精品解析：2026年山东省日照市岚山区二模数学试题

2026年初中学业水平调研检测（二）数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”的规则即可求解． 【详解】∵ 正数都大于负数， ∴ 选项A的和选项C的都是正数，可排除A和C； 剩余两个负数为 和 ， ∵ ，，且 ， ∴ 根据“两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”，可得 ， ∴ 最小的数是 ． 2. 以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 对于选项C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； 对于选项D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据四棱锥的三视图解题即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为一个四棱锥，故选项D符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的混合运算、合并同类项及完全平方公式对各选项逐一计算判断即可． 【详解】解：对选项A，，所以选项A错误； 对选项B，与x不是同类项，不能合并，所以选项B错误； 对选项C，，所以选项C正确； 对选项D，，所以选项D错误． 6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间内错角相等，同旁内角互补即可解出答案． 【详解】解：如图所示， ， 由题意知：， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰有1只雄鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，解题思路为列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算概率即可． 【详解】设雌鸟记为，雄鸟记为，孵化2枚鸟卵所有等可能的结果为：，，，，共种等可能结果． ∵其中2只雏鸟中恰有1只雄鸟的结果有种， ∴所求概率． 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 9. 如图，点、点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接交轴于点，延长交轴于点．已知点，，，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别过点、作轴的垂线，垂足为、，由平行可判定，则，因此．由可推断出，，容易证明，则．由的几何意义可得，，则，，进而计算出，．利用面积法求出，最后计算出的值即可． 【详解】解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点、点在反比例函数的图象上， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴． 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移n（）个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“2倍平点”．则函数图象的“5倍平点”的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据“倍平点”的定义，分点在和两个分支讨论，分支再根据平移后的横坐标范围分类，列方程求解即可． 【详解】设“倍平点”的坐标为，由定义得点坐标为，且也在该函数图象上，分情况讨论： 1. 当时，，此时， ， 整理得，解得，符合， 代入得，得； 2. 当时，， (1) 若即，此时， ， 整理得，解得，舍去不符合条件的， 代入得，得， (2) 若即，整理方程后可知所有根都不在范围内，无符合条件的解， 综上，函数图象的“倍平点”坐标为或． 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得，且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键．利用平方差分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知m是方程的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入法求代数式的值，根据方程根的定义得到满足的等式，变形后整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：是方程的实数根， 将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 14. 如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接、，由、和可计算出，进而判断出是等腰直角三角形，则，，用扇形的面积减去的面积，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ． 15. 如图，，的半径为3且与两边都相切，点P为圆上一动点，分别作，，令，则的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，作，从而可利用三角函数证得，进而证明，得出当与相切时，取得最大和最小，分别画出图形确定的最大值和最小值，从而得出的最大值与最小值的差． 【详解】解：作于，作于， ，， ， ， ， ， ， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当与相切时，取得最大和最小， 如图1， 连接，，， ∵与相切，与相切，，， ∴四边形是正方形， ， ∵的半径为3且与两边都相切， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，， ， ， 在中， ， ， ∴， 如图， ，， ， ， ， ． ， 的最大值为与最小值为． 的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算，切线的性质定理，正方形的性质与判定，三角形内角和定理等知识点，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 17. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于E，F两点：②连接，分别交，于点M，N，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）当且时，求的度数． 【答案】（1）四边形是菱形，理由如下： 由题意得，为线段的垂直平分线， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图得为线段的垂直平分线，即可得，，，则，根据平行四边形的性质得，则，进而得，则，可得，即可得． （2）根据等边对等角以及三角形的外角定理和三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 18. 为弘扬爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明・缅怀英烈”知识竞赛活动，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）， 下面给出了部分信息： 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89； 九年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 55.3 九年级 85.2 86 b 62.1 八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______，m＝______； （2）该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由．（至少从两个不同的角度说明理由） 【答案】（1）87，86，40 （2）448人 （3）八年级，见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答； （2）用该校八九年级的总人数乘以优秀人数所占的百分比即可； （3）根据中位数，优秀人数判断即可． 【小问1详解】 解：八年级A组有人，B组有人，C组7人，将数据重新排列为81，83，84，86，86，88，89，第10，11个数据分别为86，88，所以八年级的中位数，，则；因为九年级86出现的次数最多，所以众数； 【小问2详解】 （人） 答：估计两个年级成绩优秀的学生共448人; 【小问3详解】 解：八年级成绩更好． ∵八年级成绩的中位数比九年级高，且优秀人数比九年级多， ∴八年级成绩更好． 19. 如图，为的直径，点P在的延长线上，点C为上一点，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E，． （1）求证：与相切； （2）若半圆O的半径长为4，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，则， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵与相切于点C，与的延长线相交于点D， ∴与相切； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据对等边对等角以及垂线的定义，进行等量代换证明即可； （2）根据正切函数得出，确定，，再由勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径为4． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得， ∴． 20. 限速防超是最基本的交通规则．如图所示，有一条东西走向的高速公路，在同一水平面内，与公路距离的正南方向，有一高频高清摄像头P，已知该摄像头P的最小探测角为北偏东方向，最大探测角为北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求图中P、B两点的直线距离； （2）若交通规则要求测速区域的范围为时，摄像效果才清晰，请判断该摄像头P的安装距离是否符合要求．（结果保留到1位小数） 【答案】（1） （2）不符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点P作，垂足为C，则，， 然后在中，利用含角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）过点A 作于点D，证明为等腰直角三角形，可得，在中，利用含角的直角三角形的性质，可得，从而得到，再由，可得的长，从而得到的长，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点P作，垂足为C，则，， 在中，，， ∴， ∴； 即图中P、B两点的直线距离为； 【小问2详解】 解：不符合要求，理由如下： 如图，过点A 作于点D， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵交通规则要求测速区域的范围为， 该摄像头的安装距离不符合要求． 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线（）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，． （1）求k的值； （2）求的面积； （3）保持直尺左侧刻度端不动，将直尺右侧裁掉一定的宽度后时，求此时点C的坐标． 【答案】（1）6 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法得到的面积等于梯形的面积，进行求解即可； （3）设，勾股定理求出的关系式，再根据点在反比例函数的解析式上，进行求解即可. 【小问1详解】 解：由题意，点的坐标为，即， ∵点在双曲线（）上， ∴； 【小问2详解】 解：由题意，，即，轴，轴， 由（1）可知：， ∴当时，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； ∴， ∴. 22. 已知抛物线（、为常数），过点． （1）用含的式子表示：______； （2）若对于任意实数，不等式恒成立，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，将直线向上平移个单位，直线与抛物线交于、两点，其中，且满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式，并变形即可； （2）根据题意，原不等式等价于抛物线在直线的上方或者相切，结合两者都过点，故抛物线与直线相切，联立后，由计算出即可； （3）先写出平移后的直线解析式，再与抛物线联立，由韦达定理可得，，利用完全平方公式变形可得，则．由直线解析式可得，因此，解不等式即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ， 变形，得； 【小问2详解】 解：∵恒成立， ∴抛物线不低于直线， 又∵直线也过点， ∴该直线与抛物线有且只有一个交点， 由（1）可得，， 联立抛物线与直线，并消去，得， ， 整理，得， 根据题意，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：由平移规律可得，平移后的直线的解析式为， 联立抛物线与直线，并消去得， ， 整理，得， 判别式， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∵， ∴， ∵点、在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 23. 综合与探究 在一次数学课上，老师给出了一道问题的一部分，在等腰中，，，点D是直线上一个动点．连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．请同学们在此基础上，添加条件，并提出问题、解决问题． （1）【观察证明】小明组的同学添加的条件是：如图1，令，，连接，观察发现一个结论：，，请证明这一结论； （2）【探索发现】小亮组的同学在（1）的基础上提出了一个新问题：当时，的长为多少？请写出解答过程． （3）【拓展应用】经过前面的讨论，老师提出一个思考问题，如图2，令，，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：由题意得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：的长为或； 当点在线段延长线上时， 由题意得，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， 同理可得， ∴， ∴； 综上：当时，的长为或； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质以及已知条件证明，再由全等三角形的性质以及等腰三角形的性质证明即可； （2）先由勾股定理求解，然后求出，再分两种情况求解即可； （3）先证明为等边三角形，则，，然后证明，再分两种情况讨论，利用锐角三角函数和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴为等边三角形， ∴，， 当点在线段上时， 由旋转可得，， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴ 设 ∴， ∵ ∴， 解得，（舍去）， ∴； 当点在线段延长线上时， 由旋转可得，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，， ∴ 设 ∴， ∵ ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平调研检测（二）数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分．考试时间为120分钟． 2．答卷前务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题卡规定位置上．考试结束，本试卷和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案．不涂在答题卡上，答在试卷上无效． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定的区域内，在试卷上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案． 第Ⅰ卷（选择题 30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中最小的数是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 2. 以下四种传统纹样中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点E在、之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同，如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟中恰有1只雄鸟的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点、点在反比例函数的图象上，点在轴上，连接交轴于点，延长交轴于点．已知点，，，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移n（）个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．例如，对于上一点，先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，也在图象上，则称点为图象的“2倍平点”．则函数图象的“5倍平点”的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 11. 若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ________． 12. 分解因式：__________． 13. 已知m是方程的实数根，则的值为______． 14. 如图，是的直径，与弦交于点，，，，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，，的半径为3且与两边都相切，点P为圆上一动点，分别作，，令，则的最大值与最小值的差为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：①分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于E，F两点：②连接，分别交，于点M，N，连接，． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）当且时，求的度数． 18. 为弘扬爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明・缅怀英烈”知识竞赛活动，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）， 下面给出了部分信息： 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89； 九年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 55.3 九年级 85.2 86 b 62.1 八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______，m＝______； （2）该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由．（至少从两个不同的角度说明理由） 19. 如图，为的直径，点P在的延长线上，点C为上一点，过点O作的垂线与的延长线相交于点D，与半圆O相交于点F，连接，与相交于点E，． （1）求证：与相切； （2）若半圆O的半径长为4，，求的长． 20. 限速防超是最基本的交通规则．如图所示，有一条东西走向的高速公路，在同一水平面内，与公路距离的正南方向，有一高频高清摄像头P，已知该摄像头P的最小探测角为北偏东方向，最大探测角为北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求图中P、B两点的直线距离； （2）若交通规则要求测速区域的范围为时，摄像效果才清晰，请判断该摄像头P的安装距离是否符合要求．（结果保留到1位小数） 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线（）交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，． （1）求k的值； （2）求的面积； （3）保持直尺左侧刻度端不动，将直尺右侧裁掉一定的宽度后时，求此时点C的坐标． 22. 已知抛物线（、为常数），过点． （1）用含的式子表示：______； （2）若对于任意实数，不等式恒成立，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，将直线向上平移个单位，直线与抛物线交于、两点，其中，且满足，求的取值范围． 23. 综合与探究 在一次数学课上，老师给出了一道问题的一部分，在等腰中，，，点D是直线上一个动点．连接，将绕点A逆时针旋转后得到，连接．请同学们在此基础上，添加条件，并提出问题、解决问题． （1）【观察证明】小明组的同学添加的条件是：如图1，令，，连接，观察发现一个结论：，，请证明这一结论； （2）【探索发现】小亮组的同学在（1）的基础上提出了一个新问题：当时，的长为多少？请写出解答过程． （3）【拓展应用】经过前面的讨论，老师提出一个思考问题，如图2，令，，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $