山东省淄博市桓台县实验中学2024年九年级 中考前测试数学题

**基本信息** 初四数学三模练习，150分120分钟，覆盖代数、几何、统计，以传统纹饰对称美（第5题）、山东舰排水量（第2题）为情境，综合题如圆与正方形（22题）、二次函数与几何（23题）考查推理能力与模型意识，适配中考冲刺。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数（1）、科学记数法（2）、对称图形（5）|基础巩固，结合文化与科技情境| |填空题|5/20|因式分解（11）、韦达定理（12）、函数图像（15）|能力提升，融合代数与几何| |解答题|8/90|统计概率（18）、圆与四边形（22）、二次函数综合（23）|创新应用，跨知识整合，如23题平行四边形存在性探究|

初 四 数 学 练 习 题 （时间：120分钟） 本试卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将学校、姓名、考试号、座号填写在 答题卡规定位置，并核对条形码。 2．第一题每小题选出答案后，用 2B 铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3．第二、三题必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案。严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改。不允许使用计算器。 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记。 5．不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．﹣4的相反数是（　　） A．±4 B．﹣4 C．4 D． 2．中国人民解放军海军山东舰是中国首艘自主建造的国产航母，该舰的满载排水量为67500吨，数字67500用科学记数法表示为（　　） A．67.5×104 B．6.75×104 C．0.675×105 D．6.75×105 3．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 4．下列各式中，计算正确的是（　　） A．x2+2x2＝2x2 B．（3x2y3）2＝6x4y6 C．（﹣x3）3＝﹣x9 D．x2（x﹣1）＝x3﹣1 5．中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 6．某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（　　） A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝ 7．不等式＞1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 8．估计的值应在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 9．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 2 10．如图，已知E是正方形ABCD中AB边延长线上一点，且BE＝AB，连接CE和DE，DE与BC交于点N，F是CE的中点，连接AF交BC于点M，连接BF．有如下结论：①DN＝EN；②△ABF∽△ECD；③； ④S四边形BEFM＝2S△CMF．其中正确的是（　　） A． ①②③ B． ①③④ C． ①②④ D． ②③④ 二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分.请直接填写最后结果. 11．因式分解：ab2﹣4ab+4a＝　 　． 12．设x1，x2是方程x2﹣3x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝　 　． 13．如图，AP平分∠MAN．PB⊥AM于点B，点C在射线AN上，且AC＜AB．若PB＝3，PC＝5，AC＝7，则AB的长为 　 　． 14．如图，抛物线y＝﹣x2+x+6交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，点D是线段AC的中点，点P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A'PD，则线段A'B的最小值是 　 　． 15．如图，已知动点A在函数的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E，延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F，直线EF分别交x轴、y轴于点M、N，当NF＝4EM时，图中阴影部分的面积等于　 　． 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 90 分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分10分） （1）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝． （2）解方程组：． 17．（本小题满分10分） 如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E． （1）求证：△ADE是等边三角形． （2）求证：AE＝AB． 18．（本小题满分10分） 为了解学生阳光体育大课间活动情况，某校调查小组的同学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了某班同学，并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图： 依据统计图信息，解决下列问题： （1）随机调查的某班同学有　 　人； （2）在扇形统计图中，喜欢“足球”的百分比为　 　%； （3）如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？ （4）已知在被调查的某班同学中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名选手代表班级参加校篮球队，请用画树状图或列表的方法，求出所抽取的选手恰好是1名女同学和1名男同学的概率． 19．（本小题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（2，m）与点B（4，2）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在x轴上是否存在一点P，使得AP+BP最小，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 20.（本小题满分12分） 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°，∠BDC＝58°．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19≈0.35，tan58≈1.5） 21. （本小题满分12分） 为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等． （1）求这两种机器每小时分别生产多少千克产品？ （2）该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？ 22.（本小题满分13分） 如图，点E为正方形ABCD的边CD上一动点，直线AE与BD相交于点F，与BC的延长线相交于点G，以GE为直径作⊙O． （1）求证：△ADF≌△CDF； （2）求证：CF是⊙O的切线； （3）若正方形的边长为4，，求FE•FG的值． 23. （本小题满分13分） 已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，其对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标； （3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由． 初四数学练习题参考答案 （仅供参考） 1、 选择题（每小题4分，共计40分.） CBDCC DBBAC 2、 填空题（每空4分，共计20分） 11.a（b﹣2）2 12.2 13.11 14. 5﹣ 15.2.5π 三、解答题（共8个题，共计90分） 16.(10分) 解：（1）原式＝（﹣）• ＝• ＝，…………………3分 当a＝+1时，原式＝＝﹣． …………………5分 （2）， ①+②×3，得13x＝26， 解得x＝2，…………………7分 把x＝2代入②，得y＝4，…………………9分 故原方程组的解为． …………………10分 17.（10分） 证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°． ∴△ADE是等边三角形． …………………5分 （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC． ∵BD平分∠ABC， ∴AD＝AC． ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝AD． ∴AE＝AB． …………………10分 18.（10分） 解：（1）20÷40%＝50（人）； 故答案为：50；…………………1分 （2）10÷50＝0.2＝20%； 故答案为：20；…………………2分 （3）（人）． 答：估计全校学生中有80人喜欢篮球项目． …………………4分 （4）喜欢篮球项目的有5人，其中两名女生，则有三名男生，用A，B表示女生，C，D，E表示男生，列表如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D …………………8分 共有20种等可能的结果，其中1名女同学和1名男同学共有12种结果． 所以，P（1名女同学和1名男同学）＝． …………………10分 19．（10分） 解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过B（4，2）， ∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数的表达式为y＝，…………………2分 ∵点A（2，m）在y＝上， ∴m＝4， ∴A点坐标为（2，4）； 把A，B两点的坐标代入y＝ax+b，得， 解得， ∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+6； …………………4分 （2）当x＝0时，y＝﹣x+6＝6， ∴D点坐标为（0，6）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD＝＝6， 即△AOB的面积为6；…………………6分 （3）在x轴上存在点P，使得AP+PB最小． 作点B（4，2）关于x轴的对称点B′（4，﹣2），如图，连接AB′．…………………7分 设直线AB'的解析式为：y＝a′x+b′， ∴， 解得， ∴直线AB'的解析式为：y＝﹣3x+10， …………………9分 令y＝0，解得x＝， ∴P（，0）可使AP+BP最小． ……………………10分 20.（12分） 解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图： ∵∠BCD＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， 设CE＝x，则BE＝x， ∵CD＝80m， ∴DE＝（80﹣x）m， Rt△BDE中，∠BDC＝58°， ∴tan58°＝，即＝1.5，…………………4分 解得x＝48（m）， ∴BE＝CE＝48m，…………………6分 Rt△ACD中，∠ADC＝19°，CD＝80m， ∴tan19°＝，即＝0.35， 解得AC＝28m，…………………8分 ∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE， ∴四边形ACEF是矩形， ∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m， ∴BF＝BE﹣EF＝20m， Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m）， 答：A，B两点之间的距离是52m． ……………………12分 21.（12分） 解：（1）设A种型号机器每小时生产xkg产品，B种型号机器每小时生产（x﹣10）kg产品，根据题意得：，…………………3分 解得：x＝60，…………………4分 经检验，x＝60是原方程的解，…………………5分 则x﹣10＝50， 答：A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品；…………………6分 （2）设需要A型号机器m台，则需要B型号机器（18﹣m）台， 根据题意得：60m+50（18﹣m）≥1000， 解得：m≥10， 答：至少需要A型号机器10台． ……………………12分 22.(13分) （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADF＝∠CDF＝45°，AD＝CD， ∵DF＝DF， ∴△ADF≌△CDF（SAS）；…………………3分 （2）证明：如图所示，连接OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠BCD＝∠DCG＝90°， ∴∠CGE+∠GEC＝90°，∠DAE＝∠CGE， ∵△ADF≌△CDF， ∴∠DAF＝∠DCF， ∴∠CGE＝∠DAF＝∠DCF， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∴∠DCF+∠OCE＝∠CGE+∠CEG＝90°， ∴∠FCO＝90°，即FC⊥OC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线；…………………8分 （3）解：如图所示，过点F作FM⊥AB于点M， ∵AB⊥BC，FM⊥BC， ∴FM∥BC， ∴∠AFM＝∠AGC， ∴， 在Rt△AMF中，， 设AM＝3x，则MF＝4x， ∴， 在Rt△MBF中，∠ABD＝45°，∠BMF＝90°， ∴， ∴BM＝MF＝4x， ∵AB＝AM+BM＝4， ∴3x+4x＝4， 解得， ∴； ∵∠ECF＝∠CGF，∠EFC＝∠CFG， ∴△EFC∽△CFG， ∴， ∴．……………………13分 23.(13分) 解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝1， ∴， 解得b＝2， 将A（﹣1，0）代入y＝﹣x2+2x+c， 可得﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝0， 解得c＝3， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3； …………………3分 （2）由（1）知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 将C（0，3），B（3，0）代入， 可得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，…………………4分 如图，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线BC于点K， 设点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点K的坐标为（m，﹣m+3）， ∴MK＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m， ∵MH⊥x轴，OC⊥x轴， ∴MH∥OC， ∴∠OCN＝∠MKN，∠CON＝∠KMN， ∴△OCN∽△MKN， ∴， ∴当最大时， ，， ∴点M的坐标为；…………………7分 （3）∵一次函数过点A（﹣1，0）， ∴， 解得， ∴点Q是一次函数图象上一点． ∵点P为抛物线上一点，且在x轴上方， ∴设点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），﹣t2+2t+3＞0， ∵四边形OAPQ为平行四边形， ∴OA∥PQ，OA＝PQ＝1， 分两种情况，当点P在点Q的左侧时： 点Q的坐标为， ∵OA∥PQ， ∴点P与点Q的纵坐标相等， ∴﹣t2+2t+3＝， 解得t＝0或， 当t＝0时，﹣t2+2t+3＝3， ∴P（0，3），Q（1，3），……………………9分 当时，， ∴，；……………………11分 当点P在点Q的右侧时： 点Q的坐标为， ∴﹣t2+2t+3＝， 解得t＝2或， 当t＝2时，﹣t2+2t+3＝3， ∴P（2，3），Q（1，3）， 当时，，不合题意； 综上可知，存在，P（0，3）、Q（1，3），或、，或P（2，3）、Q（1，3）． ……………………13分 初四数学　第6页（共15页） 学科网（北京）股份有限公司 $