精品解析：广东湛江市廉江市2025—2026学年度第二学期期中质量监测 八年级数学

2025—2026学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在表格里． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据二次根式的定义判断即可，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】二次根式的定义为形如的式子，据此逐一判断： ∵ 选项A中，可能为负数，不满足被开方数非负，∴ 不一定是二次根式； ∵ 选项B中根指数为2，被开方数，满足二次根式的定义，∴ 一定是二次根式． ∵ 选项C中根指数为3，属于三次根式，∴ 不是二次根式； ∵ 选项D中的被开方数，式子无意义，∴ 不是二次根式； 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，首先根据二次根式有意义的条件，可得；然后根据一元一次不等式的解法，求出的取值范围是多少即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 即的取值范围是． 故选：B． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的乘法，根据二次根式的性质、二次根式的乘法法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 1.5，2，3 B. 2，4，6 C. 8，10，12 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形三边关系的应用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A∵，∴不能组成直角三角形，故不符合题意； B．∵，∴不能组成三角形，故不符合题意； C∵，∴不能组成直角三角形，故不符合题意； D．∵，∴能组成直角三角形，故符合题意， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，故选项A错误，不符合题意； B．，故选项B正确，符合题意； C．，故选项C错误，不符合题意； D．不能合并，故选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解答本题的关键． 6. 如图，的顶点的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ） A. ) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由 A、D 两点纵坐标相同可知 轴，再说明 轴，即 B，C两点纵坐标相同．由A、D两点的坐标可求得的长度，再利用平行四边形对边相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 点 A 与点 D 的纵坐标相同，  ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 轴， ∴ 点 C的纵坐标与点 B 的纵坐标相同，即为，  ∵， ∴点C的横坐标为，即点C的坐标为． 7. 多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和为是解答本题的关键． 设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设外角为，则相邻的内角为， 由题意得，， 解得：， ∵多边形的外角和为， ， ∴这个多边形的边数为12． 故选：B． 8. 在中，连接，过点作交于点．若且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求得，进而求得，最后根据平行四边形的性质可得出答案． 【详解】解：于点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴ ． 9. 在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①②③先计算出中最大角的度数，再判断即可；④根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：①∵，∴，是直角三角形，故①能确定是直角三角形； ②∵，∴，∴，是直角三角形，故②能确定是直角三角形； ③∴，是等边三角形，故③不能确定是直角三角形； ④∵，∴设∴，是直角三角形，故④能确定是直角三角形； ∴能确定是直角三角形的条件是①②④，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定，如果已知三角形三边的长，利用勾股定理的逆定理加以判断；如果已知三角形三个角的关系，结合三角形内角和定理判断． 10. 如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，勾股定理，熟练掌握该方法是本题解题的关键．根据长方体的展开图，利用勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ； 如图， ； ∵， ∴需要爬行的最短路径长为10， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与多边形外角和恒为，结合题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得． 12. 比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 13. 如果菱形的对角线长24和10，那么菱形的周长为__________． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与勾股定理的应用，利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，再用勾股定理求出菱形的边长，最后根据菱形四边相等计算周长． 【详解】解：如图，四边形是菱形， 、、， 在中，由勾股定理得：， 菱形的周长为． 14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 【答案】 【解析】 【分析】由方向角的定义可得，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， 即此时两艘轮船相距． 15. 如图，矩形中，，垂足为，且，，则___________． 【答案】8 【解析】 【分析】由矩形的性质得，进而可证垂直平分，可得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，共27分． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简各二次根式，再根据二次根式除法法则计算，合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）将、的值代入原式计算即可； （2）将、的值代入原式计算即可． 【小问1详解】 解：当，时， 原式 ； 【小问2详解】 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 18. 如图，在四边形中，，，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 证明： ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ， ∵， ∴．即． 又∵ ， ∴四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，，， 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问2详解】 证明： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴．即． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 19. 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 20. 【知识应用】 （2）若，求的值． 21. 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得 ，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定a的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【19题详解】 解： 【20题详解】 解：由， 得 解得 ． 【21题详解】 解：， ，即， ， 则原方程可化为， ，即， ． 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法．解决本题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 五一假期，数学兴趣小组的同学来到湛江渔港公园放风筝．他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识解决实际问题．小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米）根据以上信息，解决下列问题： （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 【答案】（1）9.5米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求解； （2）根据勾股定理计算即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， 则米， ∴风筝离地面的垂直高度为9.5米． 【小问2详解】 解：如图，当风筝沿方向再上升12米时， ∴米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， ∴他应该再放出8米线． 23. 如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵菱形， ∴， ∴， 又∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ 四边形是菱形，， ∴， ∴在中， ． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ； 【小问3详解】 解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 25. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] （2）如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] （3）在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 【答案】（1）菱形 （2） 解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，由矩形的性质可得，，则，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则．由折叠的性质可得，，，，则，从而证明，因此，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明结论； （3）分类讨论，当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，容易证明四边形是矩形，．由平行四边形的性质可得，从而证明，则．利用勾股定理可得，容易证明，则，利用，求得；当时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点，同理可得，进而证明，则．由折叠的性质可得，，，从而求出，因此． 【小问1详解】 解：∵由沿折叠得到， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得； ②当时，如图，此时，设直线交于点，交于点，连接交于点，连接交于点， 同理①可得，点为的中点，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分， ∴，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中质量监测 八年级数学 （考试时间120分钟，满分120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在表格里． 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（ ） A. 1.5，2，3 B. 2，4，6 C. 8，10，12 D. 7，24，25 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点的坐标分别是，则顶点C的坐标是（ ） A. ) B. C. D. 7. 多边形的每一个内角都等于它相邻外角的5倍，则该多边形的边数是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 8. 在中，连接，过点作交于点．若且，则（ ） A. B. C. D. 9. 在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高，若棱的中点处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点处，则它需要爬行的最短路程是（ ） A. 10 B. C. 12 D. 14 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 12. 比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 13. 如果菱形的对角线长24和10，那么菱形的周长为__________． 14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距______． 15. 如图，矩形中，，垂足为，且，，则___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，共27分． 16. 计算： （1） （2） 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，，，平分． （1）尺规作图：作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）中所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）． 证明： ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ， ∵， ∴．即． 又∵ ， ∴四边形为平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 【课本再现】 一般地，如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫作的算术平方根，记为． 0的算术平方根是0，即，所以被开方数为非负数． 19. 【探究新知】 （1）若，则的取值范围是____________． 20. 【知识应用】 （2）若，求的值． 21. 【拓展应用】 （3）若，求的值． 22. 五一假期，数学兴趣小组的同学来到湛江渔港公园放风筝．他们想知道风筝离地面的垂直高度，于是利用所学数学知识解决实际问题．小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．（即米）根据以上信息，解决下列问题： （1）求风筝离地面的垂直高度． （2）如果小明想要把风筝沿射线方向再上升12米，且长度不变，那么他应该再放出多少米线？ 23. 如图，在菱形中，E是边的中点，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：． （2）若，且，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 24. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 25. 综合与实践课上，老师请同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）如图1，折叠矩形纸片，使点与点重合，折痕为，将纸片展开，连接，，则四边形的形状是________． [深入探究] （2）如图2，在矩形纸片中，点，分别是，边上的点，且，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，，得到四边形，请你猜想四边形的形状，并给出证明． [拓展应用] （3）在（2）的条件下，若，，当直线与矩形的一边平行时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $