山东省泰安第三中学2025-2026学年高一下学期期末考试模拟训练数学试题

**基本信息** 涵盖向量、立体几何、概率统计等核心模块，融合《九章算术》文化素材与知识竞赛、羽毛球对抗赛等现实情境，梯度设计适配高一期末综合检测 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线判断、复数模、直观图还原|基础概念辨析，如平行向量与共线向量关系| |多选题|3/18|向量夹角与垂直、统计图表分析、鳖臑体积最值|综合应用，如结合《九章算术》鳖臑模型考查外接球与体积| |填空题|3/15|概率运算、百分位数、三角形周长范围|数学语言表达，如用正弦定理求周长取值| |解答题|5/77|向量运算、四棱锥线面证明与线面角、解三角形、频率分布直方图、对抗赛概率|分层递进，如四棱锥问题三问考查逻辑推理，羽毛球对抗赛概率体现数学建模|

山东省泰安三中2026年高一下学期期末考试模拟训练 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（本题5分）已知是两个单位向量，与的夹角为，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（本题5分），，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）复数（是虚数单位），则（　　） A．1 B． C．2 D． 5．（本题5分）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 6．（本题5分）已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中不正确的个数是（   ） ①若，，则； ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行； ③若，，，则平面、内必定分别存在一条直线与直线垂直； ④若、为异面直线且点，，则一定存在经过点的平面与、都平行． A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知向量与满足，，且 则下列说法正确的是（    ） A．若， 则向量与向量共线 B．向量与的夹角为 C． D．向量与向量垂直 10．（本题6分）为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（    ） A．样本中A层次身高的女生少于男生 B．样本中B层次身高的学生人数最多 C．样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D．样本中E层次身高的男生有6人 11．（本题6分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，．若鳖臑外接球的体积为，则当此鳖臑的体积最大时，下列结论正确的是（    ） A． B．鳖臑体积的最大值为2 C．点到面的距离是 D．鳖臑内切球的半径为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）设是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______. 13．（本题5分）树人中学高一年级10位男生的身高（单位：厘米）数据为153，155，157，159，161，162，164，165，173，178，则该组数据的第75百分位数为_______． 14．（本题5分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则周长的取值范围是______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知向量； (1)求； (2)若，求的值； (3)求与的夹角的余弦值． 16．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为等边三角形，平面平面，． (1)设分别为的中点，求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本题15分）已知，其内角的对边分别为，且 ． (1)求； (2)，D是BC的中点，求AD的长． 18．（本题17分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本成绩的上四分位数； (3)已知落在的平均成绩是57，方差是7，落在的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 19．（本题17分）甲､乙两人进行羽毛球对抗赛，规定一方比另一方多赢两局者获胜，且比赛结束，每局比赛赢的人，下一局比赛获得发球权.通过分析甲､乙过去比赛的数据知，每局比赛中甲发球且甲赢的概率为，乙发球且乙赢的概率为，每局比赛的结果互不影响.已知甲先发球. (1)求第二局比赛结束后乙获胜的概率； (2)求第四局比赛结束后甲获胜的概率； (3)求第六局比赛结束后甲获胜的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安三中2026年6月份期末考试模拟训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D B A D C ACD ABC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 2．C 【分析】根据向量模及数量积的计算公式计算即可. 【详解】因为是两个单位向量，与的夹角为， 所以 ， 所以. 故选：C 3．B 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 则在上的投影向量是. 故选：B 4．D 【分析】先利用复数除法运算化简复数，然后求出复数的模即可. 【详解】因为， 所以， 故选：D． 5．B 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 6．A 【分析】只需求得三棱锥外接球的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 7．D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 8．C 【分析】根据线面垂直性质可知①错误，由点、线、面的位置关系以及线面平行的性质可得②错误，利用线面垂直的性质可知③正确，利用正方体可判断④错误. 【详解】对于①，若，则可知或，如下图中所示： 即①错误； 对于②，不妨取正方体为例，如下图所示： 直线外一点，此时平面与均与直线平行， 因此过直线外一点，可以作与这条直线平行的平面并不唯一，即②错误； 对于③，在直线上取点、，设点、在平面内的射影点分别为、， 则，，故，故、、、共面， 由平面几何的相关知识可知，在平面内必存在直线，使得， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可知，在平面内也存在直线与直线垂直，即③正确； 对于④，不妨取正方体为例，如下图所示： 当点在上底面上时，此时不存在经过点的平面与、都平行，④错. 9．ACD 【分析】根据条件得，对于A，由向量的共线定理判断即可；对于B，利用向量的夹角公式，即可求解；对于C，利用模长的计算公式，即可求解；对于D，利用向量的垂直表示，计算，即可求解； 【详解】因为，，，则， 得到， 对于A，若，则， 故向量与向量共线，故A项正确； 对于B，，又，所以，故B错误， 对于C，因为，则，所以C正确， 对于D，因为， 所以向量与向量垂直，故D正确． 故选：ACD. 10．ABC 【分析】由题中统计图可判断各选项正误. 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误. 故选：ABC 11．BCD 【分析】根据外接球体积得到外接球半径，找到球心位置，设，，利用基本不等式得到体积的最值及判断AB，利用等体积法判断CD. 【详解】选项AB：设鳖臑外接球半径为， 由题意可得，解得， 因为四个面都为直角三角形，中点到四个顶点的距离都相等， 所以点是外接球的球心，， 因为平面，，， 所以， 设，，则，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，鳖臑体积的最大值为2，A错误，B正确； 选项C：设点到面的距离为， 因为平面，所以，， 所以，，解得， 即点到面的距离为，C说法正确； 选项D：因为， 所以，，，， 设鳖臑内切球的半径为，则， 即，解得，D说法正确； 故选：BCD 12． 【分析】由题意结合概率运算性质可得答案. 【详解】由概率的性质知，因此， . 故答案为：. 13． 【分析】根据百分位数的定义和运算规则计算即可. 【详解】由题意，该数据已经从小到大排列，则， 所以第75百分位数为第8个数，即. 故答案为：. 14． 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得，则，然后由和差化积公式结合三角函数性质可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得, 则由余弦定理得，又，所以. 则. 因，则，由和差化积公式得： . 因，则，. 从而，则. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，利用向量的坐标运算和模长的计算公式，即可求解； （2）根据向量平行列方程，由此求得，即可求解； （3）利用向量数量积的坐标运算及模长公式，先求出，，，再根据向量夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 则． （2）， 则， 因为，所以， 即，解得． （3）由题知， 则，又， 所以， 又，， 所以． 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，则，利用三角形中位线定理证明，由线线平行即可证得线面平行； （2）取中点，连接，证明，利用平面平面证明平面，得，结合条件，再由线线垂直即可证得平面； （3）由（2）已得平面，则即直线与平面所成角，则可借助于，利用三角函数的定义即可求得. 【详解】（1）如图，连接，因底面为平行四边形，则， ， 因，则，因平面， 平面，故平面. （2）取中点，连接，因为等边三角形，则， 又平面平面，平面平面， 平面， 则平面，又平面，故， 因，平面，故平面. （3）由（2）已得平面，连接，则即直线与平面所成角， 因为等边三角形，，则， 又，在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合展开化简，求得，再结合可得； （2）由面积公式求，用余弦定理求，再次在中用余弦定理，得AD的长. 【详解】（1）由题意和正弦定理得 ， 且 ， 即 ， 得，且，则， 可得且，所以. （2）如图：    因为 由 所以 解得， 在中，由余弦定理得 则又D为BC边上的中点，所以 在中，由余弦定理得，则 在中，由余弦定理得 所以 18．(1)； (2)84； (3)总平均数为65；总方差为37. 【分析】（1）由频率直方图小矩形的面积和为1列方程求参数； （2）由百分位数的定义及直方图求上四分位数； （3）应用分层抽样的均值和方差公式求总平均数和总方差. 【详解】（1）因为每组小矩形的面积之和为1， 所以，则； （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设上四分位数为m，由，得， 故上四分位数为84； （3）成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故这两组成绩的总平均数为， 由样本方差计算总体方差公式可得总方差为 . 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，根据独立事件概率公式，求出结果； （2）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； （3）根据比赛结果，讨论每局比赛的胜负情况，列出所有可能，根据独立事件概率公式，求出结果； 【详解】（1）设事件表示甲发球甲获胜，事件表示乙发球甲获胜； 事件表示甲发球乙获胜，事件表示乙发球乙获胜； 可知. 则第二局比赛结束后乙获胜，即； （2）第四局比赛结束后甲获胜，则第四局一定是甲获胜，前三局甲胜2局，乙胜1局， 则事件概率为； （3）第六局比赛结束后甲获胜，则第六局一定是甲获胜，前面五局中甲获胜3句，乙获胜2局，则事件概率为 ； 则第六局比赛结束后甲获胜的概率为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $