2.1.1 有理数的加法运算律 （第10课时）学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“有理数的加法运算律”，通过回忆小学加法交换律和结合律，引导学生思考引入负数后运算律是否成立，结合计算实例与数轴验证，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解运算律的内涵。 资料突出核心素养培养，通过合作探究、典型例题与变式训练，提升学生运算能力，借助数轴验证和归纳过程发展逻辑推理与数学抽象能力。分层达标检测、错误诊所及中考链接设计，助力学生灵活运用运算律简化计算，培养数学思维与应用意识。

2.1.1 有理数的加法运算律 （第10课时）导学案 2026--2027学年人教版七年级数学上册 班级：________ 姓名：________ 日期：________ 一、学习目标 【知识技能】 1. 理解有理数加法的交换律和结合律，能用字母正确表示 2. 会运用运算律简化有理数加法的计算 3. 能根据数据特点灵活选择运算律进行简便计算 【核心素养】 1. 运算能力：通过对运算律的归纳，培养数感与运算能力 2. 逻辑推理：通过数轴验证，体会从特殊到一般的推理过程 3. 数学抽象：从具体实例中抽象出加法运算律 二、学习重难点 【重点】加法交换律和结合律的理解与运用 【难点】灵活运用运算律进行分组凑整，简化计算 三、情境导入 【回忆】 小学我们学过哪些加法运算律？请填空： 加法交换律：a + b = ______________ 加法结合律：(a + b) + c = ______________ 【思考】 在小学，加法交换律和结合律只涉及正数和0。引入负数后，这些运算律还成立吗？ 【验证】 请计算：(-3) + (+5) = ______ (+5) + (-3) = ______ 它们相等吗？ 学法提示：通过数轴验证或具体计算，检验运算律在有理数范围内是否依然成立。 四、合作探究 探究点1：加法交换律 图1 用数轴验证加法交换律：(-3)+(+5) = (+5)+(-3) 问题1：图1中，两种不同的走法，最终都停在什么位置？结果相等吗？ ________ 问题2：从数轴上观察，交换两个加数的位置，和是否改变？这说明了什么？ ________ 【定律归纳】加法交换律： a + b = b + a 也就是说，交换两个加数的位置，和不变。 探究点2：加法结合律 图2 用数轴验证加法结合律：[(+3)+(-5)]+(+2) = (+3)+[(-5)+(+2)] 问题3：图2中，方式一先算什么？方式二先算什么？结果相等吗？ ________ 问题4：从计算过程看，改变加法的运算顺序，结果改变了吗？这说明了什么？ ________ 【定律归纳】加法结合律： (a + b) + c = a + (b + c) 也就是说，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 探究点3：运用运算律简化计算 【问题】计算：(-8) + (+3) + (-2) + (+7) 方法一（直接计算）： (-8)+(+3)+(-2)+(+7) = (-5)+(-2)+(+7) = (-7)+(+7) = 0 方法二（运用运算律）： (-8)+(+3)+(-2)+(+7) = [(-8)+(-2)] + [(+3)+(+7)] （运用了加法______律） = (-10) + (+10) = 0 问题5：对比两种方法，方法二巧妙之处在哪里？ ________ 【凑整技巧】 技巧1：正负配对 如：(-8)+(+3)+(-2)+(+7)中，(-8)和(-2)配对，(+3)和(+7)配对 技巧2：凑整求和 如：(-10)+(+10)=0，(+3)+(+7)=+10，(-8)+(-2)=-10 技巧3：同号分组 把所有正数放一起计算，所有负数放一起计算，再求总和 图3 温度变化情境中运算律的应用 五、典型例题 例1 计算：16 + (-25) + 24 + (-35) 思路：运用交换律和结合律，将正负数分别结合，再求总和。 解：原式 = [16 + 24] + [(-25) + (-35)] = 40 + (-60) = -20 例2 计算： + () + + () 思路：分数相加时，注意同分母分数凑整。 解：原式 = [ + ()] + [() + ] = 0 + () = 例3 某水库的水位变化如下（单位：米）：+3.2，-1.5，+2.8，-4.6。问：该水库的水位是上升还是下降？变化了多少米？ 思路：将所有变化量相加，正数表示上升，负数表示下降。 解：(+3.2) + (-1.5) + (+2.8) + (-4.6) = [(+3.2)+(+2.8)] + [(-1.5)+(-4.6)] = (+6) + (-6.1) = -0.1（米） 答：该水库的水位下降了0.1米。 【变式训练】 1. 计算：(-4) + (+9) + (-6) + (+11) = ______ ________ 2. 计算： + () + + () = ______ ________ 3. 计算：(-0.5) + (+2.25) + (+4.75) + (-5.5) = ______ ________ 4. 某球队连续4场比赛的净胜球为：+2、-1、+3、-4。问：该球队4场比赛的净胜球总数是多少？ ________ 六、错误诊所 下列说法是否正确？请判断并说明理由。 1. "加法交换律只适用于正数，负数不适用"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 2. "a+b+c = a+(b+c) 任何时候都成立"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 3. "计算 8+(-5)+(-8)+5 时，可以配对成 (8+5)+[(-5)+(-8)]=13+(-13)=0"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 4. "三个数相加，先把后两个数相加，再和第一个数相加，结果不变"（ ） 判断：_____ 理由：___________________________________ ________ 学法提示：运算律是计算的工具，但要注意：①运算律对所有有理数都成立；②结合律是改变运算顺序，不是改变运算符号。 七、达标检测 A组 基础巩固（必做） 1. 下列算式中，运用加法交换律的是（ ） A. A. 3+5 = 5+3 B. B. (3+2)+4 = 3+(2+4) C. C. 3+0 = 3 D. D. 3×5 = 5×3 2. 下列算式中，运用加法结合律的是（ ） A. A. a+b = b+a B. B. (a+b)+c = a+(b+c) C. C. a+0 = a D. D. a+(-a) = 0 3. 计算：(-7)+(+12)+(-8)+(+3) = ______ 4. 计算：(+15)+(-20)+(+5)+(-10) = ______ 5. 计算：(-25)+(+17)+(+25)+(-37) = ______ B组 能力提升（选做） 6. 计算： + () + () + () = ______ ________ 7. 计算：(-0.75) + (+4.25) + (+0.5) + (-3.5) + (+0.25) + (-1.25) = ______ ________ 8. 某股票连续5天的涨跌记录为（+3元）、（-2元）、（+5元）、（-1元）、（-4元）。若最初股价为10元，则5天后股价为多少元？ ________ 9. 计算：1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) + ... + 99 + (-100) = ______（提示：找规律配对） ________ C组 拓展探究（挑战） 10. 观察下列等式：1 - 2 = -1，1 - 2 + 3 - 4 = -2，1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = -3……（1）照此规律，第5个等式右边的结果是多少？（2）第n个等式右边结果是多少？ ________ ________ 11. 设 a、b、c 为有理数，定义新运算：a⊕b = a + b - 1。（1）验证：⊕运算是否满足交换律？（2）验证：⊕运算是否满足结合律？ ________ ________ 中考链接 1. （2024·山东青岛）计算：(-24) + (+16) + (-6) + (+14) = ______ 2. （2024·江苏南京）若实数 a、b 满足 a + b = 5，且 a = -3，则 b = ______。 3. （2025·模拟预测）用运算律计算： + () + + () + = ______ 学法提示：中考中运算律常与分数、小数混合运算结合，核心是分组凑整。 八、课堂小结 【知识结构图】 运算律 字母表达式 含义 作用 交换律 a+b=b+a 交换位置，和不变 调换次序 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 改变结合顺序，和不变 改变运算顺序 综合应用 a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c) 同时使用两种运算律 简化计算 【简便计算策略】 1. 同号优先：将正数、负数分别结合相加 2. 凑整配对：寻找能凑成整数的数组 3. 相反数配对：互为相反数的两个数结合 4. 分数通分：同分母分数先结合 【我的收获】 1. 加法交换律：________________；加法结合律：________________ ________ 2. 本节课我学会了用运算律简化计算的方法：____________________ ________ 3. 我印象最深的题目是：____________________________________ ________ 九、课后反思 1. 本节课我学会了____________________________________________ ________ 2. 我还不明白的地方是______________________________________ ________ 3. 我容易出错的地方是______________________________________ ________ 4. 给本节课打个分（1-10分）：______分，我会继续努力的！ ________ 参考答案 情境导入答案 回忆. 加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 验证. (-3)+(+5)=+2；( +5)+(-3)=+2；两者相等，说明运算律在有理数范围内成立 合作探究答案 探究1. 两种走法都停在数轴上+2的位置，结果相等 探究2. 交换两个加数的位置，和不变——验证了加法交换律 a+b=b+a 成立 探究3. 方式一：先算(+3)+(-5)=-2，再加(+2)=0；方式二：先算(-5)+(+2)=-3，再加(+3)=0 探究4. 改变运算顺序，结果不变——验证了加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 成立 探究5. 方法二将正数、负数分别配对相加，避免了逐个计算，更加简便 典型例题答案 例1. 原式 = [16+24] + [(-25)+(-35)] = 40+(-60) = -20 例2. 原式 = [ + (-)] + [(-)+] = 0 + (-) = - 例3. 水位变化 = (+3.2)+(-1.5)+(+2.8)+(-4.6) = -0.1（米），下降0.1米 变式1. (-4)+9+(-6)+11 = [(-4)+(-6)] + [9+11] = -10+20 = 10 变式2. 原式 = [ + ] + [(-)+(-)] = 1 + (-1) = 0 变式3. (-0.5)+2.25+4.75+(-5.5) = [(-0.5)+(-5.5)] + [2.25+4.75] = -6+7 = 1 变式4. 净胜球 = 2+(-1)+3+(-4) = [2+3] + [(-1)+(-4)] = 5+(-5) = 0 错误诊所答案 1. 错误！加法交换律对所有有理数都成立，不仅限于正数。 2. 正确！加法结合律 (a+b)+c = a+(b+c) 对任何有理数 a、b、c 都成立。 3. 正确！配对后 8+5=13，(-5)+(-8)=-13，13+(-13)=0，这是正确的简化方法。 4. 正确！这就是加法结合律的另一种表述：(a+b)+c = a+(b+c)。 达标检测答案 A1. A（3+5=5+3，只交换了加数位置） A2. B（改变了运算顺序，先算后两个数） A3. (-7)+12+(-8)+3 = [(-7)+(-8)] + [12+3] = -15+15 = 0 A4. 15+(-20)+5+(-10) = [15+5] + [(-20)+(-10)] = 20+(-30) = -10 A5. (-25)+17+25+(-37) = [(-25)+25] + [17+(-37)] = 0+(-20) = -20 B6. 原式 = [ + ] + [(-)+] = 1 + = B7. 原式 = [(-0.75)+0.25] + [4.25+0.5] + [(-3.5)+(-1.25)] = -0.5 + 4.75 + (-4.75) = -0.5 B8. 股价变化 = 3+(-2)+5+(-1)+(-4) = 1（元）5天后股价 = 10 + 1 = 11（元） B9. 配对：(1+(-2)) + (3+(-4)) + ... + (99+(-100)) = (-1)×50 = -50 C10. （1）第5个等式：1-2+3-4+5-6+7-8 = -5（2）第n个等式右边结果 = -n C11. （1）a⊕b = a+b-1，b⊕a = b+a-1，所以 a⊕b = b⊕a，满足交换律（2）(a⊕b)⊕c = (a+b-1)+c-1 = a+b+c-2 a⊕(b⊕c) = a+(b+c-1)-1 = a+b+c-2 所以 (a⊕b)⊕c = a⊕(b⊕c)，满足结合律 中考链接答案 1. (-24)+16+(-6)+14 = [(-24)+(-6)] + [16+14] = -30+30 = 0 2. 由 a+b=5，且 a=-3，得 b=5-(-3)=8 3. 原式 = [++] + [(-)+(-)] = [+1] + (-1) = 1.5 - 1 = 0.5 = 学科网（北京）股份有限公司 $