2024年山东桓台县城南学校初四下学期数学练习题

**基本信息** 聚焦核心素养，融合生活情境与数学思维，梯度设计适配中考三模实战需求，如太阳能路灯应用（第21题）、“双减”球类活动统计（第19题）等，强化运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|科学记数法、三视图、统计量|第3题结合光的速度考查科学记数法，体现数学眼光| |填空题|5/20|因式分解、旋转坐标、圆面积|第14题以太极图为背景计算内切圆面积，渗透文化传承| |解答题|8/90|工程问题、圆的证明、二次函数综合|第23题二次函数与平行四边形探究，考查推理能力；第17题安装工程问题，强化模型意识|

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共8 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码。 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不允许使用计算器。 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5．不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．﹣|1﹣1|的计算结果为（　　） A． B． C． D． 2．如图是由7个大小相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．光在真空中的速度约为每秒30万千米，用科学记数法表示（　　）千米/秒． A．0.3×106 B．3×105 C．30×104 D．300×103 4．如图，直线a∥b，将含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°）按图中位置摆放，若∠1＝110°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．36° C．40° D．50° 5．学习组织“超强大脑”答题赛，参赛的11名选手得分情况如表所示，那么这11名选手得分的中位数和众数分别是（　　） 分数（分） 60 80 90 95 人数（人） 2 2 3 4 A．86.5和90 B．80和90 C．90和95 D．90和90 6．如图，已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则＝（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣α＝90° D．2α﹣β＝90° 8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB＝1：3，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于点P．若P（1，1），则tan∠ACO的值是（　　） A． B．3 C． D．2 9．如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为（2，3），则图象最低点E的坐标为（　　） A．（，2） B．（，） C．（，） D．（，2） 10．如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…，均在反比例函 数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+…+y2023的值为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.请直接填写最后结果. 11．分解因式：3m2﹣12＝　 　． 12．如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是　 　． 第12题图 第14题图 13.关于x的方程x2﹣8x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 　 　． 14．如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称．若等边△ABC的边长为6，则圆中的黑色部分的面积是 　 　． 15.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在边AD、BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，点B的对应点点G恰好落在CD上，点A的对应点是点H，则BH+2EF的最小值为__________________. 第15题图 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．先化简，再求值：，其中a＝． 17．为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天． （1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？ （2）已知甲公司安装费每天800元，乙公司安装费每天400元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过15000元，则最多安排甲公司工作多少天？ 18．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）求证：DF2＝EF•AB． 19．在“双减”政策下，某校体育组在八年级开展的球类活动有：A．乒乓球，B．篮球，C．排球，D．羽毛球，要求八年级的每位学生必须参加且仅参加一项．学校体育组根据实际情况，要安排活动场地，随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是 　 　人；在扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数是 　 　； （2）请把这两幅统计图补充完整； （3）若该校八年级学生有600名，请估计该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有多少人？ （4）小明与小亮是好朋友，且同在该校八年级上学，请用画树状图或列表的方法说明小明与小亮参加同一球类活动的概率． 20．如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6． （1）求k值和点D的坐标； （2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标． 21．小华去太华路小学参加中考体育测试时发现，太华路小学的路灯照明是依靠太阳能光板供给的，如图所示，路灯立柱长10.3米，支架的长为0.4米，支点到立柱顶端的距离为0.3米，支架与立柱的夹角，支架与光板垂直，太阳能光板长为1.2米，点是的中点，求太阳能光板最低点离地面的高度（结果保留根号）． 22．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D，我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”． （1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是 　 　． （2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； ②若∠COD＝60°，求证：AC+BD＝OC． 23. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB． （1）如图1，当AC∥x轴时， ①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式； ②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c． （2）如图2，若b＝﹣2，＝，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 初四数学练习题参考答案 （仅供参考） 1、 选择题（每小题4分，共计40分.） 1． A．2．C．3．B．4．C．5．C．6．D． 7．D．8. D 9. C 10. B 2、 填空题（每空4分，共计20分） 11．3（m﹣2）（m+2） 12．（，3）． 13．16 14．π 15. 三、解答题（共8个题，共计90分） 16．（10分）先化简，再求值：，其中a＝． 【解答】解： ＝ ＝ ＝， 当a＝时，原式＝-． 17．（10分）【解答】解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室， 根据题意得：﹣＝3， 解得：x＝4， 经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意， 则1.5x＝1.5×4＝6， 答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室； （2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天， 根据题意得：800y+×400≤15000， 解得：y≤15， 答：最多安排甲公司工作15天． 18．（10分） 【解答】（1）证明：连接OD，如右图1所示， ∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE， ∴∠ODE＝∠DEA＝90°， ∴∠ODE+∠DEA＝180°， ∴OD∥AC， ∴∠ODA＝∠DAC， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠DAC＝∠OAD， ∴AD平分∠BAC； （2）方法一：证明：连接BD，如右图1所示， ∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径， ∴∠DEF＝∠ADB＝90°， ∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°， ∴∠EFD＝∠DBA， ∴△EFD∽△DBA， ∴， ∴DB•DF＝EF•AB， 由（1）知，AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠DAB， ∴DF＝DB， ∴DF2＝EF•AB． 方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，如右图2所示， ∵OD＝OF，OM⊥DF， ∴DM＝MF＝DF， ∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°， ∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°， ∴∠DEF＝∠OMD， 又∵∠DEF＝∠OMD， ∴△DEF∽△OMD， ∴， ∴EF•OD＝DF•MD， ∵OD＝AB，DM＝DF， ∴EF•AB＝DF•DF， ∴DF2＝EF•AB． 19． （12分） 【解答】解：（1）本次调查的总人数为16÷32%＝50（人）， 则B项目人数为50×26%＝13（人）， C项目人数为50﹣（16+13+11）＝10（人）， ∴在扇形统计图中“C”所在扇形的圆心角的度数是360°×＝72°， 故答案为：50、72°； （2）补全图形如下： （3）600×＝276（人）， 答：估计该校参加篮球和排球活动的八年级学生共有276人； （4）画树状图为： 共有16种等可能的结果数，其中小明与小亮参加同一球类活动的有4种结果， 所以小明与小亮参加同一球类活动的概率为＝． 20. （10分） 【解答】解：由题意知，米，米，米，，米， 米， 如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， 米， 米， （米）， （米）， 因此，太阳能光板最低点离地面的高度为米． 21．（12分）【解答】解：（1）设点D坐标为（m，n），由题意得OH•DH＝mn＝6， ∴mn＝12， ∵点D在y＝的图象上， ∴k＝mn＝12， ∵直线y＝﹣x﹣2的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为（﹣4，0）， ∵CD⊥x轴， ∴CH∥y轴， ∴， ∴OH＝AO＝4， ∴点D的横坐标为4． ∵点D在反比例函数y＝的图象上 ∴点D坐标为（4，3）； （2）由（1）知CD∥y轴， ∴S△BCD＝S△OCD， ∵S△BDE＝2S△OCD， ∴S△EDC＝3S△BCD， 过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M， ∵S△EDC＝CD•EF，S△BCD＝CD•OH， ∴CD•EF＝3×CD•OH， ∴EF＝3OH＝12． ∴EM＝8， ∴点E的横坐标为﹣8 ∵点E在直线y＝﹣x﹣2上， ∴点E的坐标为（﹣8，2）． 22．（13分）（1）解：猜想：OC＝OD． 理由：如图1中，∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACO＝∠BDO＝90°， ∵点O是线段AB的中点， ∴OA＝OB， 在△AOC与△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）， ∴OC＝OD， 故答案为：OC＝OD； （2）解：“足中距”OC和OD数量关系依然成立． 理由：如图，过点O作直线EF∥CD，交AC的延长线于点E，交BD于F， ∵EF∥CD， ∴∠DCE＝∠E＝∠CDF＝90°， ∴四边形CEFD为矩形， ∴∠OFD＝90°，CE＝DF， 由（1）同理得，OE＝OF， 在△COE与△DOF中， ， ∴△COE≌DOF（SAS）， ∴OC＝OD； （3）①解：“足中距”OC和OD的数量关系依然成立． 理由：如图3中，延长CO交DB的延长线于点E， ∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴AC∥BD， ∴∠ACO＝∠E， ∵点O为AB的中点， ∴AO＝BO， 又∵∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC≌△BOE（AAS）， ∴CO＝OE， ∵∠CDE＝90°， ∴OD＝CE＝OC； ②证明：如图3中，∵∠COD＝60°，OD＝OC， ∴△COD是等边三角形， ∴CD＝OC，∠OCD＝60°， ∵∠CDE＝90°， ∴tan60°＝， ∴DE＝CD， ∵△AOC≌△BOE， ∴AC＝BE， ∴AC+BD＝BD+BE＝DE＝CD， ∴AC+BD＝OC． 23、（13分）【解答】解：（1）①∵AC∥x轴，点A（﹣2，1）， ∴C（0，1）， 将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1； ②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F， ∵AC∥x轴， ∴EF＝OC＝c， ∵点D是抛物线的顶点坐标， ∴D（，c+）， ∴DF＝DE﹣EF＝c+﹣c＝， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝BO，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∵∠AFD＝∠BCO＝90°， ∴△AFD≌△BCO（AAS）， ∴DF＝OC， ∴＝c， 即b2＝4c； （2）方法1、如图2，∵b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴顶点坐标D（﹣1，c+1）， 假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形， 设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0）， 过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F， ∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO， ∵四边形AOBD是平行四边形， ∴AD＝BO，AD∥OB， ∴∠DAF＝∠OBC， ∴△AFD≌△BCO（AAS）， ∴AF＝BC，DF＝OC， 过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N， ∴DE∥CO， ∴△ANF∽△AMC， ∴＝， ∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1， ∴， ∴， ∴点A的纵坐标为﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+c＝c﹣＜c， ∵AM∥x轴， ∴点M的坐标为（0，c﹣），N（﹣1，c﹣）， ∴CM＝c﹣（c﹣）＝， ∵点D的坐标为（﹣1，c+1）， ∴DN＝（c+1）﹣（c﹣）＝， ∵DF＝OC＝c， ∴FN＝DN﹣DF＝﹣c， ∵＝， ∴， ∴c＝， ∴c﹣＝， ∴点A纵坐标为， ∴A（﹣，）， ∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形． 方法2、设点B的横坐标为3a， ∵， ∴A的横坐标为﹣5a， ∵b＝﹣2． ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c， ∴顶点坐标D的横坐标为﹣1， 假设四边形AOBD是平行四边形， ∴（3a﹣5a）＝（﹣1+0）， ∴a＝， ∴A（﹣，）． 初四数学　第8页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $