精品解析：2026年河南三门峡市卢氏县徐家湾乡初级中学等校中考学科第二次调研试卷 数学

2026年中考学科第二次调研试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个量的只有一个是正确的） 1. 在，，，这四个数中，无理数是（ ） A. B. π⁰ C. D. 2. 在下列立体图形中，三视图中没有圆的是（ ） A. B. C. D. 3. 据国内产品榜统计数据，截至到2026年2月底，豆包全球用户数达3.15亿.将数据3.15亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 正n边形的一个外角的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的面积都是9，点A，B，C，D，E，M都是格点，点F为与的延长线的交点，点P是与的交点，则的长为( ) A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 8. “学雷锋”活动月中，志愿者小组同学积极报名参与“学校足球联赛”服务活动，小明和小亮从“整理场地、计分、送饮用水”三项服务中随机选择一项参加活动，两人恰好选择同一服务项目的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，下列选项错误的是（ ） A. B. 点M到x轴的距离是 C. 点M关于x轴的对称点坐标为 D. 所在直线的表达式为 10. 物理学家实验发现，放射性元素镭的衰变过程中，镭所剩的质量与时间满足某种函数关系．如图所示为镭的放射规律的函数图象． 据此可计算镭缩减为所用的时间大约是（ ） A. 4860年 B. 6480年 C. 8100年 D. 9720年 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x是大于2的正整数，且与可以合并，则整数x的值可以是____________(写出一个即可)． 12. 观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 13. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需．同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为，则这架无人机的飞行高度大约是____________．（结果保留根号） 14. 如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 15. 定义：一个三角形中如果存在一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形叫做“奇妙三角形”．一个奇妙三角形恰好是等腰三角形，如果它的底边是2，那么这个三角形的腰长是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）化简： 17. 2026年开学之际，教育部提出“健康第一教育观念”，学校积极响应国家号召，积极开展各项体育运动，除了大课间阳光跑步活动外，每人选报一项其他活动．为了解九年级选报情况，八年级数学小组随机调查了九年级的选报情况，并制成如下不完整的统计图表有错 学生选报体育活动统计表 体育项目 篮球 乒乓球 羽毛球 足球 排球 人数 8 13 m 4 10 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）____________，____________； （2）该调查统计数据中选报最多的项目是____________； （3）请计算扇形统计图中选报排球的人数所对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校九年级共有750名学生，根据调查结果，估计选报足球的人数是多少？ 18. 如图，已知反比例函数的图象和正比例函数的图象交于，两点，P是双曲线在第一象限内的任意一点（不与点A重合），连接，交x轴于点D，交y轴于点C，作直线，交x轴于点M，交y轴于点N． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式 （2）当点P的横坐标为2时，判断的形状，并说明理由； （3）如果点是双曲线在第一象限内直线上方的一个动点，请直接写出的形状． 19. 如图，已知点P是的边上一点．完成下列问题． （1）尺规作图：过点P作的平行线MN，以P为圆心，长为半径画圆交于点C，D（点C在点D左侧），连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2） ； （3）求证：平分． 20. 学校决定在全校开展2026篮球班级赛和足球风采杯活动．为此学校计划添置一批高质量的篮球和足球．已知每个篮球的价格比足球的价格多50元，用6000元购买篮球的数量和用4500元购买足球的数量相等． （1）求篮球和足球的价格； （2）如果学校购买篮球和足球共40个，且购买篮球的数量不少于购买足球数量的则所需费用最少是多少元? 21. 利用方格纸可以非常方便地画出一些长为无理数的线段，也可以很容易地求出一些角度的三角函数值．已知每个小方格的边长都是1，每条线段的两个端点都在格点上，请解答下列问题． （1）图1中，____________． （2）在图2中画出一个，使得． （3）在图3中，画出满足下列条件的矩形． ①四个顶点都是格点；②面积为10；③矩形的边长都是无理数． 22. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 23. 对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法．请据此解答下列问题． （1）已知在中，，，，为边上的高，求的长． （2）如图，所示都是边长为的正方形，这两个图直观地证明了（ ） A． B． C． D．． （3）如图2，已知是等边三角形，，点P是外一点，过点P作三边所在直线的垂线：，，，垂足分别为D，E，F．直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考学科第二次调研试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔将答案写在答题卡上． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个量的只有一个是正确的） 1. 在，，，这四个数中，无理数是（ ） A. B. π⁰ C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在，，，这四个数中，，都是有理数，是无理数，是分数，即是有理数． 2. 在下列立体图形中，三视图中没有圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一进行分析即可得出答案． 【详解】A中，圆柱的俯视图是圆，故不符合题意； B中，圆锥的俯视图是圆，故不符合题意； C中，正方体三视图中没有圆，故符合题意； D中，球的三视图都是圆，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键． 3. 据国内产品榜统计数据，截至到2026年2月底，豆包全球用户数达3.15亿.将数据3.15亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】3.15亿． 4. 正n边形的一个外角的度数不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等且多边形的外角和等于360度解答即可． 【详解】解：设每个外角的度数为，则， ． 只有不是整数． 5. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：可化为，，符合题意； 的解是，，不合题意； 可化为，没有实数根，不合题意； ，，有两个不相等的实数根，不合题意． 6. 在如图所示的网格中，每个小正方形的面积都是9，点A，B，C，D，E，M都是格点，点F为与的延长线的交点，点P是与的交点，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取格点N，利用相似三角形的判定和性质可知，故，再利用小正方形的面积都是9求出即可得解． 【详解】解：如图，取格点N， ， ， ． 每个小正方形的面积是9， 小正方形的边长为3， ． ． 7. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，故A正确； B．，故B错误； C．，故C错误； D．，故D错误． 8. “学雷锋”活动月中，志愿者小组同学积极报名参与“学校足球联赛”服务活动，小明和小亮从“整理场地、计分、送饮用水”三项服务中随机选择一项参加活动，两人恰好选择同一服务项目的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用A，B，C分别表示“整理场地、计分、送饮用水”三项服务，画出树状图列出所有等可能的情况，找出两人恰好选择同一服务项目的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图：（用A，B，C分别表示“整理场地、计分、送饮用水”三项服务） 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一服务项目的结果数为3， 所以两人恰好选择同一服务项目的概率． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，下列选项错误的是（ ） A. B. 点M到x轴的距离是 C. 点M关于x轴的对称点坐标为 D. 所在直线的表达式为 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理可求点到原点的距离，点关于x轴的对称点的坐标特点是纵坐标互为相反数，横坐标不变；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，根据待定系数法可求所在直线的表达式． 【详解】解：A．，正确，不合题意； B．点到x轴的距离为1，不正确，符合题意； C．点关于x轴的对称点坐标为，正确，不合题意； D．把代入，得，则，正确，不合题意． 10. 物理学家实验发现，放射性元素镭的衰变过程中，镭所剩的质量与时间满足某种函数关系．如图所示为镭的放射规律的函数图象． 据此可计算镭缩减为所用的时间大约是（ ） A. 4860年 B. 6480年 C. 8100年 D. 9720年 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题图可知，经过1620年即当1620年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即当3240年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即当4860年时，镭质量缩减为原来的， 经过年，即当6480年时，镭质量缩减为原来的． 而． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x是大于2的正整数，且与可以合并，则整数x的值可以是____________(写出一个即可)． 【答案】8(答案不唯一) 【解析】 【分析】化成最简二次根式以后是正整数乘以的形式，x满足，n为大于1的正整数即可． 【详解】解：∵与可以合并， ∴化成最简二次根式以后是整数乘以的形式， ∴可以是． 故整数x的值可以为8(答案不唯一)． 12. 观察，，，，，，…，，，根据这些式子的变化规律，后面的式子为____________． 【答案】 【解析】 【详解】分别观察式子中系数和指数的变化规律，得出后面的式子即可． 【解题思路】解：观察式子，，，，，，……， 可以发现系数是，……，指数是，……， 可知，从第三个式子开始，后边的每个系数是它前面相邻两个系数的和，指数和式子的序号相同， 即系数是，……，指数是序号， 第个式子的指数是， 后面的式子是． 13. 如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需．同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为，则这架无人机的飞行高度大约是____________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过A点作，垂足为H，过B点作垂直于过C点的水平线，垂足为D，先解直角三角形求出的长，从而可得的长，再根据直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】解：过A点作，垂足为H，过B点作垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图． 根据题意得，，，． 在中，，， ． ， ， ． 在中，，． 这架无人机的飞行高度大约是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 【答案】2026 【解析】 【分析】将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形，然后根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形． 点A在反比例函数的图象上， ∴， 阴影部分的面积之和为2026． 15. 定义：一个三角形中如果存在一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形叫做“奇妙三角形”．一个奇妙三角形恰好是等腰三角形，如果它的底边是2，那么这个三角形的腰长是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】 本题考查等腰三角形的性质、三角形相似以及三角形内角和，根据等腰三角形的性质，分类讨论求解腰长． 【详解】解：当顶角是底角的2倍时，且三角形是等腰三角形， 设底角为，则顶角为， 根据三角形内角和得，， 解得：， 即底角为，顶角为， 故三角形是等腰直角三角形， 则腰长． 当底角是顶角的2倍时，且三角形是等腰三角形， 设底角为，则顶角为， 得， 解得：， 则顶角为，底角为， 如图，作的平分线， 则， ， ， ， ， ，， ， ， 即 ， ， 得， 解得或（舍）． 综上，腰长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）3 （2）1 【解析】 【分析】（1）按运算顺序分别计算负整数指数幂、平方根、零指数幂和立方根，再进行加减运算即可； （2）按照分式的混合运算，先对括号内通分相减，再将除法转化为乘法，因式分解后约分，最终化简即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 2026年开学之际，教育部提出“健康第一教育观念”，学校积极响应国家号召，积极开展各项体育运动，除了大课间阳光跑步活动外，每人选报一项其他活动．为了解九年级选报情况，八年级数学小组随机调查了九年级的选报情况，并制成如下不完整的统计图表有错 学生选报体育活动统计表 体育项目 篮球 乒乓球 羽毛球 足球 排球 人数 8 13 m 4 10 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）____________，____________； （2）该调查统计数据中选报最多的项目是____________； （3）请计算扇形统计图中选报排球的人数所对应扇形的圆心角的度数； （4）若该校九年级共有750名学生，根据调查结果，估计选报足球的人数是多少？ 【答案】（1）15；16 （2）羽毛球 （3） （4）60人 【解析】 【分析】（1）用选报乒乓球的人数除以它所占的百分比求出总调查人数，再用减法求出m的值，用选报篮球的人数除以总调查人数再乘以求出选报篮球的人数所占百分比即可求出n； （2）根据统计表直接回答即可； （3）用乘以选报排球的人数所占比求解即可； （4）用该校九年级学生数乘以样本中选报足球的人数所占比求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：总调查人数是(人)， ∴选报羽毛球人数为：(人)． 选报篮球人数所占百分比是：，即； 【小问2详解】 由统计表可以看出选报羽毛球人数最多， 故该调查统计数据中选报最多的项目是羽毛球； 【小问3详解】 扇形统计图中选报排球的人数所对应扇形的圆心角的度数为：； 【小问4详解】 (人)， 答：估计选报足球的人数是60人． 18. 如图，已知反比例函数的图象和正比例函数的图象交于，两点，P是双曲线在第一象限内的任意一点（不与点A重合），连接，交x轴于点D，交y轴于点C，作直线，交x轴于点M，交y轴于点N． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式 （2）当点P的横坐标为2时，判断的形状，并说明理由； （3）如果点是双曲线在第一象限内直线上方的一个动点，请直接写出的形状． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为 （2）等腰直角三角形，理由见解析 （3）等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据中心对称性质，待定系数法求解即可； （2）利用待定系数，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定，解得即可； （3）过点P，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点E，过点A作，垂足为F．设点P的坐标为，利用三角形相似，等腰三角形的判定解答即可； 【小问1详解】 解：反比例函数的图象和正比例函数的图象都关于原点中心对称， 它们的交点A，B关于原点中心对称， ，， ， 解得 反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． 理由：把代入，得， ． 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， ， 令，得， 解得， 故； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， ， 令，得， 解得， 故； ，，， ， 是等腰直角三角形． 【小问3详解】 解：如图，过点P，B分别向x轴、y轴作垂线，两垂线交于点E，过点A作，垂足为F．设点P的坐标为， ，， ，， ，． ， 又， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 19. 如图，已知点P是的边上一点．完成下列问题． （1）尺规作图：过点P作的平行线MN，以P为圆心，长为半径画圆交于点C，D（点C在点D左侧），连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2） ； （3）求证：平分． 【答案】（1） （2）； （3）由作图可知， ， ， ， ， 即平分． 【解析】 【分析】（1）按题意要求作的平行线及即可； （2）根据直径所对的圆周角是得到答案； （3）由作图得，根据平行线的性质得 ，从而得到，得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴； 【小问3详解】 略 20. 学校决定在全校开展2026篮球班级赛和足球风采杯活动．为此学校计划添置一批高质量的篮球和足球．已知每个篮球的价格比足球的价格多50元，用6000元购买篮球的数量和用4500元购买足球的数量相等． （1）求篮球和足球的价格； （2）如果学校购买篮球和足球共40个，且购买篮球的数量不少于购买足球数量的则所需费用最少是多少元? 【答案】（1）篮球的价格为200元/个，足球的价格为150元/个 （2）6800元 【解析】 【分析】（1）设足球单价为未知数，因为篮球单价比足球多50元，所以可表示出篮球单价，再结合“6000元买篮球的数量和4500元买足球的数量相等”的条件，根据“数量总价单价”列分式方程求解； （2）设购买篮球的数量为未知数，因为总数量为40个，所以可表示出足球的数量，再根据“篮球数量不少于足球数量的”列不等式，确定未知数的取值范围，然后用两种球的单价和对应数量表示出费用关于总费用的一次函数，根据一次函数的增减性，结合未知数的取值范围求费用最小值． 【小问1详解】 解：设每个足球的价格为x元，则每个篮球的价格为元， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 当时，， 答：篮球的价格为200元/个，足球的价格为150元/个． 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买足球个， 由题意，得， 解得； 设总费用为w元， 则， ， w随m的增大而增大， 又m取正整数， 时，所需费用最少，为（元）， 答：最少需要6800元． 21. 利用方格纸可以非常方便地画出一些长为无理数的线段，也可以很容易地求出一些角度的三角函数值．已知每个小方格的边长都是1，每条线段的两个端点都在格点上，请解答下列问题． （1）图1中，____________． （2）在图2中画出一个，使得． （3）在图3中，画出满足下列条件的矩形． ①四个顶点都是格点；②面积为10；③矩形的边长都是无理数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据小方格计算的值，再利用勾股定理逆定理得到，在直角三角形中直接计算； （2）利用小方格找到直角边分别为2和3的直角三角形，顶角即为所求的； （3）根据面积和边长为无理数的信息，找到一组矩形的边长，再利用小方格画图即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，，． ， 是直角三角形，且， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 矩形的两邻边的边长是和． 图略 22. 已知二次函数的图象经过，两点． （1）求二次函数的表达式； （2）求抛物线的对称轴和抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）将抛物线绕原点旋转，再向右平移1个单位长度，直接写出两次变换后的抛物线的表达式． 【答案】（1） （2）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为，抛物线与x轴的交点坐标为， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）化成顶点式，可求得抛物线的对称轴，令或，分别求解即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）利用旋转和平移的性质求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 当时，， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，； 【小问3详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 将抛物线绕原点旋转， ∴顶点坐标为， ∴此时抛物线的解析式为， 将抛物线向右平移1个单位长度， ∴， ∴最终两次变换后的抛物线表达式为：． 23. 对于一个给定的图形，找到两种面积计算方法，计算结果一定是相等的，由此可以得到一个等式，进而解答问题，这种方法叫作等面积法．请据此解答下列问题． （1）已知在中，，，，为边上的高，求的长． （2）如图，所示都是边长为的正方形，这两个图直观地证明了（ ） A． B． C． D．． （3）如图2，已知是等边三角形，，点P是外一点，过点P作三边所在直线的垂线：，，，垂足分别为D，E，F．直接写出的值． 【答案】（1） （2）C （3） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据等面积法求出结果即可； （2）根据阴影部分面积相等进行求解即可； （3）根据等边三角形的性质和勾股定理，求出的面积，再根据，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 是直角三角形，且， 为边上的高，， ， ∴． 【小问2详解】 解：图和图都是边长为的正方形，且都含有四个全等的直角三角形，所以它们的阴影部分的面积相等． 图中，， 图中，， ． 【小问3详解】 解：如图，过点A作，垂足为G， 是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 如图，连接，，， ， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $