精品解析：2025年山东省淄博市临淄区中考二模数学试卷

2024－2025学年度第二学期阶段性质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 向如图所示空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 按如图所示的程序进行计算，若输入的值为6，则输出的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，⊙O半径为，点为弦上一点，，点为⊙O上一点，，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点是正六边形的边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．点从点出发，按照顺时针的方向（即…）以每秒个单位长度的速度运动，则第秒时点的坐标为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 10. 因式分解：__________． 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 12. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 13. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为______． 14. 如图，在中，是的直径，是的切线，线段与相交于点，连接，的平分线与交于点，与交于点，的平分线与交于点，点是的中点，若，则为______． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15 （1）解方程组 （2）解不等式组 16. 先化简：，若结果等于，求出相应的的值． 17. 如图，点，，，在直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 已知九年级1班和2班各随机抽取名学生参加科普知识比赛，现对测试成绩（满分分）进行整理分析，共分四个等级（成绩用表示），，，，．具体信息如表： 九年级1班参赛学生等级的成绩为：，，，： 九年级2班参赛学生等级的成绩为：，，，，． 九年级1班参赛学生测试成绩扇形统计图 九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图 九年级1、2班参赛学生测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 九年级2班 请根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出，的值，并求扇形统计图中对应的圆心角的度数； （2）补全九年级2班参赛学生成绩条形统计图； （3）请从中位数和方差这两个方面，对两个班参赛学生的成绩进行比较，并作出评价． 19. 如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M （1）求M点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 20. 如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 21. 项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； （3）当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期阶段性质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值；根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：A． 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 3. 党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位．“二万八千亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：二万八千亿写作， ， 故选：C． 4. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质，勾股定理．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与的交点为， 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ∴． ， 故选C． 5. 向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快． 【详解】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大， 所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意． 故选：C． 6. 按如图所示的程序进行计算，若输入的值为6，则输出的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入程序流程图进行计算即可． 【详解】解：把代入，得， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了程序设计与实数运算，解题的关键是按照题中箭头的方向依次计算，遇到判断框时，注意判断清楚满足否和是哪个路径的要求． 7. 甲、乙两人同时从某地出发，步行5千米来到游乐园，已知甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到15分钟，问甲乙两人每小时各走多少千米，若设甲每小时走千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了分式方程应用．设甲每小时走x千米，则乙每小时走千米．根据比乙早到15分钟，据此列方程即可． 【详解】解：设甲每小时走千米，列方程为， 故选：A． 8. 如图，⊙O的半径为，点为弦上一点，，点为⊙O上一点，，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦的定义式，垂径定理，勾股定理，分母有理化，解题关键是熟练掌握正弦的定义式． 先根据题意得出，得知当时，最小，先求出此时的，再求出此时的即可求出的最大值． 【详解】解：∵，⊙O的半径为， ∴， ∴越小，的值越大， 当时，最小，此时最小， 此时，，连结， ∵， ∴，解得：（负值舍去）， ∵， ∴，解得：（负值舍去）， ∴的最大值是， 故答案：D． 9. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点是正六边形的边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．点从点出发，按照顺时针的方向（即…）以每秒个单位长度的速度运动，则第秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出正六边形的边长为1，则运动一圈的时间为秒，进而得出第秒时，点运动到点的位置，根据旋转的性质求得点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的顶点，的坐标分别为，， ∴， ∴正六边形的边长为1， ∴点M运动一圈的路程为6， ∵点 M以每秒个单位长度的速度运动， ∴运动一圈的时间为秒， ∵（圈）， ∴第秒时，点M运动到点的位置， ∴， ∵将绕点P顺时针旋转，得到， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，坐标与图形，旋转的性质，点坐标规律探索，解题关键是找出坐标规律，再利用规律求解． 二、填空题（每小题4分，共20分） 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 11. 要使代数式有意义，则的取值范围是 _____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件求解即可，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得： ， 解得：且， 故答案为：且． 12. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系． 先根据一元二次方程的根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将待求式子提取公因式后整体代入求值． 【详解】解：∵若，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、含的直角三角形的性质，解直角三角形，先根据正切求出长，然后根据的直角三角形的性质求出长，再证明是等腰直角三角形解答即可． 【详解】解：，， ∴，， ∵边沿翻折，使点落在上的点处， ∴， ， 由折叠可得：且 且 ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，是的直径，是的切线，线段与相交于点，连接，的平分线与交于点，与交于点，的平分线与交于点，点是的中点，若，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用中位线定理证得，再利用角平分线的意义和圆周角定理证得，从而可得，，， ，接着利用勾股定理，用表示出，然后证得，列出比例式，得到关于的方程求解，进而求得直径，再证明，最后求出． 【详解】解：连接，，，与交于点H，如图所示： 设， ∵点M是的中点，点O是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，切线的性质定理，相似三角形的判定与性质综合，求角的余弦值，解题关键是找准相似三角形，列出比例式求解． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）解方程组 （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用加减消元法解答，即可求解； （2）分别解两个不等式，然后根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）， 由，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是； （2）， 由得， 由得， 不等式组的解集为． 16. 先化简：，若结果等于，求出相应的的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．先运用公式法进行因式分解，约分，通分，进行化简，后根据结果等于，建立关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：原式 ， 根据题意，可得，即， ． 17. 如图，点，，，在直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，，结合，利用证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 18. 已知九年级1班和2班各随机抽取名学生参加科普知识比赛，现对测试成绩（满分分）进行整理分析，共分四个等级（成绩用表示），，，，．具体信息如表： 九年级1班参赛学生等级的成绩为：，，，： 九年级2班参赛学生等级的成绩为：，，，，． 九年级1班参赛学生测试成绩扇形统计图 九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图 九年级1、2班参赛学生测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 九年级2班 请根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出，的值，并求扇形统计图中对应的圆心角的度数； （2）补全九年级2班参赛学生成绩条形统计图； （3）请从中位数和方差这两个方面，对两个班参赛学生成绩进行比较，并作出评价． 【答案】（1），，扇形统计图中对应的圆心角的度数为 （2）见解析 （3）从中位数看：1班有一半的学生成绩在分以上，2班有一半的学生成绩在分以上，2班成绩好于1班；从方差看：1班成绩较稳定，2班成绩波动较大 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的概念分别求出与，再求出的人数，然后求出它对应的圆心角的度数； （2）根据（1）求得九年级2班参赛的学生等级的人数，再补全条形统计图； （3）先从中位数比较两个班的参赛成绩，再从方差比较，然后得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，九年级1班名同学成绩等级的人数为（人）， ∵九年级1班参赛的学生等级的成绩为：，，，， 处在中间位置的两个数都是，因此中位数是， ； 九年级2班参赛的学生等级的成绩为：，，，，．等级的2人，等级的1人，等级的人数为：（人）， 九年级2班名学生成绩出现次数最多的是，共出现3次，出现次数最多，因此众数是， ； ∴扇形统计图中对应的圆心角的度数为； 【小问2详解】 九年级2班参赛的学生等级有5人，等级有2人，补全统计图如图所示， 九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图 【小问3详解】 从中位数看：1班有一半的学生成绩在分以上，2班有一半的学生成绩在分以上，2班成绩好于1班； 从方差看：1班成绩较稳定，2班成绩波动较大． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数，中位数，方差，解题关键是能从统计图中获取有效信息． 19. 如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M （1）求M点的坐标及直线的解析式； （2）反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； （3）在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【小问2详解】 解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 20. 如图所示，在矩形中，边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； 【小问2详解】 证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 21. 项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 【答案】（1）点D到墙的距离约为米；（2）铁树能被太阳光照射到；（3）l的最大值为米，此时的度数． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点，证明，利用勾股定理求解即可； （2）作于点，证明四边形为矩形，求得，，再根据正切函数的定义求得，据此求解即可； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，利用四边形内角和定理求得，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即点D到墙的距离约为米； （2）作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， ∴米， ∵， ∴铁树能被太阳光照射到； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米， ∴l的最大值为米，此时的度数． 22. 如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标； （3）当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据直角三角形三角函数值可得，，进而可得的周长，结合已知条件可得，设，则，，从而可得方程，解方程即可； （3）先求出，，设，过点M作轴于点N，通过证明，求出，再求出直线的解析式为，将点代入解析式求出n的值即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ，， 的周长， 的周长是线段长度的2倍， ， 设直线的解析式为， 将，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， 解得，（舍）， ， ； 【小问3详解】 解：， 当时，y取最大值， ， 直线的解析式为， 当时，， ， 设，过点M作轴于点N， 由题意知， ， ， ， 又，， ， ，， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 将点代入，得， 解得或， 或． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练运用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $