消元法求解即可；   先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 19.本小题6分 先化简，再求值： ，其中 ， ． 【答案】解：                   当 ， 时，原式 ．   【解析】先根据乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20.本小题分 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． 在图中，作，使在格点上，且与成轴对称； 在图中，作，使、均在格点上，且与成中心对称； 在图中，作，使、均在格点上，且是绕着点顺时针方向旋转后的图形． 【答案】解：与成轴对称，如图即为所作； 与成中心对称，如图即为所作； 如图，即为所作．   【解析】根据轴对称图形的特点作出图形即可； 根据中心对称图形的特点作出图形即可； 根据旋转对称图形的特点作出图形即可． 本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转变换的性质． 21.本小题分 如图，已知，，，求的度数． 已知，                      已知，                      已知，                      已知，                      已知，                                          ． 【答案】 两直线平行，内错角相等 等量代换 两直线平行，同位角相等 等量代换 两直线平行，同旁内角互补   【解析】略 22.本小题分 “整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：，，． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： 已知，求的值； 若都是正整数能被整除，试说明也能被整除． 【答案】(1)解：∵， ∴， ∴ ；   (2)解：由 ， ∵（，都是正整数）能被整除，能被整除， ∴能被整除， ∴也能被整除．   【解析】  本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，得，把变形为，然后代入即可求解；  先由变形为，又都是正整数能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 23.本小题分 不等式最小整数解是方程的解，求的值． 已知方程组的解满足、都为负数，求的取值范围； 【答案】解：， 解得：， 符合的取值范围的最小整数解为：， 把代入方程得：， 解得：， ； 解： 得：，即， 得：，即， 根据题意得： 解得：．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 24.本小题分 公元世纪，北宋数学家贾宪在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失世纪，南宋数学家杨辉在详解九章算法一书中引用了此图表，如图，并指明此表为贾宪所用，后来得以流传，人们称这个图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”事实上，如图，这个数表给出了为非负整数的展开式的系数规律根据规律，回答下列问题： 展开式中的系数是______ ；展开式中所有项的系数和为______ ； 利用上面的规律计算：； 如图，在“杨辉三角”中，从第三行起取每一行的第三个数，依次记为，，，，计算． 【答案】；；  原式 ；  根据题意可知：，，，  ，  原式          ．  【解析】解：，  展开式中的系数是；  展开式中所有项的系数和为；  展开式中所有项的系数和为；  展开式中所有项的系数和为；  展开式中所有项的系数和为；  根据规律可得展开式中所有项的系数和为；  故答案为：；；  原式 ；  根据题意可知：，，，  ，  原式          ． 根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解；  利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可；  根据规律得出：，将已知式子裂项为，即可求解． 本题考查杨辉三角的应用，正确进行计算是解题关键． 25.本小题分 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买，两种型号的新型垃圾桶现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买，两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求，两种型号的新型垃圾桶的单价 任务二：有哪几种购买方案 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元 【答案】解：任务一设型号的新型垃圾桶的单价是元，型号的新型垃圾桶的单价是元，根据题意得解得 答：型号的新型垃圾桶的单价是元，型号的新型垃圾桶的单价是元 任务二设购买个型号的新型垃圾桶，则购买个型号的新型垃圾桶，根据题意得 解得，又为正整数，可以为，，，共种购买方案，方案购买个型号的新型垃圾桶，个型号的新型垃圾桶方案购买个型号的新型垃圾桶，个型号的新型垃圾桶方案购买个型号的新型垃圾桶，个型号的新型垃圾桶 任务三选择方案所需费用为元选择方案所需费用为元选择方案所需费用为元，，方案更省钱，最低购买费用是元   【解析】略 26.本小题10分 在学习整式乘法时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式 变形成 ，然后通过计算如图阴影部分的面积说明了变形后的公式： ． 现有四个长与宽分别为 、 的相同的小长方形拼成图的图形，根据图中条件，然后通过计算图中阴影部分的面积，可以验证关于 、 的关系式：          用含 、 的代数式表示出来； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 若 ， ，则 的值为          ； 若 满足 ，求 的值为          ． 如图，长方形 的面积为，将正方形 叠放在长方形 上， 在线段 上， 在线段 上，直线 与直线 交于点 ，若四边形 和四边形 都是正方形， ， ，求正方形 的边长； 如图，四边形 是正方形， ， 分别是 、 上的点，且 ， ，分别以 、 为边长作正方形 和正方形 若长方形 的面积为，则阴影部分的面积为          ． 【答案】(1)  (2)62;5  (3)解：设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，  四边形 是正方形，  ，  ，  ，  ，  长方形 的面积为60，  ，  ，  ，  ，  ，  正方形 的边长为16；   (4)40  【解析】  本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据图形得到阴影部分的边长为 ，大正方形的边长为 ，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； 解：根据题意得：阴影部分的边长为 ，大正方形的边长为 ， 则阴影部分的面积为： ；   利用完全平方公式变形求解即可； 解： ；  ；  设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，根据题意易得到 、 ，利用完全平方公式变形求出正方形 的边长即可；   设正方形 的边长为 、正方形 的边长为 、正方形 的边长为 ，则 、 ， ，利用完全平方公式变形求解即可． 解：设正方形 的边长为 、正方形 的边长为 、正方形 的边长为 ，  、 ，  长方形 的面积为 ，  ，  ，  ，  ，  阴影部分的面积为 ． 27.本小题12分 校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪 中如图，已知 ， ，宝藏藏匿点与草坪内包含草坪边界一动点 的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下： 将 沿直线 进行翻折，得到 ； 将翻折后得到的点 沿着水平方向向右平移个单位长度，得到新的点 ；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标： 闯关问题 当动点 恰好位于长方形草坪的边 上时，在图中画出相应的示意图无需尺规作图并求线段 的长度； 若动点 可以在长方形草坪内部任意移动包含草坪边界，连接 ，结合翻折、平移的图形性质，则线段 长度的最小值           ； 在的条件下，即 取最小值时，连接 ， ，将 绕点顺时针旋转，其中点、点的对应点分别为、，点为边 上的动点，当点 与点距离最近的时候，点所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置只要画出示意图，不需要尺规作图，并直接写出此时线段 的长度． 【答案】(1)解：根据题意画出图形如图所示：连接 交 于点 ， 由折叠的性质可得 ， ， ∵四边形 为长方形， ， ∴ ， ∴ ， 由平移的性质可得 ， ∴ ；   (2)  (3)解：如图：由垂线段最短可得，当 时， 最小， 由旋转的性质可得： ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ 的最小值为 ， ∵ ， ∴此时线段 的长度最小，为 ．   【解析】 根据题意画出图形，连接 交 于点 ，由题意可得 ，结合折叠的性质可得 ，由平移的性质可得 ，即可得出结果；   当点 与点 重合时，由轴对称的性质可得点 与点 重合，再由平移的性质可得 ，此时 最小，由此计算即可得出结果； 解：如图：当点 与点 重合时，由轴对称的性质可得点 与点 重合，再由平移的性质可得 ， 此时 最小，为 ；  由垂线段最短可得，当 时， 最小，由旋转的性质可得 ， ， ，由等面积法求出 的最小值为 ，最后再由 计算即可得出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新苏科版七年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.近年来，国产新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量下面四个新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若是一个完全平方式，则的值为(    ) A. B. 或 C. 或 D. 或 4.九章算术中记载：“今有人共买物，人出八，盈三人出七，不足四问人数、物价各几何”其大意是：“现在有一些人共同出钱买一个物品，每人出钱，还盈余钱每人出钱，还差钱，问人数、物品价格各是多少”设人数为人，物品的价格为钱，根据题意，可列方程组为(    ) A. B. C. D. 5.如图，长方形木框内、外边长的总和不超过，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点若，则；若，则；若，则；若，则以上命题中真命题的个数是(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.年月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”什么是阿秒？阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是阿秒，将阿秒用科学记数法表示为          秒 8.将 中的“”换成“ ”得到 类似的，已知 ，则           ． 9.如图，将正方形沿方向平移得到正方形点、、、的对应点分别是点、、、，点、、、在一条直线上，已知正方形的边长为，则阴影部分的面积为          ． 10.“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个          命题．填“真”、“假” 11.如图，直线，交于点，点关于，的对称点分别为，若，，则的周长是          ． 12.若，且，则的取值范围是          ． 13.某学校组织学生乘汽车到距离学校千米的植物园春游，早晨从学校出发，汽车匀速行驶，计划不能迟于到达植物园设汽车的速度为千米时，则列一元一次不等式为          不用化简． 14.如图，已知图、图均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部分的面积分别记为，则的值为          ． 15.如图，，分别交直线，于点，，且，点是位于直线，之间且在直线左侧的一点，连接，，作射线关于的对称射线，作射线关于的对称射线，若，则的度数为            16.新定义一个运算：例如，用表示大于的最小整数，例如，，按照上述规定，如果整数满足，则的值是          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本题6分）计算：； 化简：． 18.（本题6分）解方程不等式组： ； ． 19.本小题6分 先化简，再求值： ，其中 ， ． 20.本小题分 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． 在图中，作，使在格点上，且与成轴对称； 在图中，作，使、均在格点上，且与成中心对称； 在图中，作，使、均在格点上，且是绕着点顺时针方向旋转后的图形． 21.本小题分 如图，已知，，，求的度数． 已知，                      已知，                      已知，                      已知，                      已知，                                          ． 22.本小题分 “整体思想”在数学中应用极为广泛． 例如：已知，求的值． 解：，，． 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： 已知，求的值； 若都是正整数能被整除，试说明也能被整除． 23.本小题分 不等式最小整数解是方程的解，求的值． 已知方程组的解满足、都为负数，求的取值范围； 24.本小题分 公元世纪，北宋数学家贾宪在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚失世纪，南宋数学家杨辉在详解九章算法一书中引用了此图表，如图，并指明此表为贾宪所用，后来得以流传，人们称这个图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”事实上，如图，这个数表给出了为非负整数的展开式的系数规律根据规律，回答下列问题： 展开式中的系数是______ ；展开式中所有项的系数和为______ ； 利用上面的规律计算：； 如图，在“杨辉三角”中，从第三行起取每一行的第三个数，依次记为，，，，计算． 25.本小题8分 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买，两种型号的新型垃圾桶现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买，两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求，两种型号的新型垃圾桶的单价 任务二：有哪几种购买方案 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元 26.本小题10分 在学习整式乘法时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式 变形成 ，然后通过计算如图阴影部分的面积说明了变形后的公式： ． 现有四个长与宽分别为 、 的相同的小长方形拼成图的图形，根据图中条件，然后通过计算图中阴影部分的面积，可以验证关于 、 的关系式：          用含 、 的代数式表示出来； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： 若 ， ，则 的值为          ； 若 满足 ，求 的值为          ． 如图，长方形 的面积为，将正方形 叠放在长方形 上， 在线段 上， 在线段 上，直线 与直线 交于点 ，若四边形 和四边形 都是正方形， ， ，求正方形 的边长； 如图，四边形 是正方形， ， 分别是 、 上的点，且 ， ，分别以 、 为边长作正方形 和正方形 若长方形 的面积为，则阴影部分的面积为          ． 27.本小题12分 校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪 中如图，已知 ， ，宝藏藏匿点与草坪内包含草坪边界一动点 的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下： 将 沿直线 进行翻折，得到 ； 将翻折后得到的点 沿着水平方向向右平移个单位长度，得到新的点 ；闯关者需根据以上变换规则，完成闯关问题，解锁宝藏坐标： 闯关问题 当动点 恰好位于长方形草坪的边 上时，在图中画出相应的示意图无需尺规作图并求线段 的长度； 若动点 可以在长方形草坪内部任意移动包含草坪边界，连接 ，结合翻折、平移的图形性质，则线段 长度的最小值           ； 在的条件下，即 取最小值时，连接 ， ，将 绕点顺时针旋转，其中点、点的对应点分别为、，点为边 上的动点，当点 与点距离最近的时候，点所在的位置就是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置只要画出示意图，不需要尺规作图，并直接写出此时线段 的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新苏科版七年级数学下册全部内容。 第一部分（选择题共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.近年来，国产新能源汽车取得了令人瞩目的成就，成为全球汽车行业的重要力量.下面四个新能源汽车的 标志中，不是轴对称图形的是() ><A☑ 2.下列计算正确的是() A.3a3-a2=2a B.x2.x3=x6 C.(y3)2=y5 D.m3÷m2=m 3.若4x2+(m-2)x+1是一个完全平方式，则m的值为() A.-2 B.2或-6 C.-2或6 D.-2或-6 4.仇章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”其大意 是：“现在有一些人共同出钱买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱；每人出7钱，还差4钱，问人数、物 品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为() A名二x+2 B-y+c化-+子 D化+子 5.如图，长方形木框内、外边长的总和不超过45，则x的取值范围是() 第1页，共10页 A0<x< B1<x< C.日≤x<2 D.g≤x<月 6.如图，线段AC,BD相交于点O,连接AD,BC,并延长AD至点E,∠BCA的平分线与LBDE的平分线相交 于点M.①若LA=2LBCM,则AE//BC;②若∠M=2LBDM,则AE/MC;③若LA=∠B,则∠EDM+ ∠BCM=90°；④若∠AD0=∠BC0,则LM-∠B=90°.以上命题中真命题的个数是() M A.1 B.2 C.3 D.4 第二部分（非选择题共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产 生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒？1阿秒是1018秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界 上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为秒. 8.将(a+b)2=a2+2ab+b2中的“b”换成“-b”得到(a-b)2=a2-2ab+b2.类似的，已知(a+ b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,则(a-b)3=- 9.如图，将正方形ABCD沿BC方向平移2cm得到正方形A1B1C1D1(点A、B、C、D的对应点分别是点A1 B1、C1D1),点B、B1C、C1在一条直线上，己知正方形ABCD的边长为7cm,则阴影部分的面积为cm2. A D D BB 10.“两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”这是一个命题.（填“真”、“假”） 11.如图，直线l1,2交于点0，点P关于l1,2的对称点分别为P1,P2若0P=8,P1P2=14,则△P10P2 的周长是 第2页，共10页 12.若2x+y=1,且0<y<1,则x的取值范围是 13.某学校组织学生乘汽车到距离学校50千米的植物园春游，早晨8：00从学校出发，汽车匀速行驶，计划 不能迟于830到达植物园.设汽车的速度为x千米/时，则列一元一次不等式为（不用化简） 14.如图，已知图1、图2均为正方形拼图，其中所有直角三角形的形状及大小都相同，两个拼图中阴影部 分的面积分别记为S1,S2,则S1-S2的值为 ←4 S2 图1 图2 15.如图，AB//CD,EF分别交直线AB,CD于点E,F,且60°<∠AEF<90, E B 点P是位于直线AB,CD之间且在直线EF左侧的一点，连接EP,FP,作射线 EA关于EP的对称射线EA',作射线FC关于FP的对称射线FC,若EA'IFC', 则LEPF的度数为. /F D 16.新定义一个运算：a·b= 2,2ba>b例如21=2-2×1=2,1：2=-12+2×2=3用 -a2+2b(a≤b), <m>表示大于m的最小整数，例如<1>=2，<3.2>=4，<-3>=-2按照上述规定，如果整数x满 足<-2·3>=-2<1·x>+11,则x的值是· 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本题6分)（①计算：(23+(》°+3引 (2)化简：x(x-2y)-(x-y)2. 第3页，共10页 18.(本题6分)解方程（不等式）组： a+ 2(x+1)<3x-1 (2) (x-2>+1 19.(本小题6分) 先化简，再求值：(a+2b)(a-2b)-(a+2b)2,其中a=-2,b=1. 20.(本小题8分) 图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点， 点A、B、C均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图， A : B B B 图① 图② 图③ (1)在图①中，作△ABE,使E在格点上，且△ABE与△ABC成轴对称： (2)在图②中，作△BEF,使E、F均在格点上，且△BEF与△ABC成中心对称； (3)在图③中，作△BEF,使E、F均在格点上，且△BEF是△ABC绕着点B顺时针方向旋转90°后的图形， 第4页，共10页 21.(本小题8分) 如图，己知l1/2,l3/4,∠1=52°，求L3的度数. l1/l2(已知)， ·∠2=() ~∠1=52°（已知）， “∠2=(). l3/八4（已知）， ·L4=() ∠1=52°（已知）， 44=() l1/八2（已知）， ·.∠3+=180(). 43=180-°= 22.(本小题8分) “整体思想”在数学中应用极为广泛， 例如：已知a2-2=-3b,求2a2+6b-7的值. 解：a2-2=-3b,a2+3b=2,2a2+6b-7=2(a2+3b)-7=2×2-7=-3. 请尝试应用“整体思想”解决以下问题： (1)已知x2-2y-3=0,求3x2-6y+1的值： (2)若5m+3"(m,n都是正整数)能被8整除，试说明5m+2+3”也能被8整除. 第5页，共10页 23.(本小题8分) (1)不等式5(x-2)+8<6(x-1)+7最小整数解是方程2x-Qx=3的解，求a+的值. (②已知方程组2十y=31的解满配y都为负数，求a的取位布同： 24.(本小题8分) 公元11世纪，北宋数学家贾宪在其数学著作中给出了一张称为“开方作法本源”的三角形图表，原书佚 失.13世纪，南宋数学家杨辉在详解九章算法》一书中引用了此图表，如图①，并指明此表为贾宪所用， 后来得以流传，人们称这个图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”事实上，如图②，这个数表给出了（α+ b)”(n为非负整数)的展开式的系数规律根据规律，回答下列问题： 左右 积隅 本积 商除 平方 立方 三乘 Y四 四乘 五 五乘 (图①) 1 (a+b)'=a+b n=l (a+b)2=a2+2ab+b2 n=2 1X2X1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 13 3 n=3 (1X3X3X1 (a+b)4=a4+4a3b+6a3b2+4ab4b4 14（6 41 n=4 (图②) (图③) (1)(a+b)5展开式中a4b的系数是_一一-；(a+b)1展开式中所有项的系数和为 第6页，共10页 (2)利用上面的规律计算：35-5×34+10×33-10×32+5×3-1； (3)如图③，在“杨辉三角”中，从第三行起取每一行的第三个数，依次记为α1=1，a2=3,a3=6, 计算++…十， Fal'a2 a2026 25.(本小题8分) 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶现有如下材料： 材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的 新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元. 材料二：据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型 号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的号 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 第7页，共10页 26.(本小题10分) 在学习整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历 了“以数解形”“以形助数”的思想方法一一数形结合.某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式 (a+b)2=a2+2ab+b2变形成a2+b2=(a+b)2-2ab,然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变 形后的公式：a2+b2=(a+b)2-2ab. R E 图1 图2 图3 图4 (1)现有四个长与宽分别为Q、b的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中 阴影部分的面积，可以验证关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）： (2) 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若a+b=10,ab=19,则a2+b2的值为： ②若x满足(5-x)(x-2)=2,求(5-x)2+(x-2)2的值为 (3)如图3，长方形ABCD的面积为60，将正方形MNPD叠放在长方形ABCD上，A在线段MD上，C在线 段DP上，直线HG与直线EF交于点I,若四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形，AM=2,CP=6, 求正方形HBEI的边长； (4)如图4，四边形ABCD是正方形，E,F分别是AD、DC上的点，且AE=2,CF=6,分别以MF、DF为 边长作正方形MFRN和正方形DFGH.若长方形EMFD的面积为21，则阴影部分的面积为· 第8页，共10页 27.(本小题12分) 校园文化节开展“数学寻宝大闯关”活动，寻宝区域设定在长方形草坪ABCD中（如图），已知AB=6,BC= 8,宝藏藏匿点与草坪内（包含草坪边界）一动点P的位置息息相关，闯关规则需结合翻折、平移、旋转三种 图形变换确定位置，闯关成功即可找到宝藏，具体变换规则如下： 1.将△ABP沿直线AB进行翻折，得到△ABP': 2将翻折后得到的点P'沿着水平方向向右平移2个单位长度，得到新的点P”:闯关者需根据以上变换规则， 完成闯关问题，解锁宝藏坐标： D D B 备用图 N 闯关问题 (1) 当动点P恰好位于长方形草坪的边CD上时，在图中画出相应的示意图（无需尺规作图）并求线段PP'的长 度： A D B (2)若动点P可以在长方形草坪内部任意移动（包含草坪边界），连接CP”，结合翻折、平移的图形性质，则 线段CP"长度的最小值=一： (3)在(2)的条件下，即CP"取最小值时，连接AC,AC=10,将△ABC绕点B顺时针旋转，其中点A、点 C的对应点分别为M、N,点Q为边MN上的动点，当点P'与点Q距离最近的时候，点Q所在的位置就 是宝藏藏匿点的位置，请根据题意，在备用图中画出宝藏藏匿点的位置（只要画出示意图，不需要尺规作 图)，并直接写出此时线段PQ的长度， 第9页，共10页 第10页，共10页 2025-2026学年七年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10. 假  11.   12.   13.   14.   15. 或  16. 或  17. 【小题】 ； 【小题】 ．   18. 【小题】 解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 方程组的解为：； 【小题】 解： 解不等式得 解不等式得，， 故不等式组的解集为：．   19. 解：                   当 ， 时，原式 ．   20. 解：与成轴对称，如图即为所作； 与成中心对称，如图即为所作； 如图，即为所作．   21. 两直线平行，内错角相等 等量代换 两直线平行，同位角相等 等量代换 两直线平行，同旁内角互补   22. 【小题】 解：， ， ； 【小题】 解：由 ， 都是正整数能被整除，能被整除， 能被整除， 也能被整除．   23. 解：， 解得：， 符合的取值范围的最小整数解为：， 把代入方程得：， 解得：， ； 解： 得：，即， 得：，即， 根据题意得： 解得：．  24. ；；  原式 ；  根据题意可知：，，，  ，  原式          ．  25. 解：任务一设型号的新型垃圾桶的单价是元，型号的新型垃圾桶的单价是元，根据题意得解得 答：型号的新型垃圾桶的单价是元，型号的新型垃圾桶的单价是元 任务二设购买个型号的新型垃圾桶，则购买个型号的新型垃圾桶，根据题意得 解得，又为正整数，可以为，，，共种购买方案，方案购买个型号的新型垃圾桶，个型号的新型垃圾桶方案购买个型号的新型垃圾桶，个型号的新型垃圾桶方案购买个型号的新型垃圾桶，个型号的新型垃圾桶 任务三选择方案所需费用为元选择方案所需费用为元选择方案所需费用为元，，方案更省钱，最低购买费用是元   26. 【小题】 【小题】 【小题】 解：设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，  四边形 是正方形，  ，  ，  ，  ，  长方形 的面积为，  ，  ，  ，  ，  ，  正方形 的边长为； 【小题】   27. 【小题】 解：根据题意画出图形如图所示：连接 交 于点 ， 由折叠的性质可得 ， ， 四边形 为长方形， ，  ，  ， 由平移的性质可得 ，  ； 【小题】 【小题】 解：如图：由垂线段最短可得，当 时， 最小， 由旋转的性质可得： ， ， ，  ，  ，  的最小值为 ，  ， 此时线段 的长度最小，为 ．   【解析】 1. 解：、、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意； 选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； 故选：． 2. 本题考查整式的运算，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选D． 3. 略 4. 略 5. 长方形木框外边长和为，内边长和为，且内、外边长的总和不超过，，解得．要保证内边长为正，解得，则的取值范围是． 6. 根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断，即可得出结论． 【详解】解：平分， ， ， ， ，故是真命题； 平分， ， ， ， 由无法证明，故是假命题； ，， ， ， ， 平分，平分， ， ，故是真命题； 如图，延长交于点， ，， ， 平分，平分， ， ，， ， ，故是真命题； 真命题的个数是． 故选：． 本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7. 略 8. 此题考查了完全立方公式，熟练掌握完全立方公式是解题的关键； 依据 ，将换作 ，即可得到计算结果． 【详解】解：  ． 故答案为： ． 9. 先根据平移的性质可得，，求出的长，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由平移可得，，， ， 阴影部分的面积为． 10. 本题考查了真、假命题，平行线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意画出图形推导即可判断求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线被直线所截，交点分别为，平分，平分， ，， 当时，， 则， 此时； 当与不平行时，， 则， 此时和不平行； “两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是假命题， 故答案为：假． 11. 略 12. 略 13. 略 14. 本题考查完全平方公式与几何图形，设直角三角形的另一条直角边长为，利用割补法和正方形的面积公式分别表示出，进行求解即可． 【详解】解：设直角三角形的另一条直角边长为， 则：，， ； 故答案为：． 15. 解：关于的对称射线作射线关于的对称射线， 当在左侧时，    过作，  因为，  所以，，  设，，由对称可知，  因为，  所以；  同理，  所以，  设，交于点，  所以，  所以，  所以，，  即，，  所以，即，  当在右侧时，    过作，  因为，  所以  设，，  由对称可知，  因为，  所以；  同理，  所以，  设，交于点，  所以，  因为，即，，  所以，即，  故答案为：或． 分、在左侧和右侧两种情况，过作，利用得，将转化为设，，结合对称对称射线与原射线夹角相等、垂直、平行线同旁内角互补等性质，建立角度和差方程，求解 即． 本题考查平行线的性质、角的对称及角度计算，解题关键是作辅助线利用平行线性质，结合对称与垂直条件，通过角度关系推导求解． 16. 因为，所以，则， 因为， 所以， 整理得， 当时，， 则，解得． 因为为整数， 所以 当时，，则， 解得． 因为为整数， 所以． 综上，的值是或． 17.   本题主要考查乘方，零次幂，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 分别算出乘方，零次幂，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可；   根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算展开，再合并同类项即可． 18.   本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算方法． 利用加减消元法求解即可；   先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 19. 先根据乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 20. 根据轴对称图形的特点作出图形即可； 根据中心对称图形的特点作出图形即可； 根据旋转对称图形的特点作出图形即可． 本题考查了作图旋转变换，作图轴对称变换，解决本题的关键是掌握旋转变换的性质． 21. 略 22.   本题考查了代数式求值，同底数幂相乘逆用，整体代入思想，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，得，把变形为，然后代入即可求解；  先由变形为，又都是正整数能被整除，能被整除，从而可得也能被整除． 23. 详细解答和解析过程见【答案】 24. 解：，  展开式中的系数是；  展开式中所有项的系数和为；  展开式中所有项的系数和为；  展开式中所有项的系数和为；  展开式中所有项的系数和为；  根据规律可得展开式中所有项的系数和为；  故答案为：；；  原式 ；  根据题意可知：，，，  ，  原式          ． 根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解；  利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可；  根据规律得出：，将已知式子裂项为，即可求解． 本题考查杨辉三角的应用，正确进行计算是解题关键． 25. 略 26.   本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据图形得到阴影部分的边长为 ，大正方形的边长为 ，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； 解：根据题意得：阴影部分的边长为 ，大正方形的边长为 ， 则阴影部分的面积为： ；   利用完全平方公式变形求解即可； 解： ；  ；  设正方形 的边长为 ，正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ，根据题意易得到 、 ，利用完全平方公式变形求出正方形 的边长即可；   设正方形 的边长为 、正方形 的边长为 、正方形 的边长为 ，则 、 ， ，利用完全平方公式变形求解即可． 解：设正方形 的边长为 、正方形 的边长为 、正方形 的边长为 ，  、 ，  长方形 的面积为 ，  ，  ，  ，  ，  阴影部分的面积为 ． 27.  根据题意画出图形，连接 交 于点 ，由题意可得 ，结合折叠的性质可得 ，由平移的性质可得 ，即可得出结果；   当点 与点 重合时，由轴对称的性质可得点 与点 重合，再由平移的性质可得 ，此时 最小，由此计算即可得出结果； 解：如图：当点 与点 重合时，由轴对称的性质可得点 与点 重合，再由平移的性质可得 ， 此时 最小，为 ；  由垂线段最短可得，当 时， 最小，由旋转的性质可得 ， ， ，由等面积法求出 的最小值为 ，最后再由 计算即可得出结果． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $