精品解析：上海市风华初级中学2025-2026学年九年级下学期6月模拟练习数学试卷

2025学年第二学期九年级数学学科模拟练习试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数图像不经过第三象限的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个互为相反数的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 4. 已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（ ） A. 直线轴 B. 直线轴 C. 直线轴 D. 直线轴 5. 有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（ ） A. 当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B. 当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C. 当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D. 当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 6和15的最小公倍数是______． 8. 计算：2a3•3a2=______． 9. 若，，则________． 10. 方程的解为________． 11. 已知在中，，，用向量、表示________． 12. 某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________． 13. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频数为__________． 14. 如图，已知直线，那么________度． 15. 设抛物线的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果是直角三角形，那么k的值为________． 16. 如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为点．如果，那么__________ 17. 已知在中，点、、分别在边、、边上，将沿着直线翻折，点A恰好落在了点处，如果四边形是菱形，那么一定是的________．（选填“中线”、“角平分线”、“高”） 18. 如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为____________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 已知：如图，在中的弦与弦交于点，，点、分别是、的中点，连接、． （1）求证：是等腰三角形． （2）连接、，若，，求的值． 22. 综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ （3）研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（ ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 23. 如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F， （1）求证：； （2）若，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． （1）求抛物线的解析式，并求出点坐标； （2）若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； （3）若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 25. 如图，扇形中，，点在线段的延长线上，满足，连接，交劣弧于点，连接，点是线段上一点，满足． （1）当时，求的长； （2）若，为，求关于的函数关系式，并求定义域； （3）延长、交于点，如果四边形是一个轴对称图形，求的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级数学学科模拟练习试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把各选项中的数化简后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.∵=，∴与是同类二次根式； B.∵=2，∴与不是同类二次根式； C.∵，∴与不是同类二次根式； D.∵，∴与不是同类二次根式； 故选A． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 2. 下列函数图像不经过第三象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的性质逐项判断函数图像是否经过第三象限，即可解答． 【详解】解： A．是正比例函数，， 图像经过第一，三象限，不符合要求； B．是反比例函数，， 图像位于第一，三象限，经过第三象限，不符合要求； C．是一次函数，，， 图像经过第一，二，四象限，不经过第三象限，符合要求； D.是二次函数，开口向上，顶点为，点在该函数图像上，且点在第三象限，因此图像经过第三象限，不符合要求． 3. 方程的根的情况是（ ） A. 有两个互为相反数的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】计算判别式，然后与比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴该方程有两个相等的实数根． 4. 已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（ ） A. 直线轴 B. 直线轴 C. 直线轴 D. 直线轴 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系． 【详解】∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 5. 有一组数据：1、2、3、4、x、3、2、1，如果该组数据中位数和众数相等，那么x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】该组数据共8个，为偶数个，中位数是排序后第4个和第5个数据的平均数，众数是出现次数最多的数，结合选项逐一验证即可． 【详解】解：当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故符合要求； 当时，排序后数据为， 众数为，中位数为，则，故不符合要求； 当时，排序后数据为， 数据均出现2次，中位数为，不存在中位数与众数相等的情况，不符合要求； 因此的值可以是2． 6. 如图，已知在和中，，，，现在用一条直线将分割成两个小三角形，分别记作，，用另一条直线将也分割成两个小三角形，分别记作，．那么以下说法不正确的是（ ） A. 当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 B. 当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 C. 当两条分割线分别经过点A、D时，存在与相似且与相似 D. 当两条分割线分别经过点B、E时，存在与相似且与相似 【答案】C 【解析】 【分析】首先计算两个三角形的各内角度数， 为等腰直角三角形， 为含  角的直角三角形，然后根据相似三角形的判定定理，分别分析四个选项中分割后的三角形角度关系，判断是否存在相似情况即可． 【详解】解：在中，，则， 在中，，则 ， 对于A选项：作，则角度为，角度为，  作，则角度为，角度为， 此时且，故说法A正确； 对于B选项：作，则角度为，角度为，  作，则角度为，角度为， 此时且，故说法 B 正确；  对于C选项：当分割线经过点A时，设交于点M，则为，为， ， 是直角三角形， ， ， 是钝角三角形， 直角三角形与钝角三角形不可能相似， 不存在与相似； 同理，当分割线经过点D时，是直角三角形，是钝角三角形，不存在与相似，说法C不正确； 对于D选项：当分割线经过点B且时，均为等腰直角三角形， ， 当分割线经过点E且时，均为含 的直角三角形， ，故说法D正确 ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 6和15的最小公倍数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最小公倍数的确定；由，，从而可得最小公倍数． 【详解】解：6和15的最小公倍数是， 故答案为： 8. 计算：2a3•3a2=______． 【答案】6a5 【解析】 【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 【详解】解：2a3•3a2=6a5． 故答案为6a5． 【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 9. 若，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 10. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】对等式两边同时平方去掉根号，转化为一元一次方程求解，检验后得到原方程的解． 【详解】解：， 两边同时平方，得， 解得， 检验：把代入原方程，左边右边， 因此是原方程的解． 11. 已知在中，，，用向量、表示________． 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据向量减法的三角形法则，结合已知条件将用和表示． 【详解】解：根据向量减法的三角形法则，可得， ，， ． 12. 某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种， 则主持人是一男一女的概率为． 故答案为：． 13. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是，则第六组的频数为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据频率与频数的关系求出第五组的频数，再利用各组频数之和等于样本容量，计算得到第六组的频数． 【详解】解：由题意可知，样本容量为， 因为第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6， 所以其和为：， 又因为第五组的频率是， 所以第五组的频数为：， 因此第六组的频数为：． 14. 如图，已知直线，那么________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线性质得出，，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15. 设抛物线的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果是直角三角形，那么k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得，是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的顶点，对称轴为轴， ∴， ∵是直角三角形， ∴是直角顶点为的等腰直角三角形， ∵抛物线和轴有两个交点， ∴， ∴， 令，得， 又∵抛物线与轴的两个交点以及顶点围成的是直角三角形， ∴． 解得或（不合题意，舍去）， 即k的值为． 16. 如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为点．如果，那么__________ 【答案】18 【解析】 【分析】连接、，过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为，，可知，，，根据圆周角定理可得，由即可求解．本题主要考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并巧妙使用是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为， ， ，，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 17. 已知在中，点、、分别在边、、边上，将沿着直线翻折，点A恰好落在了点处，如果四边形是菱形，那么一定是的________．（选填“中线”、“角平分线”、“高”） 【答案】角平分线 【解析】 【分析】本题利用翻折的性质和菱形的性质进行判断，用到菱形对角线平分一组对角的性质，即可推导出结论． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形． ∴ 平分， ∴一定是的角平分线． 18. 如图，是的内接正方形，是半圆的内接正方形，那么正方形与正方形的面积之比为____________． 【答案】2:5 【解析】 【分析】设圆的半径为r，则OD=OR=r，DE=OE=DC，OF=RS=2FR，由勾股定理得出OD2=r2=OE2+DE2=2DE2=DC2，OR2=r2=OF2+FR2=OF2，由正方形的面积公式即可得出结果． 【详解】解：如图所示 ： 设圆半径为r，则OD=OR=r，DE=OE= DC，OF=RS=2FR， ∴OD2=r2=OE2+DE2=2DE2=DC2，   OR2=r2=OF2+FR2=OF2， ∴S正方形ABCD=DC2=2r2，   S正方形PQRS=OF2=， ∴S正方形PQRS：S正方形ABCD= =． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的混合运算，由零指数幂的计算，绝对值的化简计算，负整数指数幂的计算，特殊角的三角函数值的计算，先分别计算每一部分，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：    ． 20. 解方程组：． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先对第二个二次方程因式分解降次，将原方程组转化为两个二元一次方程组，再分别结合已知一次方程求解即可. 【详解】解：  ， 对②因式分解得 ， 可得或 ， 原方程组可化为 和  ， 解 ， 把代入，得 ， 解得， 得 ， 即该方程组的解为 ， 解 ， 把代入，得 ， 解得， 得 ， 即该方程组的解为 ， 因此原方程组的解为，． 21. 已知：如图，在中的弦与弦交于点，，点、分别是、的中点，连接、． （1）求证：是等腰三角形． （2）连接、，若，，求的值． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据弦、弧、圆心角的关系得出，根据圆周角定理得出，可得，根据，结合中点的定义即可得出，即可得出是等腰三角形； （2）连接、，根据线段的和差关系得出，，根据，可证明，即可得出． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵点是的中点，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 综合与实践：音乐与函数的关系 【知识背景】晓风计划用一根竹筷，若干个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，他查阅了相关物理知识，根据物理学中的振动频率和音调的关系可知．在敲击玻璃杯时，杯中水位高度不同，声音的振动快慢（频率）也不同．如果水位越高，振动越慢，音调越低．如果水位越低，振动越快，音调越高． 【数据记录】晓风进行了多次实验，每用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，就用测音高的软件记录下频率，他发现频率随水位高度的变化近似满足一次函数关系，并记录了玻璃杯不同水位高度对应的振动频率，经整理得到数据如表： 水位高度 频率 【数据查询】同时晓风通过查阅资料，查找出以下七个音阶．与频率对照表． 音阶 频率 根据以上信息，解答下列问题： （1）求该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式． （2）已知玻璃杯中的水量是随水位高度均匀变化的，玻璃杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加，若晓风用筷子敲击一次玻璃杯的杯口，想发出的音阶为，问晓风应该在玻璃杯中装多少毫升的水？ （3）研究结束后，晓华想利用实验中个同种型号的玻璃杯制作水杯琴，敲击杯身奏响对应旋律，演奏出悦耳动听的音符． ①下面这段五线谱对应的经典儿歌是（ ） （A）茉莉花：（B）两只老虎；（C）小星星；（D）欢乐颂． ②为使这个玻璃杯敲击后依次发出以上音调，晓风需要对每个杯子注入相应的水量，请求出此时这个玻璃杯装水量的中位数． 【答案】（1） （2） （3）①C；② 【解析】 【分析】（1）设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得出答案； （2）根据（1）中解析式求出发出的音阶为时，杯中水位高度是，根据水位每升高时，则所使用的水量增加，即可求出答案； （3）①根据五线谱解答即可；②把个音阶从低到高排列，得出第个和第个数据分别为和，根据（1）中解析式求出发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为，结合（2）中结论，根据中位数的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：设该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴该玻璃杯的频率关于水位高度的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵音阶为的频率是，， ∴， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是， ∵杯中的水位高度与使用的水量成正比例．当水位每升高时，则所使用的水量增加， ∴水位高度是时，玻璃杯中的水量为． 【小问3详解】 解：①由五线谱可知，对应的经典儿歌是（C）小星星． ②把个音阶从低到高排列为：、、、、、、、、、、、、、， ∴第个和第个数据分别为和， ∵音阶为的频率是，， ∴发出的音阶为时，， 解得：， ∴发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， 由（2）可知，发出的音阶为时，杯中水位高度是，水量为， ∴这个玻璃杯装水量的中位数为． 23. 如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F， （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质： （1）由四边形是平行四边形、可得，为公共角可得； （2）由可得，进而有，根据得，即：，可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，即，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点和点，点为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点． （1）求抛物线的解析式，并求出点坐标； （2）若在轴上有一点，使得的三条高所在直线交于三角形外一点，设点的横坐标为，求的取值范围； （3）若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，直接写出点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为； （2）或或 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，把解析式转化为顶点坐标式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）根据锐角三角形三条高的交点在三角形内部、直角三角形三条高的交点是直角顶点、钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，可知是钝角三角形，分三种情况讨论； （3）根据点、、的坐标可知，若点和点、、构成直角梯形，则有两种情况，一种情况是，另一种情况是，根据梯形的面积是分情况求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把点的坐标代入解析式， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：； 把整理成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：的三条高所在直线交于三角形外一点， 是钝角三角形， 如下图所示，当点在点的左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， 点的坐标为， 当点在点右侧，点左侧时， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 如下图所示，过点作交轴于点，作轴于点， 则， 又， ， ， 由点和点可知点的坐标为， ，，， ， ， 解得：， ， 点的坐标为， 当点在点右侧， 即时，是钝角三角形， 的三条高所在直线交于三角形外一点； 综上所述，当的三条高所在直线交于三角形外一点时，的取值范围为或或； 【小问3详解】 解：由点、点、点的坐标， 可知，，， ， ， 是直角三角形，，且，； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 整理可得：， 解得：， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 则直线的解析式为， ，， ， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合条件，舍去）， ， 点的坐标为； 当时，如下图所示， 梯形的面积为， ， 解得：， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 25. 如图，扇形中，，点在线段的延长线上，满足，连接，交劣弧于点，连接，点是线段上一点，满足． （1）当时，求的长； （2）若，为，求关于的函数关系式，并求定义域； （3）延长、交于点，如果四边形是一个轴对称图形，求的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，利用垂径定理得出，根据，得出，得出，求出的长即可； （2）利用垂径定理得出，利用，根据，得出，进而得出，根据即可求出关系式；根据当与相切时，，当为直径时，，求出定义域即可； （3）当为对称轴时，过点作，交延长线于，过点作于，于，根据轴对称的性质及等边对等角得出，，可证明，得出，即可求出，，利用等腰三角形的性质求出，利用证明，得出，利用勾股定理求出，，进而求出，利用余弦函数的定义即可求出的余弦值；当为对称轴时，根据轴对称的性质得出，、没有交点，此种情况不存在；综上即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∵为， ∴， 如图，当与相切时，点与点重合，， 当为直径时，点与点重合，， ∵与劣弧交于点， ∴点与点不重合， ∴定义域为． 【小问3详解】 解：如图，当为对称轴时，过点作，交延长线于，过点作于，于， ∵， ∴， ∵四边形是一个轴对称图形，为对称轴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当为对称轴时， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴、没有交点，此种情况不存在， 综上所述：的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $