精品解析：2026年河南商丘市宁陵县九年级下学期中招模拟考试 数学试卷（二模）

九年级中招模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若的相反数是2026，则的值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年3月16日，国家统计局新闻发言人在国新办新闻发布会上介绍，月份我国货物进出口总额77321亿元，同比增长．数据“77321亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则（） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 宁陵县有“花天酒地”之美称，“花”是万亩梨花，“天”是葛天文化，“酒”是张弓美酒，梨花节期间，两名外地游客到宁陵来感受其厚重的历史文化，决定参观“万亩梨园”，“葛天文化城”，“张弓酒厂”这三处景点，他们选择要去的第一处景点相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 的长为6 B. 点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C. 四边形的面积为32 D. 曲线段是函数的图象的一部分 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是________（写出一个即可） 12. 某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各20株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表： 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.1 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是____________． 13. 不等式组的最大整数解为___________． 14. 如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 15. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简 （1） （2）化简： 17. 某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 18. 如图（1）直线与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，已知． （1）求的值； （2）如图（2），点是反比例函数的图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，．随着点的移动，的面积是否会发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的面积． 19. 如图，的半径为2，点P是外一点 （1）利用尺规，“过圆外一点作圆的切线”的步骤是： ①作的垂直平分线，得到的中点； ②以的中点为圆心，为直径作圆，交于点A、B； ③作直线、，则直线、与相切．请按以上步骤，过点P作的两条切线、（不写作法，保留作图痕迹），并说明直线、与相切的理由． （2）连接，交于点C，若，求线段的长． 20. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． （1）求生产商每天单独生产，两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 21. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 22. 我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长． 23. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， （2）如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． （3）如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中招模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若的相反数是2026，则的值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，利用互为相反数的数的特征求解即可． 【详解】解：的相反数是2026， ， 故选：B． 2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 根据三视图的定义逐项分析即可． 【详解】A．左视图不符合题意，故不正确； B．俯视图与左视图与题意不符，故不正确； C．符合题意，正确； D．俯视图不符合题意，故不正确． 故选C． 3. 2026年3月16日，国家统计局新闻发言人在国新办新闻发布会上介绍，月份我国货物进出口总额77321亿元，同比增长．数据“77321亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：77321亿． 4. “跳皮筋”是我们小时候常玩的游戏，如图，执皮筋的两个小朋友分别用，表示，皮筋用折线表示，若，，，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先过点作，根据平行线的传递性可得；接着利用，根据“同旁内角互补”求出；然后用已知的减去得到；最后利用，根据“两直线平行，内错角相等”即可得出的度数． 【详解】过点作直线， ，， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∵。 ∴， ∵， ∴ ． 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及幂的乘方，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据同底数幂的乘除法及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 7. 化简的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照同分母分式减法法则计算后约分即可得到结果． 【详解】解： ． 8. 宁陵县有“花天酒地”之美称，“花”是万亩梨花，“天”是葛天文化，“酒”是张弓美酒，梨花节期间，两名外地游客到宁陵来感受其厚重的历史文化，决定参观“万亩梨园”，“葛天文化城”，“张弓酒厂”这三处景点，他们选择要去的第一处景点相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：用A表示万亩梨园，B表示葛天文化城，C表示张弓酒厂，画树状图，如图所示： 根据树状图可得，共有9种等可能的情况数，其中他们选择要去的第一处景点相同的情况数有3种， ∴他们选择要去的第一处景点相同的概率为． 9. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分得到，点为的中点，根据菱形的面积公式可求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，点为的中点， ∵菱形的面积为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ． 10. 如图（1），在中，动点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，点Q沿折线向终点B匀速运动，点P，Q同时到达终点B．设运动时间为x秒，的面积为y．已知y与x之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 的长为6 B. 点Q的运动速度为每秒3个单位长度 C. 四边形的面积为32 D. 曲线段是函数的图象的一部分 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象和平行四边形的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，由图（2）可知当点Q由点A到点D用时1秒，由点C到点B用时1秒，由点D到点C用时（秒）， ∴， ∴点Q的运动速度为每秒（个）单位长度， 由图（2）可知当点Q与点D重合时，此时， ∴边上的高为， ∴， 当点Q与点C重合时，的面积最大，此时，， ∴，， 当时， 当时，， ∴曲线段是函数的图象的一部分． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的值可以是________（写出一个即可） 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，结合分式分母不为零列出不等式，求解得到的取值范围，在范围内任取一个值即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 解得， 取，符合条件．（答案不唯一） 12. 某农场培育甲、乙、丙、丁四种花各20株，这四种花开花时间（单位：天）的统计结果如下表： 种类 甲 乙 丙 丁 平均数 3.1 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 则这四种花中，开花时间最长且最平稳的是____________． 【答案】丁 【解析】 【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据平均数的定义以及方差的定义做决策即可． 【详解】解：∵， ∴开花时间最长的是甲、丁， ∵， ∴开花时间最长且最平稳的是丁． 故答案为：丁 13. 不等式组的最大整数解为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再在解集范围内找出最大整数即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 因此不等式组的最大整数解为． 14. 如图是小明同学用尺规画的一个“蝴蝶风筝”图案，其中，，分别以，为直径画半圆交于点，则阴影部分的面积为________ 【答案】50 【解析】 【分析】设，的中点分别为点E、F，连接，根据割补法可知，进而问题可求解． 【详解】解：设，的中点分别为点E、F，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴“蝴蝶风筝”图案左边部分阴影面积等于等腰直角三角形的面积， ∴根据轴对称图形的性质可知：． 15. 如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算或化简 （1） （2）化简： 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 某市教育局为了解全市初中生每周课外阅读时长（单位：时）的情况，在全市随机抽取了部分学生进行调查，按五个组别：A组，B组，C组，D组，E组进行整理，绘制出如图两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）这次抽样调查的总人数是___________，扇形统计图中___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若全市约有2万名初中生，请你估计该市每周课外阅读时长不少于6小时的初中生人数． 【答案】（1）1000，32； （2）补图见解析； （3）7600人． 【解析】 【分析】（）由A组人数及其所占百分比可得样本容量，用C组人数除以总人数，求出C组人数所占百分比，即可解答； （）根据各组人数之和等于样本容量求出组人数，即可补全图形； （）用总人数乘以样本中组人数和所占比例即可； 【小问1详解】 解：抽样调查的总人数是(人)， ， 故答案为：1000，32； 【小问2详解】 解：组的频数为， 补全频数分布直方图如图所示； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该市每周课外阅读时长不少于小时的初中学生人数约为7600人． 18. 如图（1）直线与反比例函数的图象交于点，与反比例函数的图象交于点，已知． （1）求的值； （2）如图（2），点是反比例函数的图象上的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，．随着点的移动，的面积是否会发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的面积． 【答案】（1） （2）的面积不发生变化， 【解析】 【分析】（1）联立直线与反比例函数，解方程组求出点的坐标，根据线段的比例求解点的坐标，把点的坐标代入反比例函数中即可求解的值； （2）设点的坐标为，再写出， ，用含有的代数式表示出，，即可求解的面积． 【小问1详解】 解：令，则， ∴点在第一象限，， 如图，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即点B的横坐标为3， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问2详解】 解：的面积不发生变化，理由如下： 设点的坐标为， 则， ， ∴，， ∴， 即的面积是定值，不发生变化，其面积为． 19. 如图，的半径为2，点P是外一点 （1）利用尺规，“过圆外一点作圆的切线”的步骤是： ①作的垂直平分线，得到的中点； ②以的中点为圆心，为直径作圆，交于点A、B； ③作直线、，则直线、与相切．请按以上步骤，过点P作的两条切线、（不写作法，保留作图痕迹），并说明直线、与相切的理由． （2）连接，交于点C，若，求线段的长． 【答案】（1）解：两条切线、如图所示： 理由：记的中点为M，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴，， 又∵，为的半径， ∴，都与相切． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给作图步骤进行作图即可；记的中点为M，连接，，然后根据作图易得，，进而根据切线的判定定理可进行求解； （2）连接，，由题意易得，则有，，然后根据三角函数可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： 由(1)知，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产类手办比生产类手办多200个，单独生产类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． （1）求生产商每天单独生产，两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 【答案】（1）生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个 （2）购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个，再列出一元一次方程，即可作答． （2）设购进类手办个，则购进类手办个，得，解得，设获利为元，则，结合一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天单独生产类手办个，则每天单独生产类手办个， 根据题意，得， 解得，（个）. 答：生产商每天单独生产类手办600个，每天单独生产类手办400个. 【小问2详解】 解：设购进类手办个，则购进类手办个， 根据题意，得， 解得， 设获利为元，则， ， 随的增大而减小， ， 当时值最大，， 则（个） 答：购进类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元． 21. 某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务． 任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长； 任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？ （参考数据：．结果保留小数点后一位） 【答案】任务一：，任务二：该活动中心移动了2米； 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用； 任务一：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，，可得，，求解，进一步可得答案； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，可得，四边形为矩形，，求解，进一步可得答案. 【详解】解：任务一：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ∴该活动中心移动了2米. 22. 我们要善于用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表 达世界．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞(如图1)，可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图2所示雨伞最大纵截面上建立直角坐标系，伞柄在轴上，坐标原点为伞骨， 的交点(单位：分米)，点为抛物线的顶 点，点，在抛物线上，， 关于轴对称．分米，点．设抛物线 表达式为． （1）求抛物线的表达式； （2）分别延长，交抛物线于点，，求以 为直径的圆的周长． 【答案】（1）抛物线解析式为： ； （2）以直径的圆的周长为分米． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求解二次函数与正比例函数的交点坐标，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． （）待定系数法求出抛物线解析式即可； （）写出直线解析式，求出与抛物线的交点坐标，根据抛物线的对称性计算出点坐标，利用横坐标之差计算线段长，再由圆周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， 把和代入 ， 得， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：设直线 解析式为 ， 将 坐标代入得，， 解得：， ∴直线 解析式为： ， 联立函数解析式， 解得：，或 ∴点坐标为； ∵抛物线的对称轴是轴， ∴点的坐标为， ∴（分米）， ∴直径 的圆的周长为：（分米）． 23. 在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． （1）矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， （2）如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． （3）如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 （4）在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）是 （2）， （3），证明见解析 （4）或 【解析】 【分析】（1）先算出矩形的长和宽，再验证长与宽的比； （2）在直角三角形里，用三角函数算出，从而得到旋转角，再用的长度减去的长度，得到； （3）过、向作垂线，先证两个小三角形全等得到垂线段相等，再证包含、的两个三角形全等，从而得出； （4）分在线段上和延长线上两种情况，先证和是等边三角形，再结合勾股定理和（3）的结论，分别算出两种情况下的长度． 【小问1详解】 解：， ， 、分别是，的中点， ， ， ∴矩形是标准矩形． 【小问2详解】 解：当恰好经过点时， 中，，， ， ，， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，， 由旋转的性质，可知，，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，， ， ． 【小问4详解】 解：①如图，当点在线段上时，， ，，， ， ， ， 连接，，则， ， ， 是等边三角形， ， 由（3）可知，， ，， ， ， 是等边三角形， 过点作于， ， ， ，， 在中，， ； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接，，过点作于点， 同理可得是等边三角形， ， 综上所述，线段的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $