山东枣庄市2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷1

**基本信息** 本卷以人教A版必修二为范围，通过随机数表抽样、四棱锥体积分割、频率分布直方图分析等实例，分层考查复数、统计、立体几何等知识，渗透直观想象、数学运算与数据处理素养，适配高一下学期期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数纯虚数、随机数表抽样、分层抽样、正四棱台体积|第4题通过切割体体积分割，考查空间几何体体积计算，体现直观想象| |多选题|3/18|独立事件判断、向量运算、正方体线线关系|第11题结合正方体中点线面关系，综合考查异面直线与共面问题，培养逻辑推理| |填空题|3/15|向量共线、斜二测画法面积、解三角形|第13题斜二测画法与直观图面积计算，衔接平面几何与空间作图，强化空间观念| |解答题|5/77|复数运算、向量共线证明、统计直方图分析、解三角形、四棱锥线面角|第19题四棱锥中线面平行证明与点面距离计算，综合空间几何与运算能力，呼应高考立体几何命题趋势|

山东省枣庄市2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修二（全册）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 【答案】B 【详解】， 因为复数为纯虚数，所以，解得. 故选：B. 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 故选：A. 3．高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 故选：D. 4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 【答案】C 【分析】设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为，依题意列方程组可解得，然后可得棱台体积. 【详解】由正四棱台性质可知，四棱锥的底面为正方形，设三棱柱的高为，四棱锥的底面边长为，棱台的高为，由题知，可得，， 所以棱台的体积. 故选：C. 5．将一枚质地均匀的骰子连抛两次，记事件“第一次得到2点”，事件“两次得到的点数之和为7”，则（    ） A．6 B．12 C． D． 【答案】B 【分析】根据列举法，结合古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可得，一枚质地均匀的骰子连抛两次的样本空间为： , , 事件, , 事件, , 事件 , , 所以 , , , 所以 . 故选：B. 6．已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得,,又已知,, 由已知, ,,, , , , 而, 故 . 故选：C. 7．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，      因为，分别为棱，上靠近点的三等分点， 所以，则且， 四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角， 因此线面角，得，则, 由.得且，则且， 则四边形为平行四边形，故， 则（或其补角）即为异面直线，所成角； 作，垂足为F，则，则，故，则； 由平面，平面，则， 结合，平面，则平面， 则平面，平面，则， 而，故， 在中，，则, 即异面直线，所成角的余弦值为. 故选：A. 8．的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， , ，所以A错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得: , 即, 解得 . 所以B错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，所以C错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知，所以，D说法正确； 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 【答案】AC 【详解】对于选项A，正面向上记作1，反面向上记作0，则,, ,,,,,, 可知 , , ，， 所以相互独立，选项A正确； 对于选项B，两个白球记作：；两个黑球记作： , 则, , ,； , , , , , ,, 所以事件不相互独立，选项B错误； 对于选项C，,,, ,, 所以 , , ，，所以相互独立，选项C正确； 对于选项D，,,,可知事件互斥，所以事件不相互独立，选项D错误； 故选：AC. 10．已知向量 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 与 夹角的余弦值为 D． 在 上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】利用向量共线、垂直的判定条件，向量夹角余弦公式、投影向量的计算方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：两向量平行的充要条件是，代入得 ，故与不平行，A错误； 选项B：计算得 ， 则 ，故 ，B正确； 选项C： ，， ， 则夹角的余弦值，C正确； 选项D：在方向上的投影向量为，D正确. 故选：BCD. 11．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 【答案】BCD 【分析】对于A，取的中点为，连接，易得，结合，相交即可判断；对于B，由异面直线的概念即可判断；对于C，易知，则为直线与所成的角，再求角即可判断；对于D，连接，易知，再由平面确定定理即可判断． 【详解】解：对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，若直线与是平行直线， 则可得，，三点共线，显然这与，相交于点矛盾，故A错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面， 可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，，如下图： 可得，故为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为，故C正确； 对于D，连接，易知，可知，，，四点共面，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【分析】首先表示出，依题意根据，根据向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以，所以，解得. 故答案为： . 13．等边三角形的边长为 ，建立如图所示的直角坐标系 ，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是______________． 【答案】 【详解】试题分析：过B作于D,过B作y轴的垂线BC,垂足为C,则， 作 轴和轴，使得 ，在轴上取点 ，使得，在 轴上取点，使得 ，过点作轴，使得，连接 ，则为的直观图，由直观图作法可知 ，过作于 ，则，所以 ． 故答案为： . 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且， 则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 【答案】 . 【分析】利用正弦定理，得出关于角A的三角等式，进而可求得的值即可；根据锐角三角形求得 角B的取值范围，结合三角形的面积以及正弦函数的性质求面积取值范围. 【详解】由已知得：，根据正弦定理，. 因为，且， 化简得, . 因为是锐角三角形，所以. 因为，所以，即. 因为为锐角三角形，故且 ,解得. 由正弦定理，所以，. 因此面积: , , , . 故答案为： , . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知复数.为虚数单位. (1)若为实数，求的值； (2)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 【分析】（1）将复数除法化简为代数形式，根据实数的虚部为0列方程求解； （2）先计算复数乘法得到的代数形式，再根据第二象限点的坐标特征列不等式组求解范围. 【详解】（1）已知，故， 由题知为实数，故虚部， 解得. （2）易知 ， 由题知在复平面上对应的点在第二象限，故 ，解得， 即的取值范围为. 16．设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 【分析】（1）先通过向量加法求出，证明其与共线且有公共点，从而证得三点共线； （2）先假设两向量共线，利用共线向量定理，求出共线时的值，再取其补集得到不共线时的取值范围． 【详解】（1）因为 ，所以与共线． 因为与有公共点，所以三点共线． （2）假设与共线，则存在实数，使． 因为不共线，所以,所以． 因为与不共线，所以，即：。 17．实验中学随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【详解】（1）设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． （2）①A，B，C三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设A组的3位同学记为，B组的2位同学记为 C组的1位同学记为 则从6名学生中随机抽取2人的样本空间： , , 其中B组的2位学生至少有1人被抽中,所以 ,所以B组中至少有1人被抽中的概率为 ． 18．在中，内角所对的边分别为，. (1)求的大小； (2)若，边上的高为. （i）求的值； （ii）求的值. 【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得； （2）（i）利用三角形的面积可求得，结合余弦定理可求得；（ii）求得，利用正弦定理可求得，利用二倍角的正弦余弦公式结合两角和和正弦公式可求得. 【详解】（1）因为，，为的内角，所以，因为， 所以可化为：， 即，即， , 因为，解得： , . （2）（i）由三角形面积公式得，所以， 由余弦定理得：， 解得：或舍去，所以； （ii）由（i）可得， 在中，由正弦定理可得，即， 解得，又，, 所以为锐角， 所以， 所以，， 所以. 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，点为线段的中点。    (1)、求证：平面； (2)、若点是线段上靠近点的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离。 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以， 因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线， 故，且． 又底面，所以底面， 因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角． 由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故． 在中，． 在中，． 因此， 。 （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，， 故． 因此，． 由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高一下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版必修二（全册）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若复数为纯虚数，则（    ） A． B． C．0 D．10 2．某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 3．高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．8 C．7 D．6 4．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥.已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为2，则该正四棱台的体积为（    ） A．16 B．22 C．26 D．28 5．将一枚质地均匀的骰子连抛两次，记事件“第一次得到2点”，事件“两次得到的点数之和为7”，则（    ） A．6 B．12 C． D． 6．已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．下列事件中，A，B是相互独立事件的是（    ） A．一枚硬币掷两次，“第一次为反面朝上”，“第二次为正面朝上” B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两次球，“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，“出现点数为偶数”，“出现点数为2或3” D．掷一枚骰子，“出现点数为奇数”，“出现点数为偶数” 10．已知向量 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． 与 夹角的余弦值为 D． 在 上的投影向量为 11．如图所示，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．，，，四点共面 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 13．等边三角形的边长为 ，建立如图所示的直角坐标系 ，用斜二测画法得到它的直观图，则它的直观图的面积是______________． 14. 已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且， 则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知复数.为虚数单位. (1)若为实数，求的值； (2)若，在复平面上对应的点在第二象限，求的取值范围. 16．设是两个不共线的向量，已知，，． (1)求证：三点共线； (2)若与不共线，试求的取值范围． 17．实验中学随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． (1)求身高在区间的学生人数； (2)将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 18．在中，内角所对的边分别为，. (1)求的大小； (2)若，边上的高为. （i）求的值； （ii）求的值. 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点为线段的中点。    (1)、求证：平面； (2)、若点是线段上靠近点的四等分点， （i）求直线和平面所成角的正弦值； （ii）求点到平面的距离。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $