解答题中有关圆的证明与计算题高频考点预测练2026年初中数学中考二轮复习备考

**基本信息** 这份圆的证明与计算专题练习，通过16道解答题的两问分层设计，实现从切线证明、角度计算等基础考点到综合计算、动态问题的能力进阶，强化逻辑推理与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|切线判定、圆周角定理、直径性质|单一知识点证明（如第1(1)切线证明）| |提升层|相似三角形、勾股定理、动态几何|多知识点综合计算（如第3(2)求半径）|

解答题中有关圆的证明与计算题高频考点预测练 1.如图，AB为⊙O的弦，OA⊥OC,AB与OC相交于点D,∠C=2∠A. (1)求证：BC是⊙O的切线： (②考an∠A=克BC=8,求0D的长。 2.如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，D为BC的中点，连接AD交BC 于点P,连接BD,CD,过点D作DE⊥AC交其延长线于点E. (1)若∠BAD=35,求∠ABD的度数： (2)求证：DE为⊙O的切线， 3.如图，四边形ABEF内接于⊙O,延长AF,BE交于点C,点M是AB的中点，连接 ME交AB于点H,且EF=EC, (I)求证：AB=AC: 回当M,0.E三点共线时，若AB-6,sinC= ,求⊙O的半径. 试卷第1页，共3页 4.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，连接AC,BC,延长CB至点D,且AC=DC, 过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E, D (1)求证：∠E=∠BAD: (2)若D是AE的中点，AD=6,求BD及CE的长 5.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，且AC为直径，∠ABC的角平分线交AC于点 E,交⊙O于点D,交⊙O的切线AP于点P. B (1)求证：AD平分∠CAP: (2)若AC=8,CE=2,求BE的长. 6.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABC=45°.过点O作OD⊥BC交⊙O于点 D,DO的延长线交AB于点F.过点D作⊙O的切线DE,DE与AB的延长线交于点E. E D (1)求证：DE=DF: (2)若⊙O的半径为√29，BC=10,求OF的长. 7.如图，A是⊙O中BC的中点，以A、B、C三点作平行四边形ABCD,延长DC交⊙O 于点E,连接BE. 试卷第2页，共3页 E D (1)证明：AD是⊙O的切线： (2)若⊙O的半径为13，BE=4V13,求平行四边形ABCD的周长. 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E在AB上，连接CE,以CE为直径作⊙O, ⊙O交AC于点D,交BC于点G,过点E作⊙O的切线交BC于点F (1)求证：EG=DC (2)若CD=V3,⊙O的半径为- 5 2,求CF的长 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，以CD为直径作⊙O交BC 于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F.记△BEF的面积为S1,四边形CDFE的面积为S2 (1)求证：直线EF与⊙O相切： 【②)若sinB号，S2=mS1,求m的值 10.如图1和图2，口ABCD中，对角线BD⊥AD,P是AB上一点（不与点A重合）， 以AP为直径作半圆，圆心为点O,交AD于点E. 试卷第3页，共3页 D B 图1 图2 (1)如图1，若半圆与BD相切，点F为切点，连接AF并延长，交CD于点G,求证： DA=DG: (2)如图2，若半圆与BD交于点M,N,且OM⊥ON,BN=2,an∠ABD=3 ①求MN的长； ②连接PE,直接写出MN与PE长的大小关系.（注：π取3.14） 11.如图①、已知⊙O中，AB为⊙O直径，四边形ABDC是⊙O的内接四边形， ∠AED=∠CDE. O B 图① 图② (1)求证：AC‖DE: ()②如图②，连接BC交DE于F,连接AP,若Af I CD,an∠AFC=3 ⊙O的直径 AB=13,求线段AF的长度. 12.如图，在⊙O中，AB为直径，点C在AB上方的半圆上，且点C不与点A,B重合 过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D.过点C作CE⊥AD,垂足为点E.连接AC, OE交于点G. D (备用图) 试卷第4页，共3页 (1)求证：△DAC一△ABC: (②)记△ACE与△ABC的面积分别为s,'S,:若S=9,求CG的值： S225 GA 3)若O0的半径为1，设AC+BC=x,y=是+CD+2G0·CE AE AC EG·DA' 求y关于x的函数解 析式. 13.如图，AB是半圆O的直径，点M位于半径OA上且不与点O、点A重合.以BM为一 边作平行四边形BMCD,且满足点C,D均在半圆O上. D M B (1)连接AC,求证：△AMC是等腰三角形： (2)若点M是OA的中点，平行四边形BMCD的面积为37，求半圆O的半径r 14.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点 D,AE平分∠BAC,交边BC于点E,经过点A,D,E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F 与y轴相交于另一点G. G (1)求证：BC是⊙F的切线： (2)若点A的坐标为0，-4，点D的坐标为8,0，求⊙F的半径； (3)试探究线段AG,AD,CD之间满足的数量关系，并证明. 15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，∠BAC=45°，过点C作 CE‖BD交AB的延长线于点E. 试卷第5页，共3页 (1)求证：CE是⊙O的切线： (2)若BD=4,AB=2,求线段BE,CE和BC围成的阴影部分面积 16.如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径，过点C的直线交AB的延长线于 点E,且∠BCE+∠DAC=∠DBA,点D为ACB的中点. D E (1)求∠DAB的度数： (2)求证：直线CE是⊙O的切线： (3)探究、发现与证明：是否存在常数a,使得等式AB2-2AC·BC=aCD成立？若存在， 请求出Q的值；若不存在，请说明理由. 试卷第6页，共3页 《解答题中有关圆的证明与计算题高频考点预测练2026年初中数学中考二轮复习备考》 参考答案 1.(①)见详解 (2)0D= 3 【分析】(1)连接OB,由题意易得∠A+∠ADO=90°，∠A=∠ABO,则有 2∠A+∠BOC=90°，然后可得∠OBC=90°，进而问题可求证： (2)由(1)可知∠CBD=∠ADO=∠CDB,则有CD=BC=8,由题意可设 OD=X,AO=2x=OB,则OC=OD+CD=X+8,然后根据勾股定理建立方程进行求解 即可. 【详解】(1)证明：连接OB,如图所示： B .OA⊥OC, .∠AOD=90°，即∠A+∠AD0=90°， :∠AD0=∠ABO+∠BOC,, .∠A+∠ABO+∠BOC=90°， ..OB=OA, .∠A=∠ABO: .2∠A+∠BOC=90°， :∠C=2∠A, .∠C+∠BOC=90°，即∠OBC=90°， .OB是⊙O的半径， .BC是⊙O的切线； (2)解：由(1)可知：∠A+∠ADO=90°，∠ABO+∠CBD=90°， ∠A=∠ABO, ∴.∠CBD=∠ADO=∠CDB. .CD=BC=8, 答案第1页，共2页 tan∠A=0D-1 A02设OD=X,A0=2X=0B,则0C=0D+CD=X+8, 在Rt△OBC中，由勾股定理得：4X+82=x+8P, 1 解得：X1= 3xX=0(不符合题意，舍去)， “0D=16 ‘ 2.(1)∠ABD=55° (2)见解析 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°。在Rt△ABD中，已 知∠BAD=35°，可求出∠ABD的度数. (2)连接OD,根据弧中点的性质，可得∠CAD=∠BAD.因为OA=OD,所以 ∠BAD=∠ODA,进而推出∠CAD=∠ODA,所以OD‖AC. 因为DE⊥AC,所以DE⊥OD,根据切线的判定定理，可证DE为OO的切线. 【详解】(1)，AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°」 .∠ABD+∠BAD=90°. ∠BAD=35°， .∠ABD=90°-35°=55° (2)连接OD, :D为BC的中点， ∴.∠BAD=∠CAD 又.OA=OD ∴.∠BAD=∠ODA, 答案第2页，共2页 .∠ODA=∠CAD. ..OD AE :DE⊥AC,即DE⊥AE, .DE⊥OD 又OD是⊙O的半径， ∴.DE为⊙O的切线. 3.(1)见解析 陪 【分析】(1)根据圆内接四边形的性质，结合等边对等角，推出∠ABC=∠C,即可得 出结果； (2)连接BM,根据垂径定理，圆周角定理，分别解直角三角形BHM和直角三角形BME, 即可得出结果 【详解】(1)解：，四边形ABEF内接于⊙O, ∴.∠ABC+∠AFE=180°， 又：∠AFE+∠EFC=180, .∠EFC=∠ABC, .EF=EC .∠C=∠EFC, ∴.∠ABC=∠C, ..AB=AC; (2)解：连接BM,如图， M,O,E三点共线， .ME为⊙O的直径， .∠MBE=90°， .∠ABC+∠ABM=90°， :点M是AB的中点， ∴.OM垂直平分AB, 、AH=BH=AB=3,∠ABM+∠BMH=90°， ∴.∠ABC=∠BMH, 答案第3页，共2页 由(1)知：∠ABC=∠C, ∴.∠BMH=∠C, ∴sin∠BMH=sinC=Bl=BE-4 BM EM5' :BM=5BH=3×2=15, 4 44 设BE=4X,ME=5x则BM=/ME'-BE=3X' 3x=15 1 x=5 4 ·ME=5x=25 ·O0的半径=}ME=25 M 4.(1)见解析 (2)BD=32 CE=3/10 2 【分析】(1)连接OC,由圆周角定理可得∠ACB=90°，先证明出∠OAC=∠DCE, 再结合等边对等角、三角形外角的定义及性质即可得证： (2)利用勾股定理并结合题意计算得出CD=AC=32.由(1)知∠E=∠BAD, ∠CAE=∠BDA=45°，证明△ABD一△ECA,由相似三角形的性质计算即可得出结 果 【详解】(1)证明：如图，连接OC, B O .AB⊙O D 为 的直径， 答案第4页，共2页 ∴.∠ACB=90°， ∴.∠ACO+∠OCB=90° .OA=OC, ∴.∠OAC=∠OCA. .CE是⊙O的切线， ∴.OC⊥CE,即∠OCE=90°， .∴∠OCB+∠DCE=90°， ∴.∠ACO=∠DCE, ∴.∠OAC=∠DCE AC=DC, .∴.∠CAD=∠CDA ∴.∠BAD+∠CAB=∠DCE+∠E. .∠OAC=∠DCE ∠E=∠BAD: (2)解：，D是AE的中点，AD=6, ∴.DE=6,AE=12 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC+CD=AD2. AC=DC, ∴.2AC2=36, .AC=32, ∴.CD=AC=3V2. 由(1)知∠E=∠BAD,∠CAE=∠BDA=45°， .∴.△ABD一△ECA, .AB_BDAD EC CA EA BD 6 即3212 BD=32 2 BC=CD-BD=3232_32 221 答案第5页，共2页 在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC+BC=AB2, 即AB2=32}+ 322, 2 ·AB=3/10 21 ·ABAD EC EA 3V10 .2 6, .EC-12 ∴.EC=3V10 5.(1)见解析 (265 5 【分析】(1)证明∠CAD=∠CBD=45°，∠DAP=45°，则∠CAD=∠DAP,即 可得到结论： (2)连接OD,求出AD=42,ED=25.证明△ADE一△BDA,则AD=DE DB AD 代入数据即可求出答案 【详解】(1)证明：.AC为直径， .∠ABC=90°， :AP与⊙O相切， .∠CAP=90°， ,BP平分∠ABC ∴.∠CAD=∠CBD=45°， .∠DAP=45° .∠CAD=∠DAP, 即AD平分∠CAP (2)解：连接OD, 答案第6页，共2页 D E B .∠AOD=2∠ABD=90°， .OE=2,0A=OD=4, ..AD=42,ED=295 ,∠ADE=∠BDA,∠DAE=∠DBA, .△ADE一△BDA, 品0 ÷DB=AD_42_165, DE 25 5 ABE=DB-DB=1635-25-65 5 1 6.(1)见解析 (2)3 【分析】(1)根据切线的性质和垂径定理，结合平行线的判定得出BCDE,根据平行 线的性质证明∠=∠ABC=45°，即可证明△兰乙是等腰直角三角形，可证明结论： (2)连按0B.根据童径定理符出BG=号BC=×10=5,根据勾服定理得出 22 OG=VOB-BG=2'证明△BFG是等腰直角三角形，得出FG=BG=5:根据线段间 数量关系，求出结果即可」 【详解】(1)证明：DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径， ∴.OD⊥DE, 又：OD⊥BC, .BC‖DE, ∴.∠g=∠ABC=45°， .△竺就是等腰直角三角形， 答案第7页，共2页 .'DE=DF: (2)解：如图，连接OB,则OB=V29, .OD⊥BC. 8G65c-3×10=5. 2 ∴.0G=V0B2-BG2=2 ,∠ABC=45°，∠BGF=90°， ∴.△BFG是等腰直角三角形， ∴.FG=BG=5, ∴.OF=FG-OG=5-2=3. 7.(1)见解析 (2)48+813 【分析】(1)连接OA,交BC于点F,根据垂径定理可得∠OFC=90°，再利用平行四 边形的性质证明即可： (2)连接OB,根据等弧对等弦可得AB=BE=413,再利用勾股定理求出OF=5,进 而求解即可. 【详解】(1)证明：连接OA,交BC于点F, E A是⊙O中BC的中点， ..AB=AC, .OA⊥BC, 答案第8页，共2页 .∠OFC=90, ,四边形ABCD为平行四边形， ..BC AD, .∠OFC=∠OAD=90, ,OA为半径， .AD是⊙O的切线： (2)解：连接OB, D ,四边形ABCD为平行四边形， .BC=AD,AB‖CE, .∠ABC=∠BCE, ..AC=BE. .AB=AC. .AB=BE, .AB=BE=413. 设OF=x, .OA=OB=13, .AF=13-X, ∠OFB=90°=∠ABF, 六0B-0F2=AB-AF2,即132-X2=4V13}-13-x2, 解得x=5,即OF=5, BF=OB-0F2=12' ,OA⊥BC, .BC=2BF=24. ·平行四边形ABCD的周长=2BC+AB=2×24+4V13=48+813 答案第9页，共2页 8.(1)见详解 (2)CF=52 2 【分析】(1)连接ED,根据圆周角定理得出∠EDC=90°，即AC⊥ED,又 ∠ACB=90°，则ED‖BC,得出∠DEC=∠BCE,即可证明EG=DC. (2)连接EG,根据圆周角定理得出∠EGC=90°，根据题意可得CE=V5,根据 EG=DC,得出EG=CD=3.在Rt△EGC中，由勾股定理求出CG=V2,根据EF是 ©o的切线，得出∠CEF=90o,证明△CGE一△CEF,则|5=R2·CF,即可解 答. 【详解】(1)证明：连接ED, B .CE是⊙O的直径， .∠EDC=90°，即AC⊥ED, 又：∠ACB=90°，即AC⊥BC, .ED‖BC, ∴.∠DEC=∠BCE, ∴，EG=DC (2)解：连接EG, .CE是⊙O的直径， .∠EGC=90°， 00半径为2 .直径CE=2× 5 2 EG=DC, .EG=CD=V3」 在RtA EGC中，由勾股定理：CG=CE2-EG=5-R3=2' 答案第10页，共2页 ,EF是⊙O的切线， ∴.∠CEF=90°， 又∠ECG=∠ECF,∠EGC=∠CEF=90, .△CGE一△CEF, CG=CB CECE 则CE'=CG-CF即5=2-CF 解得CF=52 9.(1)证明见解析 em-号 【分析】(1)要证直线与圆相切，连接圆心与切点，证明该半径与直线垂直即可；结合直 角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质推导平行关系，进而证垂直； )直径得∠CED=90°，即DE 1 BC,推出E为BC中点；结合sinB设边t 分别求出S1、S2,进而得m, 【详解】(1)证明：连接OE, :'在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点， ∴CD=BD(直角三角形斜边中线等于斜边的一半)， .∠B=∠DCB, OE=OC, .∴.∠OEC=∠DCB ∴∠OEC=∠B, .OE‖AB, EF⊥AB, ∴.EF⊥OE, 又.OE是⊙O的半径， .直线EF与⊙O相切. 答案第11页，共2页 (2)解：，CD为⊙O的直径， .∠CED=90°，即DE⊥BC, CD=BD, .E为BC的中点， sin B=3 设AC=3k,AB=5k, 由勾股定理得：BC=AB2-AC2=4K ,D为AB中点，∠ACB=90°， ..CD=BD=1AB=5k,BE=-BC=2k, 在R△BDE,DE=BD-BE-3f-2kf-号k 12 .'∠B=∠B,∠EFB=∠DEB=90°， .△BEF一△BDE, Sy BE 2 2k 2_16 SABDE BD 5 5BEDE=×2k×k=, “s=爱，50m=5e s=5a匹+小5ae-5=+号-2若君 .S2=mS1, 答案第12页，共2页 K .m= S2 25 17 8 10.(1)见解析： (203T:②MiN<PE 【分析】(1)连接OF,由切线的性质可知OF⊥BD,可证OF‖AD,进一步可知 ∠DAF=∠OAF,根据平行四边形的性质可知∠DAF=∠AGD,即可求解； (2)①作OH⊥MN于点H,设半圆的半径为r,根据解三角形可知半径，即可求解弧长： ②根据AP是直径，可知∠PEA=90°，进而可知∠APE=∠ABD,根据余弦值可知PE 长度，进而即可求解 【详解】(1)证明：连接OF,如图1. ,半圆与BD相切，点F为切点， ∴.OF⊥BD ,AD⊥BD .OF‖AD ∴.∠DAF=∠AFO 又OA=OF ∴.∠OAF=∠AFO ∴.∠DAF=∠OAF ,四边形ABCD是平行四边形， ..AB//CD ∴.∠OAF=∠AGD ∴.∠DAF=∠AGD ..DA=DG D G B 图1 (2)解：①作OH⊥MN于点H,如图2. 答案第13页，共2页 H B 图2 设半圆的半径为r,则MN=V2r .OH⊥MN :.HN=OH=2 :BN=2,tan∠ABD=3 2 2 .3 r*2 4 2 解得r=6 90x6-3m :.MN的长为180 ②MN<PE 如图3，AP是直径， .∴.∠PEA=90° ,BD⊥AD, ..PE//BD .∠APE=∠ABD 图3 :tan∠ABD=3 41 Cos∠ABD=cOS∠APE=4 r=6, 答案第14页，共2页 .AP=12 :PE=12×4=48=9.6 55 而3π≈3×3.14=9.42， ∴.MN<PE 11.(1)见解析： (2)2/13 【分析】(1)利用圆内接四边形性质和已知条件，转化成同旁内角互补，从而证明两直线 平行 2)过点A作AG L DET点G,连BE,由tam∠AFC=子，设AC=DP=3x,CF=4x, 分别证明四边形ACFG为矩形和△AGE≌△CFD,推出EF=6x,再通过证明 △CFD~△EFB,求出EB=15X 今X,BF三号x,在△AEB中利用勾股定理求x,则线段 AF的长度可求. 【详解】(1)证明：.'∠AED+∠ACD=180°，∠AED=∠CDE .∠CDE+∠ACD=180°， ∴.AC‖DE (2)解：.AF‖CD,AC‖DE, .四边形ACDF是平行四边形， ∴.AF=CD,AC=DF ,AB为⊙O直径， .∠ACB=90°， :tan∠AFC=3 .在Rt△ACF中， AC_3 .设AC=DF=3X,CF=4x, 则cD=AF=3x+4x=5x 答案第15页，共2页 B 过点A作AG⊥DE于点G,连BE, ∴.∠AGE=90 .AC‖DE,∠ACB=90° .∠CFD=90°，CF=AG, ∴四边形ACFG为矩形， ..GF=AC=3x, ,∠AED=∠CDE, ∴.△AGE≌△CFD, .EG=DF=3x, ∴.EF=6x .'∠FCD=∠FEB,∠CFD=∠EFB, .∴.△CFD~△EFB, :需 4x=5x=3x 6x EB BF .EB-15x,BF-9x 2 .AC‖DE,且四边形ACDE内接于⊙O, ∴.∠D+ACD=180°，∠E+ACD=180°， ∴.∠D=∠E, ∴.EC=AD ∴.AE=CD, ∴AE=CD=5x, ,AB为⊙O直径， .∠AEB=90, 答案第16页，共2页 在Rt△AEB中， ..AE+EB=AB2, 5x+x=18 :*=2/03 5 .AF=5x=2V13 12.(1)见详解 218 25 8y是2x22 【分析】(1)根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，根据AD是⊙O的切线，得出 ∠DAB=90°，则∠DAC+∠CAB=90°，结合∠ABC+∠CAB=90°，证出 ∠DAC=∠ABC,结合∠ACD=∠ACB=90°，即可证明△DAC一△ABC. (2)证明△ACE一△BAC:得出SAC=是.则AC-3,设AC=3KAB=5k S,AB 25 AB 5 由勾股定理得BC=4k,E明△CGE-△AG0,得出器-S器由△ACE一△BMC 能瓷不品器些又01=受=空时淡保 3)由勾股定理AG2+BC2=AB=4,根据AC+BC=x,求出AC·BC=X)4,由 2，则1 △AEC-△BCA,得AE=AC·BC. 2 AC.BC,由△DAC~△ABC,得 CC船品C由△ccE-△c0,c0-E=c-o1, 即可208货2盼品标y在+0+0话 EG·DA 答案第17页，共2页 2 +AC+2=12 AC·BC BC DA x2-4 即可解答. 【详解】(1)证明：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ,AD是⊙O的切线， ∴.AD⊥AB,即∠DAB=90, ∴.∠DAC+∠CAB=90° 又∠ABC+∠CAB=90°， .∠DAC=∠ABC, 又∠ACD=∠ACB=90°， ∴.△DAC~△ABC. (2)解：CE⊥AD, ∴.∠AEC=∠ACB=90°， 又由(1)知∠EAC=∠ABC, ∴.△ACE-△BAC, ∴.S=AC2-9, S2 AB 25 骆 设AC=3k,AB=5k, 由勾股定理得BC=AB2-AC2=4k .CE⊥AD,AD⊥AB, .CE‖AO, ∴.△CGE△AG0, CG=CE GA OA CEAC 由△ACE一△BAC得AC=AB .CE=AC=9k2-9k AB 5k 5 答案第18页，共2页 又OA=-AB=5k 3 2 9k 95=18 GA 5k 25 2 (3)解：⊙0半径为1， 故AO=1,AB=2, ∠ACB=90°， .由勾股定理AC+BC=AB2=4, .AC+BC=x, .平方得x=AC+2AC·BC+BC2=4+2AC·BC, :aACC兰 由△AEC-△BCA,得AS=AC BC AB AE=AC·BC 2 小证aC2R 2 由△DAC-△ABC,得CD=AC,AD=AC AC BC'AB BC DA=AB·AC=2A 2BC BCBC ,故DAAC 由△CGE-△AG0,得G0-0A=1 EG CECE 则GO·CE=EG·OA, 2G0CE=2.0A-2 EG·DADADA1 +2G0·CE y立是8器 2+AC+2 AC·BC'BC'DA 答案第19页，共2页 2 AC+BC AC·BC'BCAC 2 AC2+BC2 AC·BCAC·BC 2 4 AC·BCAC·BC 6 6 12 AC.BC-X-4x-4 2 ,点C不与A,B重合， ÷AC+BC>AB=2且AC-BCP=AC2+BC2-2ACBC≥0' .AC2+BC2≥2AC·BC, 2AC+BC≥2AC·BC+AC2+BC2, ÷(AC+BC≤2AC2+BC2=8 2<AC+BC≤2V2, 故函数解析式为：y=122<X≤22 x2-4 13.(1)见解析 (2)r=2只V2 【分析】(1)连接BC,由平行四边形BMCD中，BMCD,可得∠DCB=∠CBA, 推出BD=AC,得到BD=AC,结合BD=MC,即可证明： (2)作OE⊥CD于点E,连接CO,则点E是CD的中点.求出 CD-BM=3,CE=克CD=是，由勾股定理可：OE= 4”,根据平行四边形 BMCD的面积为37，得到r:号r=37,求解即可 【详解】(1)证明：如图1，连接BC. 答案第20页，共2页 C D 0 B 图1 :平行四边形BMCD中，BM‖CD, ∴.∠DCB=∠CBA, ..BD=AC .∴.BD=AC, 又平行四边形BMCD中，BD=MC, ∴.AC=MC, .∴.△AMC是等腰三角形： (2)解：如图2，作OE⊥CD于点E,连接CO,则点E是CD的中点， E D M O B 图2 ,点M是OA的中点， :CD=BM=3r,CE=1CD=3r 2 , 在Rt△CE0中，由勾股定理可知：OE=OC2-CE=r- ,平行四边形BMCD的面积为3V7, 解得r=2V2(负值舍去). 14.(1)见解析 答案第21页，共2页 (2)10 ()AG=AD+2CD' 理由见解析 【分析】(1)连接EF,根据角平分线的定义，平行线的判定和性质得到EFAC,结合 切线的判定即可求解； (2)连接FD,设⊙F的半径为，FA=FD=r,OA=4,OD=8, OF=A-OA=r-4,在Rt△FOD中，由勾股定理列式求解即可； (3)过F作FR⊥AC于R,四边形RCEF是矩形，则EF=RC=RD+CD,由垂径定理 得到AD=2RD,等量代换即可求解. 【详解】(1)证明：如图1，连接EF, B 图1 ,AE平分∠BAC, ∴.∠FAE=∠CAE, ..FA=FE. .∠FAE=∠FEA, .∠FEA=∠CAE, FE‖AC, .∠FEB=∠C=90°， ,EF是圆的半径， .BC是⊙F的切线： (2)解：如图2，连接FD,设⊙F的半径为r, 答案第22页，共2页 G A 图2 .FA=FD=r, .OA=4,OD=8. ∴.OF=A-OA=r-4, 在Rt△FOD中，由勾股定理得：FD=OF2+OD, r2=r-4}+82 解得：r=10 .⊙F的半径为10. (3)解：AG=AD+2CD 证明：如图3，过F作FR⊥AC于R, B A 图3 :∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°， .四边形RCEF是矩形， .EF=RC=RD+CD. :FR⊥AD, .AR=RD :.EF=RD+CD--AD+CD, 2 ∴.AG=2FE=AD+2CD 答案第23页，共2页 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，矩形的判定和性质，垂径定理等知识的 综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键， 15.(1)见解析 (2)12+23-3π 3 【分析】(1)连接OC,利用平行线的性质证得OC⊥CE,即可得到CE是⊙O的切线： (2)连接AD,作BF⊥CE于点F,证得四边形OBFC是正方形，得到CF=BF=2,解 直角三角形求得∠E=∠ABD=60°，在Rt△BEF中，解直角=三角形求得EF=2 3 再根据阴影部分面积=S△BcE+S△BC0-S扇形BCo,列式计算即可求解. 【详解】(1)证明：连接OC, .∠BAC=45°， ∴.∠BOC=2∠BAC=90°， ∴.OC⊥BD, CE‖BD, .OC⊥CE,又OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线： (2)解：连接AD,作BF⊥CE于点F, ,BF⊥CE,OC⊥CE, .OC‖BF, .CE BD, ∴四边形OBFC是平行四边形， ,BF⊥CE, .四边形OBFC是矩形， 答案第24页，共2页 :0B=0c-号D=2, ∴四边形OBFC是正方形， .CF=BF=2, .BD是⊙O的直径， .∠BAD=90°， BD=4,AB=2, COs∠ABD=AB=1 BD 2' .∠ABD=60°， .CE BD .∠E=∠ABD=60°， 在Rt△BEF中，BF=2, .EF=BF_23 tan60 3’ i5x×0×BF-×2:2 ×2=6+2/3, 3 3 .∠BOC=90°，OB=OC=2, 50支×0Cx0B×2x2-2,So90mX2 几， 2 360 阴影郁分面积=5aE+560-Ss06+?52-双=2+23-32 3 3 16.(1)∠DAB=45° (2)证明见解析 (3)存在，当a=2时，等式AB2-2AC·BC=2CD成立 【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，可知∠BDA=∠BCA=90°，根据 AD=BD'可证∠DAB=∠DBA=45; (2)根据直径所对的圆周角是直角，可知∠BDA=∠BCA=90°，根据 ∠BCE+∠DAC=∠DAB,∠CAB+∠DAC=∠DAB,可得：∠BCE=∠CAB, 根据等边对等角可得∠BCE=∠OCA,等量代换可证∠BCE+∠OCB=90°，即可证 答案第25页，共2页 明OC⊥CE,从而可证直线CE是⊙O的切线： (3)当a=2时，等式AB-2ACBC=2CD2,根据勾股定理和完全平方公式可得： AB2-2AC-BC=AC2+BC2-2AC-BC=AC-BC2 解法一：在AC上截取CF=CB,可证△ABF一△DBC,根据相似三角形的性质可证 (AC-BCP=2DC2,从而可证AB2-2ACBC=2CD2成立： 解法二：过点D作DG⊥DC交AC于点G,可证△ADG≌△BDC,根据全等三角形的 性质可证CG=92CD所以可得(AC-BCyP=2DC2,从而可证 AB-2ACBC=2CD成立； 解法三：过点D作DG⊥DC交BC延长线于点G,可证△ADC≌△BDG,根据全等三 角形的性质可证(AC-BCP=2DC2,从而可证AB2-2ACBC=2CD2成立. 【详解】(1)解：.AB为⊙O的直径， ∴.∠BDA=∠BCA=90°， .'点D为ACB的中点， ∴.AD=BD1 .∴.∠DAB=∠DBA=45°， (2)证明：如下图所示，连接OC, ,·∠BCE+∠DAC=∠DBA, .∴.∠BCE+∠DAC=∠DAB,∠CAB+∠DAC=∠DAB, .∴.∠BCE=∠CAB .OA=OC, .∴.∠CAB=∠OCA. .∠BCE=∠OCA .:∠OCA+∠OCB=90°， ∴.∠BCE+∠OCB=90 即OC⊥CE 答案第26页，共2页 .OC为半径 ∴.CE为⊙O的切线： (3)解：当a=2时，等式AB2-2ACBC=2CD成立， 理由如下： 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2 ..AB2-2AC-BC=AC2+BC2-2AC-BC=AC-BC2 解法一：如下图所示，在AC上截取CF=CB, 可得：∠CFB=∠CBF=45°， 由∠CFB+∠APFB=180°，∠DAB+∠DCB=180°， 可得∠AFB=∠DCB, .∠BAF=∠BDC, .∴.△ABF一△DBC, AF=AB-92, DC DB AC-CF-AC-BC-2, DC DC -2 ∴.(AC-BC2=2DC2, ∴.AB2-2AC·BC=2CD2: D B E 答案第27页，共2页 解法二：过点D作DG⊥DC交AC于点G, 可得：∠DGC=∠DCG=45°，CG=V2CD, 从而可得∠AGD=∠BCD, .'∠DAG=∠DBC,AD=BD: .∴△ADG≌△BDCAAS), ∴.AG=BC, .CG=AC-AG=AC-BC=2CD, .(AC-BC)2=2DC2' ∴.AB2-2AC·BC=2CD2: 解法三：过点D作DG⊥DC交BC延长线于点G, 可得：∠DGC=∠DCG=45°，CG=V2CD, 从而可得∠ACD=∠BGD, ,∠DAC=∠DBG,AD=BD .△ADC≌△BDG AAS, .'AC=BG, .CG=BG-BC=AC-BC=2CD, .∴（AC-BC)2=2DC2, ∴.AB2-2AC·BC=2CD2 G B E 答案第28页，共2页 答案第29页，共2页