精品解析：2026年山东日照市东港区田家炳中学九年级中考第三次学情自测数学试卷

2026年初三学业水平模拟考试（三） 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，离原点越远的点表示的数的绝对值越大，由各点到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：点M到原点的距离最远， ∴所表示的数的绝对值最大的点是点M． 2. 交通运输部发布年清明假期（月日至日）交通出行数据，在春假与清明叠加，返乡祭扫与踏青出游交织的假日氛围中，全社会跨区域人员流动量预计达人次，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将用科学记数法表示应为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 按照负整数指数幂，积的乘方，平方差公式，同底数幂的除法等相关运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. ，故选项符合题意； 故选：． 4. 纹样既有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分．我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，反映了人们对美好生活的追求．校园文化艺术节小明和小红两位同学准备用剪纸作品呈现这类纹样，每人任选其中一款纹样用于剪纸作品，两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出属于中心对称图形的纹样，再画出树状图，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有第四个纹样是中心对称图形， 设四个纹样分别为A、B、C、D，画树状图如下： 可知共16种情况，其中两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的情况只有1种， ∴两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的概率是． 5. 将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，掌握这两个性质是关键；由第一次折叠知，，，则；由第二次折叠得，，则，；由，得，由此即可求得与的关系式． 【详解】解：如图，由第一次折叠知，，， ， ； 由第二次折叠得，， ，， 则； ， ， 即， ． 故选：D． 6. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的综合运用．结合点的坐标与观察图形可以发现，图形中存在两个数量关系．即从竖直方向看和从水平方向看，列出方程组，从而求出长方形的长与宽．又通过图形可以发现，关于点B，两个长方形的长，一个长方形的长一个长方形的宽，从而求出点B的坐标． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， 则， 解得， 则，； 点在第二象限， ， 故选：D． 7. 化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与满足的关系式是（ ） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查函数的概念，通过观察和的增加个数，从而可得到与满足的关系式． 【详解】根据题意，绘制如下表格： 碳原子个数 氢原子个数 根据表格，可知每增加1，增加2，则 ，所以与满足的关系式为， 故选． 8. 在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（ ） A. 平分 B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，三角形的中位线的性质，由旋转可得，证明，，可得，结合三角形的中位线的性质可得，可得四边形是平行四边形，进一步可得答案． 【详解】解：当点不与点，重合时，将绕点逆时针旋转，使点，重合， ∴， ． 同理可得． ∴．且，，，，共线． 点，分别是，的中点， ． 四边形是平行四边形， 当时， ∴， ∴四边形是矩形， 故选：B． 9. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．数学兴趣小组在研究赵爽弦图时发现图中直角三角形、小正方形、大正方形内切圆半径存在的关系，若直角三角形的内切圆半径为，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长定理可得：，根据勾股定理可得：，根据小正方形的边长为，两边同时平方可得：，可得方程，解方程求出的长度即为大正方形的边长，也是大正方形内切圆的直径，根据圆的性质即可求出大正方形内切圆半径． 【详解】解：如下图所示，过点作，，， 直角三角形的内切圆半径为， ， ， 四边形是正方形， ， ，， ，， ， ， ， ， 整理得：， 在中，， ， 小正方形内切圆半径为， 小正方形的边长为， 小正方形的边长为， ， ， ， 又， ， 整理得：， ， 或，负值舍去， ， 大正方形的内切圆半径为． 10. 如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 【答案】C 【解析】 【分析】由图象最低点可知当为中点时面积最小，据此求出的边长及的值；由图象最高点为分段点，分析可知此时点与点重合，据此求出和的值；当时，，点在上，点在上， 作于， 再求出，然后说明，求出，最后求出，验证即可． 【详解】解：当为中点时，，此时最短 ， 的中垂线，， ∴且与互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为正方形，面积最小， 对应图象最低点 ， 解得． 为等腰直角三角形，为中点， ，， ，故B错； 由图象可知为分段点，此时点从边运动到边，即与重合， 垂直平分，在上， ， ，故A错误； 此时在上，与重合，四边形即四边形， ，， ， ． ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，故C正确； 当时，，点在上，点在上， 过作于，则，， 则 ， 根据题意可知，则， 根据勾股定理，得， 即， 解得． ∵， ∴， 根据勾股定理，得，即， 解得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 所以点不在该函数图象上． 则D不正确． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，结合根与系数的关系得到，将其代入已知等式变形求解，即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 整理得：， ，解得． 13. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接，证明为的直径，，证明，得出，，推出为等腰直角三角形，进而得出，解直角三角形得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接，延长至使得，连接，连接并延长交于，连接， ∵， ∴，， ∴为的直径，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形，证明是解题的关键． 14. 如图，曲线是抛物线的一部分，与轴交于点，点是其顶点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6．由点开始不断重复“”这一部分曲线，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意先求出抛物线的解析式和双曲线的解析式，然后根据之间的水平距离为6，之间的水平距离为2，点与点的水平距离为2，即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴其顶点坐标为， ∵曲线是双曲线的一部分， ∴把代入中，得， ∴． 由图可得，之间的水平距离为6，之间的水平距离为2， 且， ∴点、点离轴的距离相同，都为6，即点的纵坐标， ∵， ∴点与点的水平距离为2， ∴点的纵坐标与横坐标为的点的纵坐标一样， 把代入中得，， ∴点的纵坐标为， ∴． 15. 如图，菱形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，作且面积为，则的最小值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于，过点作于，求出相关线段与角度，进而得，再由的面积得到，设的中点为，连接，进而得，从而根据和相似得到，设的中点为，连接，则，确定点的轨迹，连接，根据“两点之间线段最短”得到点，，在同一条直线上时，为最小，为，在中由勾股定理得，由此可得的最小值． 【详解】解：连接，过点作于，过点作于，如图1所示： 在菱形中，，，点为的中点， ，，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，，， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设的中点为，连接，如图2所示： ， ， ，即， 又， ， ， ， ， 设的中点为，连接，则， 在点的运动过程中，点始终在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，如图3所示： 根据“两点之间线段最短”得，即， 当点，，在同一条直线上时，为最小，最小值为， ，， ， ， 在中，，，由勾股定理得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，与圆有关的概念，熟练掌握菱形的性质，解直角三角形是解决问题的关键，难点是通过构造相似三角形得出点的轨迹是在圆上运动． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中为整数且满足 【答案】（1） （2） 化简结果为，最终值为 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； ∵， 由①，得； 由②，得， ∴， ∵为整数， ∴， ∴原式. 17. 如图，在中，是中点． （1）求作：的垂直平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若交于点，连接并延长至点，使，连接，．补全图形，判断四边形的形状并证明． 【答案】（1）直线l如图所示， ； （2）补全图形如下： ， 四边形是平行四边形，证明如下： 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 【答案】（1）94，40 （2） （3）对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人 【解析】 【分析】（1）根据众数定义求出a的值，先求出“”得分在C组中所占的比例，再求出m的值即可； （2）根据下四分位数的定义进行解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：“豆包”得分出现次数最多的是94， ∴众数， “”得分在C组中所占的比例为， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：排在第5，6位数分别是89，90， ∴“豆包”得分的下四分位数为； 【小问3详解】 解：（人） 答：对这两款人工智能软件非常满意的总用户数约为680人． 19. 一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与轴正半轴夹角为，对边经过轴上点和双曲线上的点，双曲线上的点正好对着直尺上的刻度2．（平面直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）如图，若将该直尺绕原点逆时针旋转，点、、的对应点分别为、、，求直线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先结合，，得出，然后得，再把代入进行计算，即可作答． （2）根据旋转得到的坐标，再求出直线的解析式，然后结合得到直线的解析式，进而求出与轴的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作轴于， 在中，，，， ，， ． 设反比例函数解析式为， 把代入，得， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：，， ， 绕原点逆时针旋转后，在点处，则， ，过作轴交轴于， 则， ，则直线的解析式为， 又，可设直线的解析式为， 又， ，解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 直线与轴的交点坐标为． 20. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可； （2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可； 【小问1详解】 证明：连接， 在中，， 是的直径， 即， 在中，点是的中点， ， 又， ， ， 在上 是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ， ， 又， ∴， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1.2米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米，求此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3.6米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由． 【答案】任务1：的长度为4米；任务2：会被照射到，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查真实情景下的解直角三角形的实际运用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）先过点作于点，过点作于点，再求出，从而得出，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）过点作交于点，因为点时，此时，通过三角函数即可求出的长度，在作比较即可． 【详解】解：任务1：如图1，过点作于点，过点作于点． ，， ， ， ，， ， ． ， ， ， ，四边形为矩形， ，， ， ， 在中，（米）； 任务2：如图2，过点作交于点． 由（1）知，， ， ， 在中，， ， ． 在中，， 在中，， 在中，当时，， 小明刚好被照射到时离点的距离为， 小明会被照射到． 22. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：的亲和同轴二次函数为：． （1）函数的亲和同轴二次函数为 ． （2）若函数（且）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点，分别在二次函数（且）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时，；见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解； （2）求出函数（且）的亲和同轴二次函数，利用配方或者顶点坐标公式得到顶点的纵坐标值等于5，解方程； （3）先求出的函数解析式，再将，分别代入、的函数解析式得到、，进而可得，再根据与零的关系分类讨论，分别解不等式． 【小问1详解】 解：∵中，对称轴为直线，， ∴的亲和同轴二次函数中，对称轴为直线，， ∴的亲和同轴二次函数为； 【小问2详解】 解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为； 利用配方或者顶点坐标公式得，， 解得， 函数有最大值， ； 【小问3详解】 解：由函数（且）可求得，该函数的亲和同轴二次函数为， 把，分别代入，可得，，， 则， ， ， ①当时，，即，， 解得：或； ②当时，，即，， 解得：； ③当时，，即，， 解得：或； 又∵， 所以综上所述，当时，；当时，；当时，． 23. 在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 （1）如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 （2）如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； （3）如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）观察图形可知，和可以分别放在和中，然后结合已知条件证明这两个三角形相似即可得出与的数量关系； （2）首先在第（1）问的基础上，利用对应角相等证明，然后在中，结合已知条件用勾股定理列方程即可求解； （3）由于的底边为定值，因此需确定边上的高的最大值，也就是要确定点P的运动轨迹，然后结合已知条件，通过构造与相似的三角形来确定点P的运动轨迹，进而求解． 【小问1详解】 解：． 证明：∵如图，在中，，， ． ， ， ． ， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：如图，由（1）得，， ． 又， ． ，，A、E、D三点共线， ． ∵在中，，， 由勾股定理得， ∴在中，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点， ． ， ， ． ， ， ． ， ∴点在以为直径的圆周上运动（一段圆弧），记圆心为，半径， 当时，取最大值． ， ， 所以此时． 【点睛】本题围绕“手拉手模型”综合考查了相似三角形的性质和判断、勾股定理及圆的有关知识．熟悉常见的一些基本几何结构，能充分结合问题之间的内在联系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初三学业水平模拟考试（三） 数学试题 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中所表示的数的绝对值最大的点是（） A. M B. N C. P D. Q 2. 交通运输部发布年清明假期（月日至日）交通出行数据，在春假与清明叠加，返乡祭扫与踏青出游交织的假日氛围中，全社会跨区域人员流动量预计达人次，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 纹样既有装饰、识别等实际作用的图案，也是各种寓意和文化内涵的载体，是人类文明发展过程中的重要组成部分．我国传统纹样大多寓意吉祥、幸福、平安，反映了人们对美好生活的追求．校园文化艺术节小明和小红两位同学准备用剪纸作品呈现这类纹样，每人任选其中一款纹样用于剪纸作品，两位同学选中的纹样都是属于中心对称图形的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 将一张长方形纸条左右两侧如图1折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，再将右侧部分继续沿折叠，使再次折叠后的部分与原长方形在同一平面内，如图2．若，则图2中与一定满足的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 化学有机物及其结构式见下表，若结构式中的（碳原子）的个数记为，（氢原子）的个数记为，则由结构式可知与满足的关系式是（ ） 名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷 结构式 A. B. C. D. 8. 在中，点，分别是，的中点，点在上（不与点，重合），连接，按如图的方式操作： ①沿和剪开； ②将绕点逆时针旋转，使点，重合； ③将绕点顺时针旋转，使点，重合； ④得到四边形． 下列条件能使四边形是矩形的条件是（ ） A. 平分 B. C. 平分 D. 9. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．数学兴趣小组在研究赵爽弦图时发现图中直角三角形、小正方形、大正方形内切圆半径存在的关系，若直角三角形的内切圆半径为，小正方形内切圆半径为，则大正方形的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，．是上一点，的中垂线交的边于点，．记，四边形面积为，利用数学软件画出关于的函数图象如图2所示，其中一个最高点坐标为，一个最低点坐标为，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 点在该函数图象上 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 12. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，．若满足，则的值为________． 13. 如图，四边形内接于，，，，则的半径长为_________________． 14. 如图，曲线是抛物线的一部分，与轴交于点，点是其顶点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6．由点开始不断重复“”这一部分曲线，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，则__________． 15. 如图，菱形中，，，点为的中点，点为上一点，连接，作且面积为，则的最小值为 __． 三、解答题：（本题共8小题，共75分） 16. 计算与化简求值： （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中为整数且满足 17. 如图，在中，是中点． （1）求作：的垂直平分线（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若交于点，连接并延长至点，使，连接，．补全图形，判断四边形的形状并证明． 18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现对“豆包”、“”两款人工智能软件进行调查评分，再从中各随机抽取了20个用户的得分数据，进行整理、描述和分析（分数均不低于80分，用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： “豆包”得分是：82，86，87，88，89，90，91，92，93，93，93，94，94，94，94，94，95，96，97，98． “”得分在C组中的数据是：91，92，94，94，94，94． “豆包”和“”得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 豆包 92 93 a 92 94 97 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）定义：将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出“豆包”得分的下四分位数，________； （3）若本次调查有1000名用户对“豆包”进行了评分，有1200名用户对“”进行了评分，估计其中对这两款人工智能软件非常满意（）的总用户数． 19. 一把直尺如图所示放置在平面直角坐标系中，直尺的零刻度与原点重合，且直尺一边与轴正半轴夹角为，对边经过轴上点和双曲线上的点，双曲线上的点正好对着直尺上的刻度2．（平面直角坐标系中单位长度与直尺刻度单位长度一致．） （1）求该反比例函数的解析式； （2）如图，若将该直尺绕原点逆时针旋转，点、、的对应点分别为、、，求直线与轴的交点坐标． 20. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 . （1）求证：是 的切线； （2）若 ，求 的长； 21. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为3米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1.2米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决 任务1 确定影子长度 若某一时刻测得米，求此时影子的长度． 任务2 判断是否照射到 这天14点，小明坐在离支架3.6米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由． 22. 定义：若两个二次函数的二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同，则称它们互为亲和同轴二次函数．例如：的亲和同轴二次函数为：． （1）函数的亲和同轴二次函数为 ． （2）若函数（且）的亲和同轴二次函数有最大值为5，求a的值． （3）已知点，分别在二次函数（且）及其亲和同轴二次函数的图像上，比较p，q的大小，并说明理由． 23. 在中，，，，在中，，且，连接，． 【初步感知】 （1）如图1，判断线段与的数量关系并给出证明； 【深入探究】 （2）如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长； （3）如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $