精品解析：2026年河南周口市沈丘县下学期九年级模拟监测(二) 数学试题

2026年九年级模拟监测（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 2.12122 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； C、是整数，属于有理数； D、是分数，属于有理数． 2. 正六棱柱是一种立方体，底面为正六边形且六个侧棱均与底面垂直．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意可见的棱用实线表示． 【详解】解：根据图示的正六棱柱可得其俯视图是 ． 3. 2026年8月2日至5日，一场关于量子计算的前沿技术研讨会将在深圳举行．据悉，2025年我国在量子计算领域的科研投入至少达数百亿元级别，其中国家财政支持超200亿元，社会资本快速跟进，形成了“国家引导+市场驱动”的双轮发展格局．用科学记数法表示数据“200亿”为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将200亿还原为原数，再根据科学记数法的定义改写即可，科学记数法形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵亿， ∴亿用科学记数法表示为． 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， ∴不等式的解集为：． 5. 折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，采用镁合金等特殊轻材质制成，重量极轻．图1为折叠电动车的实物图，图2为示意图，为支架，为车轮，点、B、E共线．已知，，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质可得，运用平行线的性质可得，最后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，属于相遇问题，需根据两者相向而行，相遇时路程之和为全程（即1），再建立方程即可. 【详解】解：设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A 7. 下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若一元二次方程有两个互为倒数的实数根，需要满足两个条件，两根乘积为即，且判别式保证存在两个实数根． 【详解】解：A、，∵，，∴，不符合要求； B、，∵，，∴，且，满足所有条件，符合要求； C、，∵，，满足，但，方程没有实数根，不符合要求； D、，∵，，∴，不符合要求． 8. 如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设的面积是，的面积是，根据，为的中点，得的面积是，的面积是，进而得到的面积是，再根据的面积与的面积相等，得，解得，再根据的面积是30即可求得、的值，从而求解． 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 9. 把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求原等边三角形面积，根据三角形中位线定理得到，相似比为，归纳得出第个三角形面积公式． 【详解】解：如图，过点作， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∵点、、分别为等边的边、、的中点， ∴，，， ∴，相似比为， 面积比为相似比的平方，即​， ∴每个新三角形的面积是前一个三角形面积的 时， 时， 依此类推，可得的面积为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线交于点G，若点的坐标分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点的坐标求出直线 的解析式，联立两条直线的解析式，求出点的坐标，过点作轴，过点作，利用相似求出的长度，即可求出答案． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ∴， 在中，， 设直线的解析式为， 分别将点代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为； 同理可解得直线的解析式， 联立，解得， ∴点坐标为， 如图所示，过点作轴，交轴于点；过点作交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； ∵， ∴在中，， ∴在中，． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 请写出一个系数为且次数为5的单项式________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据单项式的系数即为单项式中的数字因数，单项式的次数即为单项式中所有字母的指数和，按要求写出一个单项式即可． 【详解】解：系数为且次数为5的单项式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了单项式的系数以及次数的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 12. 不等式组的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解∶解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 13. 河南古代书院文化兴盛，应天府书院(商丘)、嵩阳书院(登封)、伊川书院(洛阳)、百泉书院(辉县)是其中较有代表性的四所．现从这四所书院中随机选取两所进行传统文化研学，则选中的恰好是伊川书院和嵩阳书院的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先列表得出从四所书院中随机选取两所的所有等可能结果，再找出符合题意的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：记应天府书院为，嵩阳书院为，伊川书院为，百泉书院为， 列表如下： A B C D A B C D 根据表格可知共种等可能的结果，其中选中的恰好是伊川书院和嵩阳书院的结果有种， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径作弧交轴的正半轴于点，过点作轴的垂线交弧于点，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由点坐标得圆半径与直角三角形边长，算出圆心角，再用扇形面积减直角三角形面积求出阴影面积． 【详解】解：连接, ∵点， ∴半径， ∵点，轴， ∴是直角三角形，， 由勾股定理：， 又， ∴ ∴扇形面积：​ 面积： ∵阴影面积扇形的面积的面积． 15. 如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交于点．若 则的长为____________． 【答案】3或5 【解析】 【分析】先作，再利用旋转和等腰直角三角形性质，证，接着由，在等腰直角中算出，得，最后分点在左侧，右侧两种情况，求出的长为3或5． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且, ∴， ∴， ∴， 当点在点左侧时，同理可得， ∴， 综上所述，的长为3或5． 【点睛】通过辅助线构造全等，把旋转条件转化为边的等量关系，再结合分类讨论避免漏解． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 按要求完成各题 （1）计算∶ （2）化简∶ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别根据零指数幂法则、二次根式化简规则、绝对值的性质化简每一项，再合并同类二次根式完成实数混合运算； （2）先用完全平方公式展开完全平方式，借助平方差公式计算多项式乘积，去掉括号后合并同类项化简整式． 【小问1详解】 解∶ 【小问2详解】 解： ． 17. 为培养学生的科技创新能力，某中学利用本地科创资源，举办了“机器人迷宫编程挑战赛”．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从八、九年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成迷宫任务的时间(单位：秒，用时越短成绩越好)，时间用表示，并分为三组∶A． (优秀)，B． (良好)，C． (合格)．下面给出了部分信息如下： 八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：41，45，46，46． 九年级10个小组的完成时间∶34，39，40，42，47，47，47，48，50，51． 年级 平均数 中位数 众数 八年级 44.5 46 九年级 44.5 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空∶ ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生在此次比赛中表现得更好？请说明理由． （3）若该校八年级有 50个小组，九年级有40个小组，请估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有多少个？ 【答案】（1）43，47，40 （2）八年级学生在此次比赛中的表现更好．理由：八年级学生完成任务时间的中位数43小于九年级的中位数47，说明八年级成绩在中间水平的小组用时更短 （3）32个 【解析】 【分析】（1）由C组占比算出C组数量，结合已知B组数据，把八年级10个数据排序，取中间两数平均数得中位数；统计九年级数据里出现次数最多的数，即为众数；用整体1减去C、B两组所占百分比，算出A组占比； （2）平均数相同，对比中位数，中位数数值越小代表平均用时越短，据此判断优劣； （3）分别算出八、九年级样本中优秀小组占比，用年级总组数乘对应优秀占比，两部分相加得到预估总数． 【小问1详解】 解：∵八年级C组有: (个)， ∴把八年级被抽取的 10个小组的完成时间按从小到大(或从大到小)的顺序排列，排在中间的两个数分别为41，45， ∴中位数； ∵在九年级被抽取的 10个小组的完成时间中，47出现的次数最多， ∴众数； ∵ ， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 (个)， 答：估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有32个． 18. 如图，在四边形中， ，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于．过点作 轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式． （2）用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．(不写作法，保留作图痕迹) （3）在（）的条件下，求证∶四边形是菱形． 【答案】（1） （2） 所作图形如下图所示： （3） 证明∶如图，连接． ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（）先利用坐标待定系数求出直线解析式，结合长度确定点横坐标后代入直线式得点坐标，再将点坐标代入反比例函数求出，得到反比例函数解析式； （）依据线段垂直平分线的标准尺规画法，分别以为圆心画弧作出的垂直平分线，找到该直线与的交点，再连接对应线段完成作图； （）利用平行线得等角，结合中垂线证三角形全等，得出对角线互相平分判定平行四边形，再由中垂线得邻边相等证菱形． 【小问1详解】 解∶设直线的解析式为， 将代入得 解得 ∴ ∵， ∴把(在第二象限)代入 ，得， ∴点坐标为． 把代入， 得 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 分别以、为圆心，取大于的长度为半径画弧，两弧在两侧交于两点，过两点作直线，即为的垂直平分线，交于后连接即可． 【小问3详解】 略 19. 如图，是⊙O的直径，点C在上，D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接，，． （1）求证∶是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1）证明∶连接，，交于点F． ∵，D为的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴． ∵． ∴． ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用垂径定理，由是中点，得；再由，推出；结合是半径，根据切线判定定理得证． （2）先在中用勾股定理求，再用面积法求高；接着用勾股定理求，进而算出；再在中求；最后由弧中点性质，得，从而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点D作于点H， ∵在中，，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． 20. 中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术品，明清时期达到鼎盛．某厂编织的中国结有A，B两个款型，若编织5个A款中国结和4个B款中国结，则一共用绳32米；若编织3个A款中国结和 8个B款中国结，则一共用绳 36米． （1）该厂编织一个A款中国结和B款中国结分别需用绳多少米？ （2）该厂计划用不超过1300米的绳子编织350个这种中国结，一个A款的利润为 12元，一个B款的利润为8元．当编织多少个A款中国结时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）编织一个A款中国结需用绳4米，编织一个B款中国结需用绳3米 （2）编织A款中国结250个时，总利润最大，最大利润为3800元 【解析】 【分析】（1）设A、B单款用绳分别为、米，依托两组绳长条件列二元一次方程组，解方程得到单款用绳米数； （2）设A款个，则B款个，由总绳长限制列不等式，求出取值上限；列出总利润一次函数，因一次项系数为正，取最大值时利润最大． 【小问1详解】 解：设编织一个A款中国结需用绳米，编织一个B款中国结需用绳米， 由题意可得 ：， 解得， 答：编织一个A款中国结需用绳4米，编织一个B款中国结需用绳3米； 【小问2详解】 设编织A款中国结个，则B款中国结个，总利润为元， 由题意得，解得， ， ∵， ∴随着的增大而增大， 故当时，有最大值，此时最大值为， 答：编织A款中国结250个时，总利润最大，最大利润为3800元． 21. 为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】通过延长信号杆与地面相交构造两个直角三角形，先在含山坡倾角的直角三角形中求出相关边长，再利用仰角的等腰直角三角形性质求出对应高，两高相减得到信号杆的高度． 【详解】解：延长交水平线于点，可得（为竖直信号杆，为水平地面），因此和均为直角三角形， 在中：米，， 根据三角函数定义：， ， 在中：，， ∴， ∴． 22. 已知抛物线 (b为常数)经过点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）当 时， ，求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点 若 ，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式得到关于b的方程求解即可； （2）结合二次函数的图像和性质求解即可； （3）利用二次函数的对称性以及图像和性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，抛物线 (b为常数)经过点， ∴，解得：， ． 【小问2详解】 解：如图：∵，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴当时，，而当或2时，， ∴由图像可得，当时，， ∵， ∴k的最大值为2． 【小问3详解】 解：∵过点B与x轴平行的直线交抛物线于点， ∴点和点关于对称轴为直线对称， ，即， ∴，即． ∵，且当时，y随x的增大而减小， ∴当时，；时，． ∴t的取值范围是． 23. 如图，在 ，是平面内一点，满足． （1）延长交直线于点，过点作 交直线于点(如图)，若，且，求的长． （2）延长交直线于点，过点作交直线于点(如图)，若，连接，求证∶． （3）如图，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接． 若，当最小时，直接写出 的面积． 【答案】（1） （2）证明∶如图，过点作于点，交于点． ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， ∴，在和中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】先证，结合得，由等腰直角求出，再用减得到； 先用证得，推出；再证得；最后证，证出； 由旋转证，得，可知在垂直平分线上；根据垂线段最短找到最小值，再计算面积． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 设垂足为，当时，的值最小． 如图，设交于点， ∵在 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级模拟监测（二） 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．写在试卷上的答案无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 2.12122 B. C. D. 2. 正六棱柱是一种立方体，底面为正六边形且六个侧棱均与底面垂直．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年8月2日至5日，一场关于量子计算的前沿技术研讨会将在深圳举行．据悉，2025年我国在量子计算领域的科研投入至少达数百亿元级别，其中国家财政支持超200亿元，社会资本快速跟进，形成了“国家引导+市场驱动”的双轮发展格局．用科学记数法表示数据“200亿”为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 5. 折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、精巧的设计，可快速拆装，采用镁合金等特殊轻材质制成，重量极轻．图1为折叠电动车的实物图，图2为示意图，为支架，为车轮，点、B、E共线．已知，，则度数是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（ ） A. B. C. D. 7. 下列一元二次方程有两个互为倒数的实数根的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 9. 把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形就是原三角形的中点三角形，如图，是等边三角形的中点三角形，是的中点三角形，…依此类推，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线交于点G，若点的坐标分别为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 请写出一个系数为且次数为5的单项式________. 12. 不等式组的解集为_______． 13. 河南古代书院文化兴盛，应天府书院(商丘)、嵩阳书院(登封)、伊川书院(洛阳)、百泉书院(辉县)是其中较有代表性的四所．现从这四所书院中随机选取两所进行传统文化研学，则选中的恰好是伊川书院和嵩阳书院的概率是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径作弧交轴的正半轴于点，过点作轴的垂线交弧于点，则图中阴影部分的面积为_______． 15. 如图，在中，，，点在射线上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交于点．若 则的长为____________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 按要求完成各题 （1）计算∶ （2）化简∶ 17. 为培养学生的科技创新能力，某中学利用本地科创资源，举办了“机器人迷宫编程挑战赛”．为评估不同年级学生的编程与逻辑思维水平，从八、九年级各随机抽取10个小组参赛，记录其机器人完成迷宫任务的时间(单位：秒，用时越短成绩越好)，时间用表示，并分为三组∶A． (优秀)，B． (良好)，C． (合格)．下面给出了部分信息如下： 八年级10个小组的完成时间在B组中的数据是：41，45，46，46． 九年级10个小组的完成时间∶34，39，40，42，47，47，47，48，50，51． 年级 平均数 中位数 众数 八年级 44.5 46 九年级 44.5 47 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空∶ ， ， ． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生在此次比赛中表现得更好？请说明理由． （3）若该校八年级有 50个小组，九年级有40个小组，请估计两个年级的完成时间为“优秀”的小组总共有多少个？ 18. 如图，在四边形中， ，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于．过点作 轴于点，已知． （1）求反比例函数的解析式． （2）用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．(不写作法，保留作图痕迹) （3）在（）的条件下，求证∶四边形是菱形． 19. 如图，是⊙O的直径，点C在上，D为的中点，过点D作，交的延长线于点E，连接，，． （1）求证∶是的切线； （2）若的半径为3，，求的长． 20. 中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术品，明清时期达到鼎盛．某厂编织的中国结有A，B两个款型，若编织5个A款中国结和4个B款中国结，则一共用绳32米；若编织3个A款中国结和 8个B款中国结，则一共用绳 36米． （1）该厂编织一个A款中国结和B款中国结分别需用绳多少米？ （2）该厂计划用不超过1300米的绳子编织350个这种中国结，一个A款的利润为 12元，一个B款的利润为8元．当编织多少个A款中国结时总利润最大？最大利润是多少？ 21. 为了参加数学课的综合与实践小组活动，几位同学在周末前往本地公园山坡上测量一个信号杆的高度．测量示意图如图所示，山坡的倾斜角等于，当太阳的仰角是时，信号杆在山坡上的影子的长是米，求信号杆的高．（精确到）（参考数据：，，） 22. 已知抛物线 (b为常数)经过点． （1）求抛物线对应的函数表达式． （2）当 时， ，求k的最大值． （3）过点B与x轴平行的直线交抛物线于点 若 ，求t的取值范围． 23. 如图，在 ，是平面内一点，满足． （1）延长交直线于点，过点作 交直线于点(如图)，若，且，求的长． （2）延长交直线于点，过点作交直线于点(如图)，若，连接，求证∶． （3）如图，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接． 若，当最小时，直接写出 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $