精品解析：2026年湖北荆门市外语学校九年级五月独立作业数学试卷

五月独立作业数学试卷 （考试时间120分钟，总分120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项记录了我省四个城市某年某月份的最低平均气温，其中最低平均气温最低的是（ ） A. 荆门℃ B. 荆州℃ C. 襄阳2℃ D. 宜昌4℃ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 利用有理数大小比较的方法比较四个气温即可得到答案． 【详解】解：∵ 四个城市的最低平均气温分别为： ，，，，且，，， ∴， ∴ ， ∴ 最低平均气温最低的是荆门， 故选：A． 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，根据从左边看到的图形，即可求解． 【详解】解：该几何体从左面看到的平面图形是： 故选：B． 3. 下列各式的计算结果与相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法及幂的乘方，逐一计算即可． 【详解】解：， A．，故本选项不符合题意； B．与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得出，再借助平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 一个口袋中装有大小和形状都相同的两个红球和一个黄球，那么“从中任意摸出一个球，得到红球”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义，一定条件下必然发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件，可能发生也可能不发生的是随机事件，结合口袋中球的颜色情况判断即可. 【详解】解：∵口袋中装有大小和形状相同的个红球和个黄球， ∴从中任意摸出一个球，可能摸到红球，也可能摸到黄球，即摸出红球这个事件可能发生也可能不发生， ∴“从中任意摸出一个球，得到红球”是随机事件. 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】竿长x尺，绳索长y尺，根据“绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．”列出方程组，即可求解． 【详解】解：竿长x尺，绳索长y尺，根据题意得： ． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（            ） A.              B.        C.          D.   【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 8. 如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质得，由平行线的性质得，，则，即可求解． 【详解】解：， ∴． ∵， ∴，， ∴． 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，理解题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式是解题的关键． 根据题意求出的阻值与空气中甲醛质量浓度的函数关系式为，再根据反比例函数的性质，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：由图②得，的阻值与空气中甲醛质量浓度成反比例函数关系， 设反比例函数关系式为， 代入，得， ∴反比例函数关系式为， ∵， ∴的阻值随着空气中甲醛质量浓度的增大而减小， ∴空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大， 故A选项说法正确，不符合题意； 当时，则， 解得， ∵， ∴当时，甲醛检测仪不会报警， 故B选项说法错误，符合题意； 当时，则， 故C选项说法正确，不符合题意； 当时，则， ∴当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，是射线上一点，连接，过点作交射线于点．设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，证明，运用对应边成比例，得出与的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：当点在线段上时，即， ∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． ∴． ． ∴． ． 如图，当点在线段的延长线上时，即， ∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． ∴． ． ∴． ． ∴关于的函数图象大致是C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 陆游在《书枕屏》中写道：“西域兜罗被、南番笃耨香”，宋时笃耨香每两卖200贯，则买两笃耨香共需____________贯． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，直接用笃耨香的单价乘以重量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，买两笃耨香共需贯， 故答案为：． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可知，共有种等可能的选择结果，其中选中“荆楚文化”的结果只有种， 根据概率公式可得，选中“荆楚文化”的概率是． 13. 一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据，一次函数图象不过第三象限，可得，进而即可求解，掌握一次函数的图象特征是解题的关键． 【详解】解：∵，一次函数图象不过第三象限， ∴， ∴的值可以为， 故答案为：． 14. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 15. 如图，在菱形中，点是的中点，连接交于点，点是的中点，连接并延长交于点． （1）___________； （2）若，，则的长为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由菱形性质得且，利用求出，从而得． （2）先由菱形与等边三角形性质求出，，再过点作构造相似三角形求出，最后解直角三角形求． 【详解】解：（1）∵ 四边形为菱形， ∴ ，， ∵ 点为中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）∵ 四边形为菱形，，， ∴ ，， ∵ ，， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 由（1）知， 过点作交于点， ∵ 点为中点，， ∴， ∴为中点，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 过点作于点， 在中，，， ∴ ， ， ∴ ， 在中， ， ∴ ． 三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 17. 已知如图，相交于点，，，求证：． 【答案】∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】证明四边形为平行四边形，即可求证． 【详解】略 18. 综合与实践 【活动主题】某班级同学在老师的带领下前往某水库开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算水库宽度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点处测得，，， 【数据信息】用计算器算得如下参考数据： ，，，，， 【完成任务】请你根据以上数据信息，求水库宽度的长． 【答案】水库宽度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作于点，分别解，，求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴， 在中，，， ，， ， 在中，，，， ， 答：水库宽度约为． 19. 某公司推出了两款人工智能（简称：）聊天机器人．有关人员开展了、B两款聊天机器人的使用满意度评分测验（百分制），并从中各随机抽取了20份，对数据进行收集、整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 收集整理 抽取的对款聊天机器人的评分数据中满意的数据： 84，86，86，87，88，89． 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，79，85，86，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 描述分析 抽取的对A款聊天机器人的评分扇形统计图 抽取的对两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 98 请根据以上信息，回答下列问题； （1）上述图表中的值为___________，的值为___________，的值为___________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人会更受用户喜爱？请判断并说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有480人对A款聊天机器人进行评分，600人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的人数． 【答案】（1）15，162，88.5 （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由见解析 （3）138 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键 （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出c值，由乘以“非常满意”占比，即可得出b值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可； （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案； 【小问1详解】 解：∵A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， ∴“非常满意”所占圆心角为：， ∴； “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”与“比较满意”共有人， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88、89， 中位数为， ， 故答案为：15，162，88.5； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88.5分比B款的中位数87分高， A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有人． 20. 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； （2）再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； （3）若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干的图形，分别计算5层总数即可； （2）由题意可设智算组共用去棋子的数量为，再令，两式相加即可求出，同理可求出数形组的棋子数量； （3）设智算组共摆了层，根据题意列出一元二次方程求解即可. 【小问1详解】 解：由题意可知，若两组都摆放5层， 智算组共用去棋子的数量为枚， 数形组共用去棋子的数量为枚． 【小问2详解】 解：由题意可知，若摆放层， 可设智算组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加可得，， 智算组共用去棋子的数量为枚； 可设数形组共用去棋子的数量为， 令， 两式相加， 数形组共用去棋子的数量为枚． 【小问3详解】 解：设智算组共摆了层， 由题意可得，， 整理化简可得，， 因式分解可得，，解得或（舍）， 一盒棋子的数量为枚 21. 如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质得，结合直角三角形的性质证，由等角对等边证明即可； （2）连接，作于点，利用三线合一得，由垂径定理得，根据证明得，设，用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，作于点，如图所示， 由（1）得， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得：（负根舍去）， ，，． 22. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 【答案】（1）甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 （2）购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购买甲型机器人台，6台机器人每天服务客人的人数为，根据题意列出不等式组求出的范围，列出一次函数，根据一次函数的性质，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲型机器人的单价是万元，乙型机器人的单价是万元， 依题意，得 解得 答：甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元． 【小问2详解】 解：设购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台． 依题意，得 解得． 设6台机器人每天服务客人的人数为， 则． ， 随的增大而增大， ∴当时，取得最大值 ∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大. 23. 在学完正方形的性质和判定后，某数学兴趣小组对正方形进行了再探究． 【探究】如图1，如果点分别在上，且，垂足为，则（不需要证明） （1）如图2，如果点分别在上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【应用】 （2）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于．若正方形的边长为12，，则__________． （3）如图4，在正方形中，点分别在上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19．求正方形的边长． 【拓展】 （4）如图5，在正方形中，若边长为4，是的中点，分别是上的动点，且，求的最小值．（直接写出结果） 【答案】（1）． 证明： 如图，过点作交于点， 四边形为正方形， ，． ，即， 四边形为矩形， ，． ，， ， ， 在和中， ， ， ． （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）过点作，由正方形的性质，利用“”证明，进而可得． （2）连接，由折叠得，由（1）得，再由勾股定理计算即可． （3）先设，得到，再利用推出，结合空白部分面积得出正方形面积两种表达式，进而联立方程求解，最终算出正方形边长． （4）通过作，令，构造平行四边形，将转化为，利用三角形三边关系得出当共线时取得最小值，进而根据勾股定理求出最小值为． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，连接， 将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕为， ，且 由（1）同理可证得， 正方形的边长为12，即， 在上，． 【小问3详解】 解：设，由图可得 由题，即， 在正方形中，点分别在上，且， 由（1）同理可得， ，即， ， ． 空白部分面积为19， 正方形面积为． 正方形面积也为， ， 将代入上式，整理得， 解得或（舍）， ， 正方形的边长． 【小问4详解】 解：如图，过点作，令，连接，的交点为， ，， ， ，且， 四边形为平行四边形， ， ， 当共线时，取得最小值，最小值为． 正方形边长为4，是的中点， ． 由（1）同理可得， ，且， ， 即的最小值为． 【点睛】本题围绕正方形展开，从探究线段相等关系出发，到应用折叠性质、结合面积求解边长，再到拓展求线段和的最小值，综合考查正方形性质、全等三角形、折叠等知识及转化、方程等思想方法． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）的对称轴为直线，点在这个抛物线上，且点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点的坐标． （2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为． ①当是以为底的等腰三角形时，求的值． ②将此抛物线两点之间的部分（包括两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式． （3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围．（自己画出符合题意的示意图分析作答） 【答案】（1）， （2）①；②或； （3）或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求得抛物线的解析式，再将解析式化成顶点式，即可求解； （2）①先根据等腰三角形的性质求得A、B、C三点的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； ②分两种情况讨论，当点A为最高点和点B为最高点时，求得m的取值范围，再计算纵坐标的差h即可解答； （3）分情况讨论，分别画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为， ∵， ∴顶点C的坐标为； 【小问2详解】 解：①当时，， ∴， 当是以为底的等腰三角形时， 则， ∵点C在抛物线的对称轴上， ∴点A、点B关于直线对称， ∴， ∵点A的横坐标为m， ∴，解得：； ②∵，，点在点的左侧， ∴， ∴， ∵顶点在图象上， ∴，顶点为最低点， ∴， ∴当点A为最高点时，则，即时， 则； 当点B为最高点时，则，即时， 则， 综上，h与m之间的函数关系式为，或； 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∴轴，轴，且点在直线上运动， ∴， ∵以为顶点构造矩形，则矩形只能是， 联立，解得或， 当两点重合时，则，解得； ①当时，如图： 此时抛物线与矩形有4个交点不符合题意； ②当时，如图： 此时抛物线与矩形有3个交点，满足题意； ③当时，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； ④当时，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； 当时，如图， 此时抛物线与矩形有1个交点，不符合题意； ⑤当时，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； ⑥当点恰好在抛物线上时，如图，此时，解得或（舍去）； 此时抛物线与矩形有3个交点，满足题意； ⑦当时，如图， 此时抛物线与矩形有4个交点，不符合题意； ⑧当时，此时抛物线的顶点恰好在上，如图， 此时抛物线与矩形有3个交点符合题意； ⑨当时，如图， 此时抛物线与矩形有2个交点，不符合题意； 综上：或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五月独立作业数学试卷 （考试时间120分钟，总分120分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列选项记录了我省四个城市某年某月份的最低平均气温，其中最低平均气温最低的是（ ） A. 荆门℃ B. 荆州℃ C. 襄阳2℃ D. 宜昌4℃ 2. 上马石是古人上下马的工具，形状如图①．它可以看作图②所示的几何体，该几何体从左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式的计算结果与相等的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个口袋中装有大小和形状都相同的两个红球和一个黄球，那么“从中任意摸出一个球，得到红球”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 无法确定 6. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载：绳索量竿问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子去量竿，却比竿子短一托”．其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，则符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（            ） A.              B.        C.          D.   8. 如图，已知是的直径，为的弦，，连接，．分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，并使两弧交于一点．直线交于点，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，甲醛检测仪会报警 C. 当时，的阻值为 D. 当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于 10. 如图，在正方形中，，是射线上一点，连接，过点作交射线于点．设，，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 陆游在《书枕屏》中写道：“西域兜罗被、南番笃耨香”，宋时笃耨香每两卖200贯，则买两笃耨香共需____________贯． 12. 长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述三种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“荆楚文化”的概率是___________． 13. 一次函数图象不过第三象限，写出满足条件的的一个值_______． 14. 计算的结果是________． 15. 如图，在菱形中，点是的中点，连接交于点，点是的中点，连接并延长交于点． （1）___________； （2）若，，则的长为___________． 三、解答题（共9题，共75分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 已知如图，相交于点，，，求证：． 18. 综合与实践 【活动主题】某班级同学在老师的带领下前往某水库开展综合实践活动． 【项目背景】其中一个项目是测算水库宽度（如图所示）． 【工具准备】皮尺、测角仪、计算器等． 【测量过程】在点处测得，，， 【数据信息】用计算器算得如下参考数据： ，，，，， 【完成任务】请你根据以上数据信息，求水库宽度的长． 19. 某公司推出了两款人工智能（简称：）聊天机器人．有关人员开展了、B两款聊天机器人的使用满意度评分测验（百分制），并从中各随机抽取了20份，对数据进行收集、整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意）．下面给出了部分信息： 收集整理 抽取的对款聊天机器人的评分数据中满意的数据： 84，86，86，87，88，89． 抽取的对款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，79，85，86，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 描述分析 抽取的对A款聊天机器人的评分扇形统计图 抽取的对两款聊天机器人的评分统计表 聊天机器人 平均数 中位数 众数 非常满意所占百分比 A 88 96 B 88 87.5 98 请根据以上信息，回答下列问题； （1）上述图表中的值为___________，的值为___________，的值为___________． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人会更受用户喜爱？请判断并说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次测验中，有480人对A款聊天机器人进行评分，600人对B款聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的人数． 20. 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给智算组和数形组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 智算组的同学按照图①所示的方式摆放，数形组的同学按照图②所示的方式摆放． （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚； （2）再探究一般情况，若摆放层，智算组共用去棋子的数量为___________枚，数形组共用去棋子的数量为___________枚（用含有的式子表示）； （3）若智算组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，数形组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比智算组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚？ 21. 如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 在2026年春晚舞台，宇树科技的与两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相．某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元． （1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？ （2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和15人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？ 23. 在学完正方形的性质和判定后，某数学兴趣小组对正方形进行了再探究． 【探究】如图1，如果点分别在上，且，垂足为，则（不需要证明） （1）如图2，如果点分别在上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【应用】 （2）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于．若正方形的边长为12，，则__________． （3）如图4，在正方形中，点分别在上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为19．求正方形的边长． 【拓展】 （4）如图5，在正方形中，若边长为4，是的中点，分别是上的动点，且，求的最小值．（直接写出结果） 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）的对称轴为直线，点在这个抛物线上，且点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式，并写出顶点的坐标． （2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为． ①当是以为底的等腰三角形时，求的值． ②将此抛物线两点之间的部分（包括两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式． （3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围．（自己画出符合题意的示意图分析作答） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $