内蒙古自治区包头市第二十四中学2025-2026学年下学期七年级阶段性教学评估数学试卷

**基本信息** 聚焦有理数运算与代数应用，通过基础巩固题、数轴动态探究及正方体成本优化设计，考查运算能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|有理数加减乘除、幂运算|如第4题辨析-3²与(-3)²，强化符号意识| |填空题|6/18|倒数、新运算（a⊕b=a+b×a）|第14题定义新运算，考查数学抽象| |解答题|5/58|数轴距离应用、正方体展开图成本优化、完全平方公式|16题结合动点运动求中点距离，体现几何直观；17题以心愿语盒制作为背景，通过卡纸规格选择考查模型意识与应用能力|

包二十四中阶段性教学评估数学试卷 2026.05.13 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填涂在答题卡对应位置。 1.计算-5+3的结果是() A.-2B.2C.-8D.8 2.计算(-2)×4的结果是() A.8B.-8C.6 D.-6 3.有理数(-1)4的值为() A.-4B.4 C.-1D.1 4.计算-3的结果是() A.9B.-9C.6 D.-6 5.下列计算正确的是() A.0-(-1)=-1 B.(-3)+(-5)=8 e(3÷9月 D.23=6 6.计算24×（号-号》的结果是(） 34 A.2B.4C.6 D.8 7.已知a=-2,b=3,则a°-b的值为() A.1B.-1C.7 D.-7 8.按照运算顺序，计算10-4÷(-2）第一步应算（) A.10-4B.4÷(-2）C.同时计算 D.无法确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 请将答案填写在答题卡对应横线上。 9.计算：(-7)-13=--。 2. 3 10.计算：(-2)×(-。)=一 2 ,1 11.计算：（-6)÷()=-一 12.-1的倒数是 13.计算：(-2)+1=一 试题第1页（共4页） 14.若规定新运算：ab=a+b×a,则23=-一-。 三、解答题（本大题共5小题，共58分，解答应写出必要的计算步骤、文字说明、作图痕迹） 15.计算题（本题6小题，每小题4分，共24分） (1)12-(-18)+(-7）)-20 ②0.5+(3)-2.75+月 41 2 3)(12×(-1+1) 十一 346 9 4 (4(-81)+(三)×(-一)+(-16) 4 9 (5)0-2÷493-1 2)-(-10 4 3 16.(9分)【问题背景】我们知道x的几何意义是：在数轴上数x对应的点与原点的距离.这个结论可以推广为： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A,B两点之间的距离示为a-b,即AB=a-b.例如，在数轴上，表 示-4和-2的点的距离为AB=-4-(2=2. -5-4-3-2-1012345 【问题解决】 (1)x-2表示数轴上数x与（填数字）之间的距离；(1分) (2)若点C为数轴上一点，它所表示的数为x,点D在数轴上表示的数为-2，则CD=(用含x的代数式表示)： (1分) 【关联运用】 (3)运用一：若x-2+x+4=10,则x的值为；(1分) (4)运用二：代数式x-2+x+4的最小值为一；(1分) (5)运用三：代数式x-3-x+4的最大值为；(1分) (6)运用四：已知动点A、B、C分别从数轴-2、3、4的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为2个单位长度/ 秒，4个单位长度/秒，8个单位长度/秒.原点为点O,线段OA,OB,OC的中点分别为P,M,N,若PM-N=k, 且k的值为常数，求出m和k的值。(4分) 试题第2页（共4页） 17.(7分)新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为10cm的正方体心愿语盒.设计组提供了 如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） 展开图1 展开图2 心愿语盒A 心愿语盒B 图1 图2 (1)按展开图2可以围成心愿语盒 (填“A”或“B”), (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号I 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：cm) 30×40 40×60 50x80 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 80 60 .-40 So 40 30-- 型号1 型号Ⅱ 型号Ⅲ ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出 个心愿语盒A的展开图，或个心愿语盒B的展开图： ②制作组要制作16个心愿语盒.如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡 纸的总成本最低，写出你的方案 我的方案是：型号I的卡纸 张，型号Ⅱ的卡纸一张，型号的卡纸_张，所选卡纸的总成本是 元 18.(10分)将两数和（差）的完全平方公式(a±b)=a±2b+b2,通过适当的变形，可以解决很多数学问题， (1)己知a+b=14,b=48,则a2+b2=-一；(2分) (2)两块完全相同的直角三角板（∠AOB=∠COD=90°）如图所示放置，其中A,O,D在一条直线上，连接AC,BD.若 试题第3页（共4页） AD=14,S40c+SoD=64,求一块三角板的面积；（4分) (3)若x满足(x-2023)+(x-2027=36,求(x-2023)(x-2027)的值；(4分) 19.(8分) 【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”.数形结合就是把抽 象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质， 实现优化解题的目的.例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法， e 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 (请填序号)·(2分) ①(a+b)(a-b)=d-b2;②(a-b)2=2-2ab+b2;③a(a+b)=a2+ab; ④a(a-b)=d-ab. 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知a-b=3,a2+b2=5,则ab=;(2分) (3)若(6+x)x=7,求(6+x)2+x的值.(4分) 试题第4页（共4页） 包二十四中阶段性教学评估数学试卷 2026.05.13 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填涂在答题卡对应位置。 1.计算 -5+3 的结果是（ ） A. -2 B. 2 C. -8 D. 8 2. 计算 (-2) × 4 的结果是（ ） A. 8 B. -8 C. 6 D. -6 3.有理数 (-1)4 的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -1 D. 1 4. 计算 -32 的结果是（ ） A. 9 B. -9 C. 6 D. -6 5. 下列计算正确的是（ ） A. 0-(-1)=-1 B. (-3)+(-5)=8 C. ()÷(-2)= D. 23=6 6. 计算 24×( - ) 的结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知 a=-2，b=3，则 a2-b 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 7 D. -7 8. 按照运算顺序，计算 10-4÷(-2) 第一步应算（ ） A. 10-4 B. 4÷(-2) C. 同时计算 D. 无法确定 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 请将答案填写在答题卡对应横线上。 9. 计算：(-7)-13 = ______。 10. 计算：()×() = ______。 11. 计算：(-6)÷() = ______。 12. -1 的倒数是 ______。 13. 计算：(-2)3+1 = ______。 14. 若规定新运算：ab = a+b×a，则 23 = ______。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 58 分，解答应写出必要的计算步骤、文字说明、作图痕迹） 15. 计算题（本题 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） (1) 12-(-18)+(-7)-20 (2) 0.5+()-(-2.75)+ (3) (-12)×( - + ) (4) (-81)+()×()+(-16) (5) 0-23÷(-4)3 (6) -33 ÷ () × ()2 - (-1)7 16.（9分）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与　　（填数字）之间的距离；（1分） （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则　　（用含的代数式表示）；（1分） 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为　　；（1分） （4）运用二：代数式的最小值为　　；（1分） （5）运用三：代数式的最大值为　　；（1分） （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值。（4分） 17.（7分）新年前夕，某班计划用一些长方形的卡纸，为同学们制作棱长为的正方体心愿语盒．设计组提供了如图1所示的两种心愿语盒的展开图，制作组按照展开图可围成如图2所示的心愿语盒（不考虑接缝） (1)按展开图2可以围成心愿语盒______（填“A”或“B”）， (2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择，规格、成本如下表： 卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ 卡纸规格（单位：） 卡纸成本（单位：元/张） 2 5 8 ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出______个心愿语盒A的展开图，或______个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒．如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使所选卡纸的总成本最低，写出你的方案． 我的方案是：型号Ⅰ的卡纸______张，型号Ⅱ的卡纸______张，型号Ⅲ的卡纸______张，所选卡纸的总成本是______元． 18.（10分）将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)已知，，则______；（2分） (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中，，在一条直线上，连接，．若，，求一块三角板的面积；（4分） (3)若满足，求的值；（4分） 19.（8分） 【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差公式与完全平方公式时，就利用了数形结合的方法． 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 （请填序号）．（2分） ①； ②； ③； ④． 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知，，则 ；（2分） (3)若，求的值．（4分） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 包头市第二十四中学2025-2026学年度第二学期七年级数学月考试题 参考答案 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1. 答案：A 解析：-5+3 = -2 2. 答案：B 解析：两数相乘，异号得负，(-2) × 4 = -8 3. 答案：C 解析：题目为有理数-1，数值就是-1。 4. 答案：B 解析：-3²表示3的平方的相反数，-3² = -9（注意：区别于(-3)²=9） 5. 答案：C 解析： A：0-(-1)=0+1=1≠-1，错误 B：(-3)+(-5)=-8≠8，错误 C：(-1/2)÷(-2)=1/4，正确 D：式子明显错误 6. 答案：A 解析： 24×(1/3-1/4)=24×1/3-24×1/4=8-6=2 7. 答案：A 解析：代入a=-2，b=3 a²-b=(-2)²-3=4-3=1 8. 答案：B 解析：有理数混合运算顺序：先乘除，后加减，所以第一步先算4÷(-2)。 二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 9. (-7)-13 = -20 10. (-2/3)×(-3/2) = 1（互为倒数的两数相乘得 1） 11. (-6)÷(1/2) = -12 12. -1（乘积为 1 的两个数互为倒数，-1×(-1)=1） 13. (-2)³+1 = -8+1=-7 14. 新运算定义：a☆b=a+b×a 2☆3=2 + 3×2=2+6=8 三、解答题 15. 计算题（每小题 4 分，共 24 分） (1) 12-(-18)+(-7)-20 =12+18-7-20 =30-27 =3 (2) 0.5+(-1/4)-(-2.75)+1/2 =0.5-0.25+2.75+0.5 =(0.5+0.5)+(-0.25+2.75) =1+2.5 =3.5 (3) (-12)×(1/3-1/4+1/6) =(-12)×1/3-(-12)×1/4+(-12)×1/6 =-4+3-2 =-3 (4) (-81)+9/4×(-4/9)+(-16) =-81 -1 -16 =-98 (5) 0-2³÷(-4)³-1/8 =0 - 8÷(-64)-1/8 =0+1/8-1/8 =0 (6) -3²÷3/4×(-2/3)²-(-1)² =-9×4/3×4/9-1 =-16 -1 =-17 16. 数轴距离问题（9 分） 数轴两点距离公式：AB=|a-b| (1) |x-2| 表示x与2的距离。 (2) 点C：m，点D：-2，则CD=|m+2|。 (3) |x-2|+|x+4|=10 分区间讨论： 当x≥2：x-2+x+4=10，解得x=4 当-4<x<2：2-x+x+4=6≠10，无解 当x≤-4：2-x-x-4=10，解得x=-6 答案：4或-6 (4) |x-2|+|x+4| 几何意义：x到2和-4的距离和。 当-4≤x≤2时，距离和最小，最小值为6。 (5) |x-3|-|x+4| x≥3时：x-3-(x+4)=-7 -4<x<3时：3-x-(x+4)=-2x-1，取值范围(-7,7) x≤-4时：3-x+x+4=7 代数式最大值为7。 (6) 动点问题 初始位置：A:-2，B:3，C:4，速度：2、4、8单位/秒，运动时间t t秒后位置：A:-2+2t，B:3+4t，C:4+8t 各线段中点： P（OA中点）：-1+t M（OB中点）：1.5+2t N（OC中点）：2+4t PM=|(1.5+2t)-(-1+t)|=|t+2.5| MN=|(2+4t)-(1.5+2t)|=|2t+0.5| 由n·PM - MN = k（k为常数，与t无关） t≥0时，原式=n(t+2.5)-(2t+0.5)=(n-2)t+2.5n-0.5 令t的系数为0，得n=2 代入得：k=2.5×2-0.5=4.5 综上：n=2，k=4.5 17. 正方体展开图 + 方案选择（7 分） 正方体棱长10cm，展开图由6个边长10cm的正方形组成。 (1) 根据展开图结构：展开图2可围成B。 (2) ① 型号Ⅱ卡纸规格40×60cm： 盒A展开图占用30×40cm区域，最多可画2个； 盒B展开图排布更紧凑，最多可画3个。 ② 最优制作方案： 型号Ⅰ的卡纸8张，型号Ⅱ的卡纸0张，型号Ⅲ的卡纸0张，所选卡纸的总成本是16元。 18. 完全平方公式变形（10 分） 核心公式：a²+b²=(a+b)²-2ab，(a-b)²=a²+b²-2ab (1) 已知a+b=14，ab=48 a²+b²=14²-2×48=196-96=100 (2) 由题意，∠AOB=∠COD=90°，A、O、D共线，AD=14，S△AOC+S△BOD=64 设直角三角板直角边长为x、y，计算得单块三角板面积为24cm²。 (3) 设m=x-2023，n=x-2027，则m-n=4，m²+n²=36 由(m-n)²=m²+n²-2mn 16=36-2mn，解得mn=10 即(x-2023)(x-2027)=10 19. 数形结合 + 乘法公式（8 分） (1) 图形面积等量关系对应完全平方差公式，选(2)：(a-b)²=a²-2ab+b² (2) 已知a-b=3，a²+b²=5 由(a-b)²=a²+b²-2ab，得9=5-2ab，解得ab=-2 (3) 已知x(6+x)=7，求(6+x)²+x² 设m=6+x，n=x，则mn=7，m-n=6 m²+n²=(m-n)²+2mn=36+14=50 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第一学期七年级期中教学情况抽测 数学答题卡 考场： 座位号： 姓名： 班级： 准考证号 注意事项 1、答题前请考生先将自己的姓名、班级、考 [O] [0] [0] [o] [o] [0] [0] [0] 场座位填写清楚。 [] [1] [] [] [1] [] [ 2、选择题部分请用2B铅笔填涂方框：非选择 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 题部分请用0.5毫米黑色墨水签字笔书写。 [3] [3] [3] [3] [3] [3] 3、请勿折叠，保持卡面清洁：请将所有答题 网 [4] [4 [ [4 [A] [4 [4 [51 ] [] [51 51 [5] [] [] 内容写在此卷上，否则答题无效。 [6 [6 [7 ☑ [7 [7 [7 正确填涂■ 缺考 周 [ [8 [8] [8] [8] 叮阿 [91[91[91 9][91 f91r91 191 一、选择题（共24分） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C[D] 3.[A][B[C][D] 4.[A][B][C[D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C[D] 7.[A][B[C][D] 8.[A][B][C[D] 二、 填空题（共18分） 9 10. 11. 9 13. 14. 三、解答题（供58分） 15.(24分) (1)12-(-18)÷(-7)-20 (2)0.5+()-(-275)+月 3(-12)×(G-4+) (4(-81)÷×()÷(-16) (5)0-23÷(-43-日 (6)-33÷×(（)2-(-1)7 16.(9分) (1)x-2表示数轴上数x与一（填数字）之间的距离；(1分) (2)若点C为数轴上一点，它所表示的数为x,点D在数轴上表示的数为-2，则CD= (用含x的代数 式表示)：(1分) 【关联运用】 (3)运用一：若x-2+x+4=10,则x的值为一： (1分) (4)运用二：代数式x-2+x+4的最小值为 (1分) (5)运用三：代数式x-3引-x+4的最大值为 (1分) (6)(4分) 17.(7分) 展开图1 展开图2 心愿语盒A 心愿语盒B 图1 图2 (1)按展开图2可以围成心愿语盒 (填“A”或“B”)。(1分) (2)(6分) ①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸，最多可以画出个心愿语盒A的展开图，或个心愿语盒B的展开图； ②制作组要制作16个心愿语盒.如果你是设计组的成员，请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量，使 所选卡纸的总成本最低，写出你的方案。 我的方案是：型号I的卡纸张，型号Ⅱ的卡纸张，型号Ⅲ的卡纸 张，所选卡纸的总成本是 元。 18.(10分) (1)已知a+b=14,ab=48,则a2+b2=；(2分) (2)(4分) (3)(4分) 19.(8分) 【类比探究】 (1)利用图中面积的等量关系可以得到的数学公式为 (请填序号).(2分) ①(a+b)(a-b)=ad-B；②(a-b)2=a2-2ab+b2；③a(a+b)=a2+ab； ④a(a-b)=ad-ab 【解决问题】 利用【类比探究】中得到的结论，解决下列问题： (2)已知a-b=3,a+b2=5,则ab=-;(2分) (3)若(6+x)x=7,求(6+)2+x的值.(4分) 请勿在此区域作答或 者做任何标记