2026年中考数学二轮复习备考 圆--圆与解三角形、相似综合（解答题） 高频考点归纳 专项练

圆-圆与解三角形、相似综合（解答题）高频考点归纳 专项练2026年数学中考二轮复习备考 1.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且AB=8,CD=I0,动点P是AB延长线上 一点，CP交⊙O于点Q,连接AQ交CD于点F. 公 E B D (I)当Q是弧BC的中点时，求证：AQ=PO: (②)在第一问的条件下，设BP=x,DF=y,请写出y关于x的函数表达式，并说明理由. 2.如图，AC是OO的直径，PA是⊙O的切线，点B在⊙0上，且PA=PB,连接PC交弦 AB于点E. C B (1)求证：PB是O0的切线； ☒若∠PC=i∠3rc,求器的值 3.如图，AB是OO的直径，△ABD内接于OO,取AD的中点C,连接CD、CB,过点 C作CF∥AD,交BD的延长线于点F,且CD=6,CB=8. E B (①)判断CF与⊙0的位置关系，并说明理由： (2)求cos∠BAD的值. 4.如图，四边形ABCD内接于OO,AB为O0的直径，点D为AC的中点，过点D的直 线1交BA的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠BNM=90°. B M D (I)求证：MW是O0的切线； ②当4B=6,血∠DCA=5时，求AM的长. 3 5,如图，AB是⊙0的直径，点E,F是O0上的点且位于直径AB的两侧（点E位于左侧）， 连接AE,AF,过点B作OO的切线BC分别交AE,AF的延长线于点C,D,若CA=CD B (I)求证：AF=EF; ②若CD=10,a∠4PE=},求D的长 6.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点D为圆心、DC为半径作弧AC,点E在AB 上，且与A、B两点均不重合，点M在AD上，且ME=MD,过点E作EF⊥ME,交BC于 点F,连接DE、MF. D A E (1)求证：EF是弧AC所在⊙D的切线； ②当M时，求MP的长. 7.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是oO的直径，AE⊥CD于点E,AD平分∠BDE. (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)如果AB=6,AE=3,求：阴影部分面积. B A DE 8.如图，在⊙0中，AB是OO直径，AB=8,过AO的中点E作AB的垂线交⊙0于点C和 点D,P是BC上一动点.连接PA,PB,PC,PD. 4 O D (1)求Ac的长度； (②)过点B作圆的切线交线段AP的延长线于点F,求证：FB2=FA·FP 9.如图1，以△ABE的AB边为直径作OO,交AE于点C,交BE于点M,连接CM,AM ，MC=MB=2,AM=4. B M B 图1 图2 (I)判断△ABE的形状，并证明； (②)如图2，过点A作O0的切线交CM的延长线于点F,连接EF,若∠BEF=90°，求CF的 长. 10.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，延长CA至点D,以AD为直径的O0交BA的延长线于 点E,过点E作OO的切线交BC的延长线于点F. D (I)求证：BF=EF; (2)若OA=AB=5,BE=13,求BF的长. 11.【概念呈现】如图1，在ABC中，若∠A是钝角，且∠A=∠B+90°，则称ABC为和 谐三角形，∠B叫做ABC的和谐角. 【概念理解】 (1)根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念，完成下列问题： ①在如图1的和谐三角形ABC中，若LA=110°，∠B是ABC的和谐角，则∠B= ②若和谐三角形是等腰三角形时，则该和谐三角形的和谐角的度数为 【性质探究】 (2)爱探索思考的小强根据【概念呈现】中“和谐三角形”的概念发现：在如图1的和谐三 角形4C市，者∠1是钝角。∠B是4C的和谐角，则存在amB-C的结论，瑞同样 爱探索思考的你证明小强的结论； 【拓展应用】 (3)如图2，Rt△ABC是⊙0的内接三角形，LACB=90°，AB=10,BC=6,点P是边AB上 一点，连接CP并延长交O0于点D.问根据【概念呈现】中“和谐三角形的概念，是否存 在△ACP是和谐三角形？若存在，请直接写出弦CD的长；若不存在，请说明理由. B 图1 图2 备用图 12.如图，点O在矩形ABCD的对角线AC上，OO经过点C,且与AC,CD分别交于点E ,F,且∠DAF=∠BAC. B A 0 D (1)求证：直线4AF与⊙0相切； (2)若tan∠DAF= √2 AB=4,求O0的半径， 2 13.如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙0与AB相切 于点E,与AC相交于点F,与CD相交于点G. D E 0 (图1) (图2) (1)求证：AD与⊙0相切； (②)若正方形ABCD的边长为V +1,求弦CG的长； (3)如图2，在(2)的条件下，若点M是半径0C上的一动点，过点M作MN⊥OC交⊙0于 点N.当CN=25时，求FM的长」 5 参考答案 1.(1)见解析 (2)y=40+2x 理由见解析 4+x (1)连接DQ,易证∠P=∠CDQ,由CQ=BQ易得∠CAQ=∠BAQ=∠CDQ,进而即可得 证； (2)连接OA,易求得0E=3,CE=8,PE=4+x,EF=y-2证△AEF∽△PEC,得到 y-2=32 进而求出CF和DF,即可得解. 4+x (1)证明：如图所示，连接D9, CD为直径， R E D ∠CQD=90°， .∠PCD+∠CDQ=90°， :AB⊥CD, .∠CEP=90°， .∠PCD+∠P=90°， .∠P=∠CDQ, :Q是Bc的中点， :Co=BO, .∠CAQ=∠BAQ=∠CDQ, ∠BAQ=∠P, .AO=PO; 40+2x (2)解：y= ,理由如下： 4+x 如图所示，连接OA, 0 :CD⊥AB,AB=8, F E B D 4B=4, 1 :AE BE :CD=10,且CD为直径， .0A=0D=5, 在Rt△A0E中，OE=VOA2-AE2=3, DE=0D-0E=2,CE=0C+0E=8, :BP=x, .PE BE BP=4+x, EF DF-DE,DF=y, .EF=y-2, ·∠PAQ=∠P,∠AEF=∠PEC, △AEF∽△PEC, :AE、EF PE EC 4=y-2 4+x8, 解得y-2=32 41即￥=32+8+2x-40+2 4+x 4+x 本题主要考查了相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的定义，同弧 所对的圆周角相等等，熟知圆的相关知识和相似三角形的性质与判定定理是解题的关键。 2.(1)见解析 (27-1 4 本题主要考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，切线长定理，线段垂直平分 线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质等知识点，解题的 关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用， (1)利用切线的性质得出∠PA0=90°，然后证明△PA0≌△PB0,利用全等三角形的性质 即可证明； (2)根据切线长定理得出OP垂直平分线段AB,根据三角形中位线的性质设OK=a,则 BC=2a,根据相等的角得出BC=PB=PA=2a,然后利用相似三角形的性质即可求解. (1)证明：如图，连接OP,OB. A ≥PPA是O0的切线， E C B PA⊥0A, ∠PA0=90°， PA=PB,PO=PO,OA=0B, △PAO≌△PBO(SSS). .∠PA0=∠PB0=90°， PB⊥OB, PB是⊙O的切线； （2)解： 设OP交AB于K. :AC是直径， :AB⊥BC, PA、PB都是切线， PA=PB,∠APO=∠BPO, :0A=0B, ∴.OP垂直平分线段AB, OK∥BC,AK=BK, :BC=20K,设0K=a,则BC=2a, :∠APC=3∠BPC,∠APO=∠OPB, :∠OPC=∠BPC=∠PCB, :BC=PB=PA=2a, 由直角和公共角易得△PAK∽△POA, ,PA2=PK·PO,设PK=x, .(2a2=x(x+a, 整理得，x2+ax-4a2=0, 解得，x=7-1 a(舍负根)， ..PK= 7-1 2 -a, :PK∥BC, ..PE-PK7-1 CE BC 4 3.(1)CF是⊙0的切线，理由见解析 四器 本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，垂径定理以及求锐 角的余弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键； (1)连接CO,证明CF⊥C0,即可得出结论； (2)连接C0,设OC,AD交于点G,由(1)可得四边形CGDF是矩形，则 CF=GD-方4D,证明得出：E48nDCB得出点-}，证明△CDE-△4E得出CE 2 证明△BDE∽△BCF得出 DE,进而得型柜5，设AE3，则AB=4,求得 D三，进而根据余弦的定义，即可求解 (1)解：CF是O0的切线，理由如下， 如图，连接C0, E :点C是AD的中点 C0⊥AD, :AB是O0的直径， .BF⊥AD .CO∥BF :CF∥AD, .BF⊥CF .CF⊥C0, 又：C0是圆的半径， .CF是⊙0的切线， (2)解：如图，连接C0,设0C,AD交于点G D E 由(1)可得∠CGD=∠GCF=∠F=90° 则四边形CGDF是矩形， :CF=GD=LAD, 2 BD=BD .∠BCD=∠BAE 又：点C是AD的中点 :AC=CD .∠EBA=∠DBC .△EABADCB CD_CB AE AB .CD=6,CB=8. 68 AE AB 即福 又：∠BCD=∠BAD,∠ADC=∠ABC ∴.△CDE-△ABE CD=CE,即C5=4E=3 AB AE' CD AB 4 CD=6 -9 .BE BC-CE=8- 97 2-21 :AD⊥FB,CF⊥FB ED∥CF .△BDE∽△BCF 华-器 7 DE=2=7 C℉816 2CFAD32,设DE=7a,AD=32a,则AE=25a DEDE T DE 7 AE25 1三=3，设AE=3k，则AB=4k 3k=25a,a= 3k 25 AD=96k 25 .0s4=AD25k24 AB 4k 25 4.(1)见解析 (2)6 (1)连接OD交AC于点H,如图.证明OD⊥AC,可得∠AH0=90°.证明AC∥MN, 进一步解答即可： (2)连接OD交AC于点H,连接BD,知图，证明sin∠ABD=sin∠ACD= 3 .求解 AD=4B.sin∠ABD=2√5，BD=2V6.证明△MAD∽△MDB,可得 AD AM MD 1 BD-MD-MB2·MD=V2AM,MD2=AMMB.设AM=x,则2r2=xx+6), 再进一步解答即可. (1)证明：连接0D交AC于点H,如图 B M :点D为AC的中点， :AD=CD. OD⊥AC, ∠AH0=90°. :AB为圆O的直径， .∠ACB=90°. :∠BNM=90°， .AC∥MN, .∠MD0=∠AH0=90°. OD⊥MN, 又0D是圆O的半径， MN是圆O的切线. (2)解：连接OD交AC于点H,连接BD,如图， B M :∠ABD=∠ACD,∠ADB=90°， .sin∠ABD=sin∠ACD= 6 3 AB=6, ·AD=4B.sin∠ABD=6x =25, 3 :BD=AB2-AD2=26. :点D为Ac的中点， ∴AD=CD, :ZACD=ZCAD :∠ACD=∠ABD, .∠CAD=∠ABD. :AC∥MN, ∠CAD=LADM. .∠ABD=∠ADM. 又：∠M=∠M, .△MAD∽△MDB. AD AM MD 1 ·BD=MD=MB=2· MD=√2AM,MD2=AM·MB. 设AM=x,则2x2=xx+6). 解得x=6(不符合题意的根舍去). .AM=6. 本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的 应用，作出合适的辅助线是解本题的关键 5.(1)证明见解析 (2)2 (1)先证∠D+∠DBF=90°，∠ABF+∠DBF=90°，可得∠D=∠ABF,进而导角可得 ∠AEF=∠CAD,即可得证； (2)证△AEFo△ADC,得an∠C=an∠AFE=4,据此求解即可. 3 (1)证明：如图，连接BF, .CA=CD, D :ZCAD ZD :AB是OO的直径， ∠AEB=∠AFB=90°， LCEB=∠DFB=90°， .∠D+∠DBF=90°， :BC与OO相切于点B, AB⊥CD, .∠ABC=∠ABD=90°， .∠ABF+∠DBF=90°， ∠D=∠ABF, 又：∠CAD=∠D, :∠CAD=∠ABF, :∠AEF与∠ABF所对的弧是同弧， LAEF=∠ABF, :∠AEF=∠CAD, :AF EF (2)解：由(1)可得：∠D=∠CAD=∠AEF, 又∠EAF=∠DAC, :△AEF∽△ADC, LC=∠AFE, 3 :tan∠C=tan∠AFE= :CA=CD=10, 在Rt△ABC中， 设：AB=3x,BC=4x,则：AC=5x=10, x=2, BC=8, .BD=CD-BC=10-8=2. 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容， 熟练掌握相关知识是解题的关键. 6.(1)见解析 ②wr-若 本题考查切线的判定，全等三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，综 合运用相关知识是解题的关键。 (I)过点D作DG⊥EF于点G,则LDGE=∠DAE,由EF⊥ME,得到 ∠MED+∠DEG=90°，由ME=MD,得到∠MDE=∠MED,因此∠MED+∠AED=90°， 从而∠DEG=∠DEA,进而证得ADE≌ADE(AAS,得到AD=GD,得证结论； (②)由M-果求出ME=MD=AD-MA=在a4ME巾，AE=ME-AM=2, 0.求出10 BE=B-AE=2,证明△AMEBEF,得到-C, ，根据勾股定理在 RtAMEF中即可求解. (1)证明：过点D作DG⊥EF于点G, D G A E B .∠DGE=90°， :在正方形ABCD中，∠DAB=90°， .∠DGE=∠DAE, :EF⊥ME, LMEF=90°，即∠MED+∠DEG=90°， ME =MD, .∠MDE=∠MED, :∠ADE+∠AED=180°-∠DAB=90°， .∠MED+∠AED=90°， .∠DEG=∠DEA, .DE=DE, ADE≌ADE(AAS .AD=GD, .EF是AC所在圆D的切线， ②)解：M=号AME=MD=D-M=4 35 22 .在Rt△AME中，AE=VME2-AM .BE=AB-AE=4-2=2. .·∠AEM+∠BEF=180°-∠MEF=90°， ∠AEM+∠AME=180°-∠MAE=90°， ·.∠BEF=∠AME, :∠MAE=∠B=90°， ∴.△AME∽aBEF, .MA ME 3 5 EB EF 即2-2 2 EF :EF=10 在RtAMEF中，MF=VME2+EF2 7.(1)见解析(2)4π-6√5 (1)连接OA,利用己知首先得出OADE,进而证明OALAE就能得到AE是⊙O的切线： (2)通过证明△BAD~△AED,再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长，解直角 三角形即可得到结论. (1)证明：连接OA, .OA=OD, .∠1=∠2 DA平分∠BDE, :∠2=∠3 .∠1=∠3. ..OAlDE. :.∠OAE+∠AED=180°， :AE⊥CD, .∠AED=90°， .∠OAE=90°， 即OA1AE 又：点A在⊙0上， AE是⊙O的切线； (2)解：BD是⊙O的直径， .∠BAD=90° :∠AED=90°， ∴.∠BAD=∠AED, 又：∠2=∠3， ∴.△BADD△AED :BD、BM ·ADAE .BA=6,AE=3, .BD=2AD, .∠ABD=30°， .∠AOD=60°， 由c0s30°=AB BD :BD=45, 延长AO交BC于H, 则四边形AHCE是矩形， .∠AHC=90°，CH=AE=3, .BC=2CH=6, cos∠CBD= BC 63 BD4W5=2, .∠CBD=30°， .∠COD=∠AOD=60°，CD=2V3, 由阴影部分面积=S扇形4oc-S.coD-S。4op ·阴影部分面积=60π×25 360 x2-2x*25x3=4-65 B H X3 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 平行线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键 &0智 (2)见解析 此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定相似三角形的判定和性质. (1)连接0C,AC,根据等边三角形的判定得出：△AC0是等边三角形，求出AC的圆心 角度数，进而根据弧长公式求出AC的长度， (2)根据相似三角形的判定得出△FBP∽△FAB,再由其性质证明即可. (1)解：连接0C,AC, :CE垂直平分A0, E D :AC=0C, 又：0A=0C, :△AC0是等边三角形， :∠A0C=60°， 又：AB=8, 0-4B=4 2.= 60元.44π 1803 (2)AB是⊙0的直径， ∠APB=90°， :∠FPB=180°-∠APB=90°， :BF是OO的切线， FB⊥AB于B点， ∠FBA=∠FPB=90°， :∠F=∠F, △FBP∽△FAB, FB FP FA FB :FB2=FA·FP· 9.(I)△ABE是等腰三角形，理由见解析 (2)C℉=4 3 该题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解 题的关键是掌握以上知识点， (1)根据MC=MB,得出∠BAM=∠CAM,根据圆周角定理得出∠AMB=90°， ∠AME=90°，证出∠ABE=∠AEB,即可得AB=AE,即△ABE是等腰三角形. （2)由(1)得△ABE是等腰三角形，AM⊥BE,利用勾股定理求得AE=2√5，证明 aCEM∽aBEA,求得CE=45, AC-65,再证明△AMC△EFC,利用相似三角形的 5 5 性质列式计算，即可求解。 (1)解：△ABE是等腰三角形， 理由如下： MC=MB, 六MC=MB, ∠BAM=∠CAM, AB是OO的直径， ∠AMB=90°， .∠AME=180°-90°=90°， LABE+LBAM=90°，∠AEB+LCAM=90°， .∠ABE=∠AEB, AB=AE,即△ABE是等腰三角形； (2)解：由(1)得△ABE是等腰三角形，AM⊥BE, :.EM BM =2, AM=4, AB=AE=V22+42=2V5, ~四边形ABMC是圆内接四边形， ∴LECM=∠B, ∠CEM=∠BEA, aCEM∽△BEA, EM CE 2 CE AE BE 2√52+2， CE=45 ·AC=AE-CE=6 5 ∠BEF=90°，∠AMB=90°， AM∥EF, ∴.△AMC∽△EFC, 65 .AC_CM CECF，即， 2 4v5 CF' 5 C℉=4 10.(1)见解析 (2)BF=65 6 本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，垂径定理，全等三角形的判定与性质以及勾股 定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键. (1)连接OE,根据0E=OA,可得LOEA=∠OAE,由LCAB=L0AE得LOEA=∠CAB, 由切线的性质和垂直的定义可得∠OEA+∠BEF=90°，∠B+∠CAB=90°，故可得 ∠B=∠BEF,从而可证明BF=EF; (2)连接0F,DE,由勾股定理得出DE=6,证明△ABC∽△ADE,求出AC=4,BC=3 ,得OC=OA+AC=9;设BF=EF=x,即FC=BF-BC=x-3,在Rt△OEF和Rt△OCF中， 有0F2=0E2+EF2,OF2=0C2+CF2,即52+x2=92+(x-32,解方程即可求解. (1)证明：连接OE,如图， :0E=0A, .∠OEA=∠OAE, 又∠CAB=∠OAE, .∠OEA=LCAB, :EF是OO的切线， .OE⊥EF, .∠0EF=90°， LOEA+LAEF=90°， :∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， L0EA+∠B=90°， .∠B=∠BEF, :BF=EF; (2)解：连接OF,DE,如图， :AB是直径， .∠AED=90°， :BE=13,OA=AB=5, AE=BE-AB=13-5=8,AD=10, 由勾股定理得，DE=√AD2-AE2=6, :∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD, △ABC∽△ADE, :4C-e-42,即4cC5 ·AE DE AD 8=610 AC=4,BC=3, .0C=0A+AC=9, 设BF=EF=x,即FC=BF-BC=x-3, 在Rt△OEF中，有OF2=OE2+EF2, 在Rt△0CF中，有OF2=OC2+CF2, .OE2+EF2=OC2+CF2 即52+x2=92+(x-3)2, 解得：x=5 6 :BF=65 6 1.(1)①20°：②30，(2)见解析，(3)CD=234或CD=225 25 5 (1)①直接根据新定义，进行求解即可；②根据题意，得到∠A为等腰三角形的顶角，根 据等边对等角，结合新定义和三角形的内角和定理，得到180°-2∠B=∠B+90°，进行求解 即可； C②》作D114B,交BC于点D,则∠84D=90,mB-0,根据新定义结合角的和差 关系得到∠B=LCAD,证明△CAD∽△CBA,进而得到AD=4C ,即可得证； AB BC (3)分LAPC=90°+∠ACP和LAPC=90°+∠CAP,两种情况，进行讨论求解即可. 解：(1)①由题意，得：∠A=∠B+90°， .∠B=110°-90°=20°； ②由题意，∠A=∠B+90°，∠B=C,∠A+LB+∠C=180°， 180°-2∠B=∠B+90°， .∠B=30°； (2)作DA1AB,交BC于点D,则：∠BAD=90°，anB=4D AB D 图1 ∠BAC是钝角，∠B是ABC的和谐角， ∠BAC=∠B+90°， 又：∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°+LCAD, .∠B=∠CAD, :∠C=∠C, .△CAD∽△CBA, :.AD_AC AB BC tanB=AD、AC AB BC (3)存在； :AB为直径， .∠ACB=90°， AC=AB2-BC2=8, 若△ACP是和谐三角形，则∠APC为钝角， ①当∠APC=90°+∠CAP时，连接AD,作CF⊥AB, B D 图2 由(2)可知：tan∠CAP=C C 又：tan∠CAp= BC AC .CP=BC=6, :ZCPB ZB, :∠D=∠B,∠CPB=∠APD, .∠D=∠APD, .AP AD, :CF⊥AB,∠ACB=90°， ACAB,os∠BAC=45=4C4 :sin LBAC=CF-BC_3 AC AB 5 5 5 5 在Rt△CFP中，由勾股定理，得：PF=√PC2-CF=18 .AD=AP=AF-PF=32_18_14 555 BP=4B-AP=36, :∠D=∠B,∠APD=∠BPC, .AADPACBP 14 DP AD BP BC ,即：36 5 6 5 ·DP=84 5 CD=CP+DP=234」 25 ②当∠APC=90°+∠ACP时，连接AD,BD,作DH⊥AB,如图，则：∠ACP=∠ABD, ∠ADB=90°， H P/ 0 备用图 :∠APC=∠BPD, :LBPD=90°+LPBD,即：△BDP为和谐三角形，∠PBD为△BDP的和谐角， DP AD .tan∠PBD= BDBD .DP=AD ∠DAP=∠APD, :∠DAP=∠PCB,∠APD=∠BPC, .∠PCB=∠BPC, .PB=BC=6, .AP AB-BP=4, :DH⊥AB, .AH HP=2, :cos∠BDA=AH-AD AD AB .AD2=AH·AB=2×10=20, AD=25, DP=AD=25, :∠DAP=∠PCB,∠APD=∠BPC, .△APD∽△CPB, :4P-4D-255 CP BC 6 3 ·CP=3 AP=125 5 5 CD=DP+CP=2V5+125_225 55 综上：cD=234或225 25 5 本题考查圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练 掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键， 12.(1)详见解析 ②00的半径为6 2 本题考查了解直角三角形、勾股定理、切线的判定定理，根据题意添加合适的辅助线是解题 的关键。 (1)连接0F,由己知条件易证∠0CF=∠0FC,∠B=∠D=∠DCB=90°由此可得 ∠AFD=∠ACB,结合∠ACB+∠ACD=90°，可得∠AFD+∠OFC=90°从而可得 ∠AF0=90°，由此可得0F⊥AF,从而可得直线AF与⊙0相切； (2)根据同角的正切值相等及正切的概念可求得BC的值，再根据勾股定理可求得AC的值， 在Rt△AFD中，根据正切的概念可求得AF的值；设⊙O的半径为r,在Rt AFO中，根据 勾股定理建立方程，解方程即可求得的值. (1)解：连接0F. B A .OC=OF, .∠0CF=L0FC. :四边形ABCD是矩形， .∠B=∠D=∠DCB=90°，BC=AD. :∠DAF=∠BAC, .∠AFD=LACB. :∠ACB+∠ACD=90°， .∠AFD+∠0FC=90°. ∠AF0=90°，即0F1AF. .直线AF与00相切： (2)解：an∠DA= ,∠DAF=∠BAC, 2 tan∠BAC= BC2 AB 2 :AB=4, ·BC=AD=22. 在RtA AFD中，DF=AD:an∠D4F=2V2×2 2 =2 AF=√AD2+DF2=2V5, 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC=√AB2+BC2=2√6： 设00的半径为r 在RtAF0中，由勾股定理得(26-r=2+12 解得，6 00的半径为V6 13.(1)证明见解析 (2)V2 o (1)连结OE,过O作OH⊥AD,垂足为H,根据切线的性质OE⊥AE,根据正方形的性 质和等边对等角可求出∠BAC=45°，进而求出∠E0A=45°，根据等角对等边得出AE=E0 ,则可得出四边形AEOH为正方形，得出OH=OE=r,然后根据切线的判断即可得证； (2)延长E0交CD于点K,证明0K⊥CG,可求出∠0CK=∠EA0=45°，根据等角对 等边和垂径定理可得出OK=CG,根据勾股定理求出OK=20C,令E0=0C:,则 2 2=1+√2，解方程，即可求解： )连结PN,证明ANCMAFCN,可求出MC,即可 (1)证明：连结OE,过O作OH⊥AD,垂足为H, H D G :O0与AB相切于点E, B ·OE⊥AE, :正方形ABCD, ∠EAD=∠B=90°，AB=BC, ∠BAC=45°， :∠E0A=45°， :AE EO, :四边形AEOH为正方形， 0H=0E=r, .AD与O0相切： (2)解：延长EO交CD于点K, H G 正方形ABCD, .ABI CD, :∠0KD=180°-∠AE0=180°-90°=90°， OK⊥CG, ∠0CK=∠EA0=45°， OK=CG, 2 :在RaCK0中，OK=5OC, 2 令E0=0C=r, ∴.r+ -r=1+ 2 2 .r=1, ∴.CG=20K=V2; (3)解：连结FN, D G N:FC为直径， M B .∠FNC=90°，FC=2, :NM⊥FC, LNMC=90°， 又：∠NCM=∠FCN, 在△NCM与△FCN中， [∠NCM=∠FCN ∠WMC=∠FNC' .△NCM∽△FCN, :.NC_CM FC CN NC2 =CM.FC, 25)2 5 ∴.MC= 2· 2 5 .FM=2- 28 551 本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径 定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键.