精品解析：2026年甘肃省武威第四中学等校 九年级数学中考阶段测试卷

2026年甘肃省武威第四中学第三次数学中考模拟预测试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得，再利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故选：C． 2. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及等边三角形的性质，根据题意，得出，再令正三角形的边长为，用k分别表示出及即可解决问题． 【详解】解：因为图中的三角形都是正三角形， 所以四边形为菱形， 则， 所以． 令正三角形的边长为， 则． 在中，， 所以． 在中，． 故选：C． 3. 为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩．已知第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，则第三年投入的资金为万元，据此列出方程即可． 【详解】解：设第二、三两年投入资金的年均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 4. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 由作法得：垂直平分，，再由线段垂直平分线的性质，可得，可得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分，， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 5. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（ ）     A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线开口向下可得，由抛物线的对称轴为直线可得，由抛物线与轴的交点在正半轴上可得，据此即可判断结论①；由二次函数的图象与性质即可判断结论②；由抛物线与x轴交于点可得，即，结合，可得，由于，因而，两式结合即可判断结论③；利用轴对称的性质可求得抛物线与x轴的另一个交点为，由抛物线与x轴交于点、可得，由，为方程的两个根可得，为函数与直线的两个交点的横坐标，再结合，利用二次函数的图象与性质即可判断结论④；由可得，因而点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，再结合抛物线开口向下，利用二次函数的图象与性质即可判断结论⑤；综上，即可得出所有正确的结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在正半轴上， ， ，故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而增大，故结论②错误； 抛物线与x轴交于点， ， 即：， ， ， ∴ ， ， ，故结论③正确； 抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ，为方程的两个根， ，为方程的两个根， ，为函数与直线的两个交点的横坐标， 由抛物线与x轴交于点、，可得， ，为函数与直线的两个交点的横坐标， ， 当时，对应的的值且，故结论④正确； ， ， 点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， 又抛物线开口向下， ，故结论⑤错误； 综上，正确的结论有：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，抛物线与轴的交点问题，二次函数的图象与系数的关系，轴对称的性质，不等式的性质，中点坐标公式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 6. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 的周长为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． 8. 如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点O作于点F，证明是等边三角形，得到，进而得到O、D、E共线，求出，然后利用扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，过点O作于点F， 由题意，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，则O、D、E共线， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 9. 如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点O，连接，由题意易得，，然后根据三角形三边不等关系进行求解即可． 【详解】解：取的中点O，连接，如图所示： ∵在矩形中，，N是对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，O是的中点， ∴， 根据三角形三边不等关系可得：，则有当点O、M、N三点共线时，有最小值，最小值为． 10. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用三角函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴； 故B，C之间的距离是米； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 当二次根式取最小值时，_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性，可得二次根式的最小值为，令被开方数等于，即可求出的值． 【详解】当二次根式取最小值时，， ∴， 解得． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，一元二次方程的根与与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题的关键； 根据一元二次方程的定义，可得，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， 故，则， ，，， 则， 解得：； 综上所述，可得且； 故答案为：且 13. 如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，作于点，延长交于点，在中，由勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当取最小值时，也取得最小值， ∴当时，取得最小值， 如图，作于点，延长交于点， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 14. 如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，扇形面积的计算，连接，根据多边形的内角求出扇形的圆心角，然后根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出长，再根据解答即可． 【详解】解：连接， ∵是正六边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于C，过点作轴于A，由直线求出，在中结合，求出，得出每次平移横、纵坐标增量为和3，推导出，代入得结果． 【详解】解：当时，， ∴设该点即为点B， 过点B作轴于C，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， 又∵，， ∴， ∴， 过点作轴于A，如图， 在中，，且， ∴， ∴， ∴， 由题意得，第一次平移：平移得到，对应点平移到了， 点平移到，横坐标增加了，纵坐标增加了， ∴每一次平移，图形上所有点的横坐标都增加，纵坐标都增加， ∵初始点的坐标：， 又∵是经过1次平移得到， ∴横坐标：；纵坐标：，即， ∵是经过2次平移得到， ∴横坐标：，纵坐标：，即， 以此类推，是经过次平移得到， ∴，即， 将代入得：横坐标：，纵坐标：， ∴点的坐标为． 【点睛】解题关键是通过直线斜率确定倾斜角，结合直角三角形性质求出平移距离，再通过归纳法推导点的坐标通项公式，是一次函数与平移规律结合的典型题型． 16. 如图，在等腰三角形中，，取的中点E，连接，过点C作的垂线，交的延长线于点D，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，作，垂足为点M、N．先由勾股定理求得的长，再由等腰三角形“三线合一”与三角形中位线定理可求得的长，从而可知的长，最后利用可求得的长． 【详解】解：如图，过点A、点E分别作，垂足为点M、N，则， ∵， ∴． ，， ∴， ∵E为的中点，， ∴． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 解得：． 即：． 故答案为：． 17. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【答案】52 【解析】 【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵，， ∴． ∴． 18. 如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】取点，连接交于点，连接，取的中点，连接．因为、，所以，所以当最小时，、最小，运动到时，最小，由此即可解决问题． 【详解】解：取点，连接交于点，连接，取的中点，连接，此时最小． 设点的坐标为，则， ，，点是的中点， ，， ． 当运动到时，最小， 此时的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、完全平方公式、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是根据完全平方公式找出最小时点的坐标并确定当最小时点的位置． 三、解答题（共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算．用乘方、特殊角三角函数值、二次根式的加减法、零指数幂、负整数指数幂等知识进行计算即可． 【详解】解： 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；0，1，2，3． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为：0，1，2，3． 21. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_______； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分； （2）在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度； （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 【答案】（1）①；②作图见解析；③ （2）， （3）名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求众数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数；由总数减去得分为70分，90分，100分的人数求出得分80分的人数，即可补全条形统计图；再根据众数的定义结合条形统计图即可求解众数； （2）由“”减去其余三项的占比即可求解，再由乘以得分分占比即可求解圆心角； （3）用乘以得分分和分的占比即可． 【小问1详解】 解：抽查的学生总数为（人）， 竞赛成绩为分的人数为：（人）， 补全学生成绩条形统计图： 由条形统计图可得，得分为分的人数最多，故众数为， 故答案为：①；③； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：该校得分不低于90分的学生有人． 22. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 【答案】信号杆的高为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示： ∵，均与水平线垂直． ∴ ∴， ∵ ∴ 在中，， 则， 在中，， 则， ∵过点E作于点，过点D作于点， ∴， ∴四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 信号杆的高为． 23. 如图，是的直径，C，D 是上的点，连接 并延长交于点E，交于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求 的长 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得，进而可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）可得，，可得，在中，利用锐角三角函数求得，利用勾股定理求得，进而在中，利用锐角三角函数求得，再利用的面积公式求得，可求，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形的有关计算，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ②证明得出，即，由可得结论； 方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：[问题解决]①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：①平行；②＝； 方法应用：①为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 25. 如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S． （1）当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； （2）当点H在线段上时，求t的值； （3）求S与t的函数关系式． 【答案】（1）3；9 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，动点问题的函数关系式．恰当分类并正确表示动点运动的线段的长是解题的关键． （1）根据，分别求出当时，时，，的值，再求出的值即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，证明，得出，解关于t的方程即可； （3）当点H在线段上时，可求出，可分两种情况讨论：当时，，只需用t的代数式表示出即可解决问题；当时，，只需用t的代数式分别表示出即可解决问题． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∴， 即此时正方形的边长是3； 当时，， ， ∴， 即此时正方形的边长是9； 【小问2详解】 解：当点H在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：当时，如图1所示： ， ∴此时； 当时，如图2所示： ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 综上所述：S与t的函数关系式为： ． 26. 【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， °； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，若，求证： ②如图3，当， 时，请仿照图2补全图形． (a)判断过点O、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由； (b)探究与之间的数量关系，并写出探究过程． 【答案】（1）40；（2）①见解析；②图见解析；(a)过点O、E、C三点不能作一个圆，理由见解析；(b) ，过程见解析 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得，进而求出，由等角对等边得，然后由三角形内角和即可求解； （2）①先证明，然后根据证明得，进而可证明结论成立； ②仿照图2，根据题意画出图形即可； (a)证明点O，C，E共线即可得出结论； (b) 过点O作于点G，于点H，可求，由等腰，结合等腰三角形的性质及勾股定理，求得，可证明，故在中，，进而可得出结论． 【详解】（1）∵是的切线， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：40； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②补全图形如图： (a) 过点O、E、C三点不能作一个圆，理由： 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点O，C，E共线， ∴过点O、E、C三点不能作一个圆； (b) 过点O作于点G，于点H， 在，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴在中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）点K的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把A，B坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，设，，如图1，设直线交直线于点D，根据，可知点P与点D的纵坐标相等，则，计算的长，计算，连接，作关于y轴的对称点，连接，当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是的长，即可解答； （3）先求平移后抛物线解析式，再求抛物线与轴的交点坐标，可得的长，求出，当点K在x轴的上方，设，则，得，解方程求出的值，即可得点K的坐标；同理可求当点K在x轴的下方时点K的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入中得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴是：直线， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，如图1，设直线交直线于点D，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，，点P与点D的纵坐标相等， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，有最大值，此时点P的坐标为， 把点P的坐标为向下平移个单位得， 连接，作关于y轴的对称点，连接， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当，E，B三点共线时，有最小值，其最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是； 【小问3详解】 解：， ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，就是向右平移1个单位，再向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：或 设点为函数与轴正半轴的交点， ∴， 分两种情况： ①点K在x轴的上方，如图，过点P作轴，过点K作轴于点F， 由（2）知：， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得或（此时与点重合，不合题意，舍去） ∴, ∴ ②点K在x轴的下方时，同理可得，， ∴， 综上，点K的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年甘肃省武威第四中学第三次数学中考模拟预测试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，连接．则的值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 为了打造“清洁能源示范城市”，某地投入资金用于安装充电桩．已知第一年投入资金1200万元安装充电桩，预计第三年投入的资金为2700万元，设第二、三两年投入资金的年均增长率为x，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，y随x的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且；⑤点，在抛物线上，，若，则，其中正确结论的个数是（ ）     A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 的周长为 8. 如图，扇形中，，半径，点为的中点，将扇形绕点逆时针旋转得到对应扇形，当与第一次平行时旋转停止，则两扇形公共部分的面积（阴影部分）为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，，M是平面内的一动点，，N是对角线的中点，连接，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在C处操控无人机巡查，无人机从点C处飞行到点A处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得C处到A处的距离为500米，无人机从点A测得C点的俯角为，据此算出B，C之间的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 当二次根式取最小值时，_______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 13. 如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 14. 如图，在正六边形中，，连接，，以点D为圆心、的长为半径作圆弧，则图中阴影部分的面积是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点为直线上的一点，过点作直线交y轴正半轴于点，将沿射线平移，依次得到，，…，．若，则点的坐标为______． 16. 如图，在等腰三角形中，，取的中点E，连接，过点C作的垂线，交的延长线于点D，若，，则的长为______． 17. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 18. 如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，半径为2，，，点Q是上的动点，点C是的中点，则的最小值是__________． 三、解答题（共66分） 19. 计算： 20. 解不等式组，并写出它的所有整数解． 21. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_______； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分； （2）在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度； （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 22. 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，） 23. 如图，是的直径，C，D 是上的点，连接 并延长交于点E，交于点F，且，连接． （1）求证：； （2）若，，求 的长 24. 综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 25. 如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S． （1）当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； （2）当点H在线段上时，求t的值； （3）求S与t的函数关系式． 26. 【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， °； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，若，求证： ②如图3，当， 时，请仿照图2补全图形． (a)判断过点O、E、C三点能不能作一个圆，并说明理由； (b)探究与之间的数量关系，并写出探究过程． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上的一动点，过点P作于点M，过点P作x轴的平行线交抛物线于点N，E，F为y轴上的动点，E在F的下方，满足，连接，当取得最大值时，求的最小值； （3）在（2）成立的情况下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度，点K为平移后抛物线上的一动点，Q点坐标为，连接，当时，请直接写出K点的坐标，并写出求解点K坐标的其中一种情况的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $