6.2平面向量的运算-精品教学课件2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的加法、减法、数乘及数量积运算，通过复习向量基本概念导入，逐步展开定义法则、几何意义、运算律及应用，构建从基础到综合的学习支架。 其亮点在于结合图形直观与例题变式，通过三角不等式推导、轮船位置分析等实例，培养学生几何直观与运算能力，渗透数学思维。学生能深化对向量运算的理解，教师可借助分层练习提升教学效率。

6.2.2 向量的减法运算 P23 6.2.3 向量的数乘运算 P43 6.2.4 向量的数量积 P74 6.2.1 向量的加法运算 P2 6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 |a|＋|b| b＋a |λ||a| (λμ)a λa＋μa λa＋λb (一)教材梳理填空 1．向量加法的定义及运算法则 定义 求_____________的运算，叫做向量的加法 法则 三角形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，则eq \o(OB,\s\up17(―→))＝____________ 结论 向量eq \o(OB,\s\up17(―→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \o(OB,\s\up17(―→)) 图形 两个向量和 a＋b 法则 平行 四边 形法 则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b.以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则eq \o(OC,\s\up17(―→))＝eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(OB,\s\up17(―→))＝a＋b 结论 对角线eq \o(OC,\s\up17(―→))就是a与b的和 图形 规定 零向量与任一向量a的和都有a＋0 ＝_____＝_____ 0＋a a 2．三角不等式：|a＋b|≤_______，当且仅当a，b方向相同时等号成立． 3．向量加法的运算律 运算律 结合律 a＋b＝______ 交换律 (a＋b)＋c＝_________ a＋(b＋c) (1)两个向量相加结果可能是一个数量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× (二)基本知能小试 1．判断正误 2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为(　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 解析：由向量加法的交换律与结合律可知，所给的5个向量都与a＋b＋c相等． 答案：D 3．已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是(　　) A.eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(CA,\s\up17(―→)) B.eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AC,\s\up17(―→))＝eq \o(BC,\s\up17(―→)) C.eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→)) D.eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(DC,\s\up17(―→)) 解析：由加法的平行四边形法则可知eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→)). 答案：C 题型一　向量的加法运算及其几何意义 [学透用活] (1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； (2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． [典例1]　(1)如图①所示，求作向量和a＋b； (2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c. [解]　(1)首先作向量eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，然后作向量eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，则向量eq \o(OB,\s\up17(―→))＝a＋b. 如图所示． (2)法一：三角形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up17(―→))＝ a，再作向量eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，则得向量eq \o(OB,\s\up17(―→))＝a＋b，然后作向量eq \o(BC,\s\up17(―→))＝c，则向量eq \o(OC,\s\up17(―→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二：平行四边形法则 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq \o(OA,\s\up17(―→)) ＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b，eq \o(OC,\s\up17(―→))＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则eq \o(OD,\s\up17(―→))＝eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(OB,\s\up17(―→))＝a＋b.再以OD，OC为邻边作 ▱ODEC，连接OE，则eq \o(OE,\s\up17(―→))＝eq \o(OD,\s\up17(―→))＋eq \o(OC,\s\up17(―→))＝a＋b＋c即为所求． [方法技巧] 向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． [对点练清] 如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. 解：作法：在平面内任取一点O，如图所示， 作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，eq \o(BC,\s\up17(―→))＝c，则eq \o(OC,\s\up17(―→))＝a＋b＋c. 题型二　向量的加法运算律 [学透用活] 向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和．这称为向量求和的多边形法则． (2)首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0. [典例2]　化简：(1)eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))； (2)eq \o(DB,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))； (3)eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(DF,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋FA. [解]　(1)eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→)). (2)eq \o(DB,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(DB,\s\up17(―→))＝eq \o(BD,\s\up17(―→))＋eq \o(DB,\s\up17(―→))＝0. (3)eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(DF,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(FA,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(DF,\s\up17(―→))＋eq \o(FA,\s\up17(―→))＝eq \o(AF,\s\up17(―→))＋eq \o(FA,\s\up17(―→))＝0. [方法技巧] 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． [对点练清] 1．向量(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→)))＋(eq \o(BO,\s\up17(―→))＋eq \o(BM,\s\up17(―→)))＋eq \o(OP,\s\up17(―→))化简后等于(　　) A.eq \o(BC,\s\up17(―→))　　　　　　　　　 B.eq \o(AB,\s\up17(―→)) C.eq \o(AC,\s\up17(―→)) D.eq \o(AM,\s\up17(―→)) 解析： (eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→)))＋(eq \o(BO,\s\up17(―→))＋eq \o(BM,\s\up17(―→)))＋eq \o(OP,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BO,\s\up17(―→))＋eq \o(OP,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→))＋eq \o(BM,\s\up17(―→))＝eq \o(AM,\s\up17(―→)). 答案：D 2．已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(DC,\s\up17(―→))|＝________. 解析：|eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(DC,\s\up17(―→))|＝|eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(DC,\s\up17(―→))|＝|eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \o(AC,\s\up17(―→))|＝2|eq \o(AC,\s\up17(―→))|＝2eq \r(2). 答案：2eq \r(2) 题型三　向量加法的实际应用 [学透用活] 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用，如涉及速度、力、位移等问题的和时就可以用向量的加法解决，解决这一类问题的关键是在理解题意的基础上，准确作出并应用图象． [典例3]　轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处，求此时轮船与A港的相对位置． [解]　如图所示，设eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(BC,\s\up17(―→))分别是轮船的两次 位移，则eq \o(AC,\s\up17(―→))表示最终位移，且eq \o(AC,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→)) . 在Rt△ABD中，|eq \o(DB,\s\up17(―→))|＝20 km，|eq \o(AD,\s\up17(―→))|＝20eq \r(3) km. 在Rt△ACD中，|eq \o(AC,\s\up17(―→))|＝eq \r(|\o(AD,\s\up17(―→))|2＋|\o(DC,\s\up17(―→))|2)＝40eq \r(3) km，∠CAD＝60°，即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港40eq \r(3) km处． eq \a\vs4\al([方法技巧])　应用向量解决平面几何问题的基本步骤 [对点练清] 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 解：如图所示，设eq \o(CE,\s\up17(―→))，eq \o(CF,\s\up17(―→))分别表示A，B所受的力，10 N的重力用eq \o(CG,\s\up17(―→))表示，则eq \o(CE,\s\up17(―→))＋eq \o(CF,\s\up17(―→))＝eq \o(CG,\s\up17(―→)). 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. ∴|eq \o(CE,\s\up17(―→))|＝|eq \o(CG,\s\up17(―→))|cos 30°＝10×eq \f(\r(3),2)＝5eq \r(3)(N)， |eq \o(CF,\s\up17(―→))|＝|eq \o(CG,\s\up17(―→))|cos 60°＝10×eq \f(1,2)＝5(N)． ∴A处所受的力为5eq \r(3) N，B处所受的力为5 N. 6．2．2 向量的减法运算 0 －a －b (一)教材梳理填空 1．相反向量 定义 与向量a长度_______，方向_______的向量，叫做a的相反向量，记作－a 性质 (1)－(－a)＝_____ (2)零向量的相反向量仍是零向量 (3)a＋(－a)＝(－a) ＋a＝_____ (4)如果a，b互为相反向量，那么a＝_______，b＝_______，a＋b＝0 相等 相反 eq \a\vs4\al(a) 2.向量的减法 (1)定义：向量a加上b的_________，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)．求两个向量差的运算叫做向量的减法．减去一个向量相当于加上这个向量的_________． (2)几何意义：a－b可以表示为从向量b的_______指向向量a的________的向量． 相反向量 相反向量 终点 终点 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)相反向量就是方向相反的向量．(　　) (2)向量eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(BA,\s\up17(―→))是相反向量．(　　) (3)－eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \o(BA,\s\up17(―→))，－(－a)＝a.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．若非零向量m与n是相反向量，则下列不正确的是(　　) A．m＝n　　　　　　 　 　 B．m＝－n C．|m|＝|n| D．方向相反 解析：因为m与n的方向相反，所以m与n不相等． 答案：A 3．在△ABC中，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝b，则eq \o(BC,\s\up17(―→))＝(　　) A．a＋b B．a－b C．b－a D．－a－b 解析：eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b－a. 答案：C 题型一　向量的减法运算 [学透用活] 两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点． [典例1]　化简下列式子： (1)eq \o(NQ,\s\up17(―→))－eq \o(PQ,\s\up17(―→))－eq \o(NM,\s\up17(―→))－eq \o(MP,\s\up17(―→))； (2)(eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→)))－(eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(BD,\s\up17(―→)))． [解]　(1)原式＝eq \o(NP,\s\up17(―→))＋eq \o(MN,\s\up17(―→))－eq \o(MP,\s\up17(―→))＝eq \o(NP,\s\up17(―→))＋eq \o(PN,\s\up17(―→))＝eq \o(NP,\s\up17(―→))－eq \o(NP,\s\up17(―→))＝0. (2)原式＝eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→))－eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \o(BD,\s\up17(―→)) ＝(eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(AC,\s\up17(―→)))＋(eq \o(DC,\s\up17(―→))－eq \o(DB,\s\up17(―→)))＝eq \o(CB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＝0. [方法技巧] 1．向量减法运算的3种常用方法 2．向量加减法化简的2种形式 (1)首尾相连且为和； (2)起点相同且为差． 做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用． [对点练清] 化简下列各式： (1)eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(DB,\s\up17(―→))； (2)eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))－eq \o(AD,\s\up17(―→))； (3)eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→))－eq \o(DB,\s\up17(―→)). 解：(1)eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(DB,\s\up17(―→))＝eq \o(CB,\s\up17(―→))＋eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \o(CD,\s\up17(―→)). (2)eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))－eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(DC,\s\up17(―→)). (3)eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→))－eq \o(DB,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(DC,\s\up17(―→))＋eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BD,\s\up17(―→))＋eq \o(DC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→)). 题型二　向量的减法及其几何意义 [学透用活] 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量． [典例2]　(1)四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AD,\s\up17(―→))＝b，eq \o(BC,\s\up17(―→))＝c，则eq \o(DC,\s\up17(―→))＝(　　) A．a－b＋c　　　　 B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c (2)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [解析]　(1)选A　eq \o(DC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(AD,\s\up17(―→))＝(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→)))－eq \o(AD,\s\up17(―→))＝a＋c－b. (2)法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，则eq \o(OB,\s\up17(―→))＝a＋b，再作eq \o(OC,\s\up17(―→))＝c，则eq \o(CB,\s\up17(―→))＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b，则eq \o(OB,\s\up17(―→))＝a＋b，再作eq \o(CB,\s\up17(―→))＝c，连接OC，则eq \o(OC,\s\up17(―→))＝a＋b－c. [方法技巧] 求作两个向量差向量的2种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量． (2)转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． [对点练清] 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b，eq \o(OC,\s\up17(―→))＝c，eq \o(OD,\s\up17(―→))＝d，则a－b＝eq \o(BA,\s\up17(―→))，c－d＝eq \o(DC,\s\up17(―→)). 题型三　利用已知向量表示未知向量 [学透用活] 用已知向量表示其他向量的方法 (1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则． (2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？ (3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则． [典例3]　如图，解答下列各题： (1)用a，d，e表示eq \o(DB,\s\up17(―→))； (2)用b，c表示eq \o(DB,\s\up17(―→))； (3)用a，b，e表示eq \o(EC,\s\up17(―→))； (4)用d，c表示eq \o(EC,\s\up17(―→)). [解]　由题意知，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(BC,\s\up17(―→))＝b，eq \o(CD,\s\up17(―→))＝c，eq \o(DE,\s\up17(―→))＝d，eq \o(EA,\s\up17(―→))＝e，则(1)eq \o(DB,\s\up17(―→))＝eq \o(DE,\s\up17(―→))＋eq \o(EA,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))＝d＋e＋a. (2)eq \o(DB,\s\up17(―→))＝eq \o(CB,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→))＝－eq \o(BC,\s\up17(―→))－eq \o(CD,\s\up17(―→))＝－b－c. (3)eq \o(EC,\s\up17(―→))＝eq \o(EA,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＝a＋b＋e. (4)eq \o(EC,\s\up17(―→))＝－eq \o(CE,\s\up17(―→))＝－(eq \o(CD,\s\up17(―→))＋eq \o(DE,\s\up17(―→)))＝－c－d. [方法技巧] 利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意 (1)一个关键 一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)三点注意 ①注意相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系； ②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律； ③注意在封闭图形中利用多边形法则． [对点练清] 如图所示，在▱ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(AD,\s\up17(―→))＝b，则用a，b表示向量eq \o(AC,\s\up17(―→))和eq \o(BD,\s\up17(―→))分别是(　　) A．a＋b和a－b B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a 解析：由向量的加法、减法得，eq \o(AC,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝a＋b，eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \o(AD,\s\up17(―→))－eq \o(AB,\s\up17(―→))＝b－a.故选B. 答案：B 6．2．3 向量的数乘运算 相反 知识点一　向量的数乘运算 (一)教材梳理填空 1．向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的_____，记作λa，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝_____. (2)λa(a≠0)的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(当λ>0时，与a方向_____；,当λ<0时，与a方向_____.)) 由(1)知，当λ＝0时，λa＝0.由(1)(2)可知，(－1)a＝－a. 向量 数乘 相同 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝_________ . (2)(λ＋μ)a＝_________. (3)λ(a＋b)＝_________. 特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb. 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________. λμ1a±λμ2b (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)λa的方向与a的方向一致．(　　) (2)若λa＝0，则a＝0.(　　) (3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　) A．b＝2a　　　　　　　　　 B．b＝－2a C．a＝2b D．a＝－2b 解析：因为|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，所以b＝2a. 答案：A 3．4(2a－3b)－2(3a＋2b)＝________. 解析：原式＝8a－12b－6a－4b＝2a－16b. 答案：2a－16b 知识点二　向量共线定理 (一)教材梳理填空 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使________. b＝λa (1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.(　　) (2)若b＝λa，则a与b共线．(　　) 答案： (1)×　(2)√ (二)基本知能小试 1．判断正误 2．在四边形ABCD中，若eq \o(AB,\s\up17(―→))＝－eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up17(―→))，则此四边形是(　　) A．平行四边形　 B．菱形　　　 C．梯形　　　 D．矩形 解析：因为eq \o(AB,\s\up17(―→))＝－eq \f(1,2) eq \o(CD,\s\up17(―→))，所以AB∥CD，且AB≠CD，所以四边形ABCD是梯形． 答案：C 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝λeq \o(AO,\s\up17(―→))，则λ＝________. 解析：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))＝2eq \o(AO,\s\up17(―→))，∴λ＝2. 答案：2 题型一　向量的线性运算 [思考探究] 向量的线性运算与代数多项式的运算有什么类似之处？ 提示：向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． [学透用活] [典例1]　(1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝________. (2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________. [解析]　(1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. [答案]　(1)9a　(2)4b－3a [方法技巧] 向量数乘运算的方法 (1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用． (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [对点练清] 1．下列各式计算正确的有(　　) ①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b； ③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b. A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析：①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b. 答案：C 2．若a＝b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)的结果为(　　) A．－a B．－4b C．c D．a－b 解析：3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a. 答案：A 题型二　用已知的向量表示未知的向量 [学透用活] 用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用． [典例2]　如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，eq \o(CA,\s\up17(―→))＝3a，eq \o(CB,\s\up17(―→))＝2b，求eq \o(CD,\s\up17(―→))，eq \o(CE,\s\up17(―→))(用a，b表示)． [解]　∵eq \o(CA,\s\up17(―→))＝3a，eq \o(CB,\s\up17(―→))＝2b， ∴eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \o(CB,\s\up17(―→))－eq \o(CA,\s\up17(―→))＝2b－3a， 又∵D，E为边AB的两个三等分点， ∴eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \f(2,3)b－a， ∴eq \o(CD,\s\up17(―→))＝eq \o(CA,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝3a＋eq \f(2,3)b－a＝2a＋eq \f(2,3)b， eq \o(CE,\s\up17(―→))＝eq \o(CA,\s\up17(―→))＋eq \o(AE,\s\up17(―→))＝3a＋eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up17(―→))＝3a＋eq \f(2,3)(2b－3a)＝a＋eq \f(4,3)b. [方法技巧] 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法： (2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． [对点练清] 1．在△ABC中，若点D满足eq \o(BD,\s\up17(―→))＝2eq \o(DC,\s\up17(―→))，则eq \o(AD,\s\up17(―→))等于(　　) A.eq \f(1,3) eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \f(2,3) eq \o(AB,\s\up17(―→)) B.eq \f(5,3) eq \o(AB,\s\up17(―→))－eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(―→)) C.eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up17(―→)) D.eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up17(―→)) 解析：如图所示，由题意可得eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋ eq \f(2,3) eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(2,3)(eq \o(AC,\s\up17(―→))－eq \o(AB,\s\up17(―→)))＝eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(2,3) eq \o(AC,\s\up17(―→)). 答案：D 2.如图所示，四边形OADB是以向量eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b为邻边的平行四边形．又BM＝eq \f(1,3)BC，CN＝eq \f(1,3)CD，试用a，b表示eq \o(OM,\s\up17(―→))，eq \o(ON,\s\up17(―→))，eq \o(MN,\s\up17(―→)). 解：因为eq \o(BM,\s\up17(―→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \f(1,6) eq \o(BA,\s\up17(―→))＝eq \f(1,6)(eq \o(OA,\s\up17(―→))－eq \o(OB,\s\up17(―→)))＝eq \f(1,6)(a－b)， 所以eq \o(OM,\s\up17(―→))＝eq \o(OB,\s\up17(―→))＋eq \o(BM,\s\up17(―→))＝b＋eq \f(1,6)a－eq \f(1,6)b＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b. 因为eq \o(CN,\s\up17(―→))＝eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up17(―→))＝eq \f(1,6) eq \o(OD,\s\up17(―→))， 所以eq \o(ON,\s\up17(―→))＝eq \o(OC,\s\up17(―→))＋eq \o(CN,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(OD,\s\up17(―→))＋eq \f(1,6) eq \o(OD,\s\up17(―→))＝eq \f(2,3) eq \o(OD,\s\up17(―→))＝eq \f(2,3)(eq \o(OA,\s\up17(―→))＋eq \o(OB,\s\up17(―→)))＝eq \f(2,3)(a＋b)， eq \o(MN,\s\up17(―→))＝eq \o(ON,\s\up17(―→))－eq \o(OM,\s\up17(―→))＝eq \f(2,3)(a＋b)－eq \f(1,6)a－eq \f(5,6)b＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,6)b. 题型三　向量共线定理及其应用 [学透用活] 对向量共线定理的理解 (1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa. (2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t a＋s b＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且t a＋s b＝0，则必有t＝s＝0. [典例3]　设a，b是不共线的两个非零向量． (1)若eq \o(OA,\s\up17(―→))＝2a－b，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝3a＋b，eq \o(OC,\s\up17(―→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值； (3)若eq \o(OM,\s\up17(―→))＝m a，eq \o(ON,\s\up17(―→))＝n b，eq \o(OP,\s\up17(―→))＝α a＋β b，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：eq \f(α,m)＋eq \f(\a\vs4\al(β),n)＝1. [解]　(1)证明：∵eq \o(AB,\s\up17(―→))＝eq \o(OB,\s\up17(―→))－eq \o(OA,\s\up17(―→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而eq \o(BC,\s\up17(―→))＝eq \o(OC,\s\up17(―→))－eq \o(OB,\s\up17(―→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2eq \o(AB,\s\up17(―→))，∴eq \o(AB,\s\up17(―→))与eq \o(BC,\s\up17(―→))共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线． (2)∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ， 使得8a＋kb＝λ(k a＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0. ∵a与b不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0，)) 解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4. (3)证明：∵M，P，N三点共线，O为直线外一点， ∴存在实数x，y，使得eq \o(OP,\s\up17(―→))＝xeq \o(OM,\s\up17(―→))＋yeq \o(ON,\s\up17(―→))，且x＋y＝1. 又∵eq \o(OP,\s\up17(―→))＝α a＋β b，且a，b不共线， ∴eq \o(OP,\s\up17(―→))＝xma＋ynb＝αa＋βb，∴xm＝α，yn＝β， ∴eq \f(α,m)＋eq \f(\a\vs4\al(β),n)＝x＋y＝1. [方法技巧] 1．证明或判断三点共线的方法 (1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up17(―→))＝λeq \o(AC,\s\up17(―→))(或eq \o(BC,\s\up17(―→))＝λeq \o(AB,\s\up17(―→))等)即可． (2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq \o(OA,\s\up17(―→))＝xeq \o(OB,\s\up17(―→))＋yeq \o(OC,\s\up17(―→))且x＋y＝1. 2．利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值． [对点练清] 1．[判断向量是否共线]已知P，A，B，C是平面内四点，且eq \o(PA,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→))＋eq \o(PC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))，则下列向量一定共线的是(　　) A.eq \o(PC,\s\up17(―→))与eq \o(PB,\s\up17(―→)) B.eq \o(PA,\s\up17(―→))与eq \o(PB,\s\up17(―→)) C.eq \o(PA,\s\up17(―→))与eq \o(PC,\s\up17(―→)) D.eq \o(PC,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→)) 解析：因为eq \o(PA,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→))＋eq \o(PC,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))， 所以eq \o(PA,\s\up17(―→))＋eq \o(PB,\s\up17(―→))＋eq \o(PC,\s\up17(―→))＋eq \o(CA,\s\up17(―→))＝0， 即－2eq \o(PA,\s\up17(―→))＝eq \o(PB,\s\up17(―→))，所以eq \o(PA,\s\up17(―→))与eq \o(PB,\s\up17(―→))共线． 答案：B 2．[利用向量共线定理求参数的值]已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值． 解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于e1与e2不共线，只能有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))∴k＝±1. 3．[利用共线向量定理证明三点共线]已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq \o(AB,\s\up17(―→))＝2e1－8e2，eq \o(CB,\s\up17(―→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up17(―→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． 证明：∵eq \o(CB,\s\up17(―→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up17(―→))＝2e1－e2， ∴eq \o(BD,\s\up17(―→))＝eq \o(CD,\s\up17(―→))－eq \o(CB,\s\up17(―→))＝e1－4e2. 又eq \o(AB,\s\up17(―→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)， ∴eq \o(AB,\s\up17(―→))＝2eq \o(BD,\s\up17(―→))，∴eq \o(AB,\s\up17(―→))∥eq \o(BD,\s\up17(―→)). ∵AB与BD有交点B，∴A，B，D三点共线. 6．2.4 向量的数量积 eq \f(π,2) a⊥b 知识点一　向量的数量积 (一)教材梳理填空 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上任意一点，作eq \o(OA,\s\up17(―→))＝a，eq \o(OB,\s\up17(―→))＝b，则∠AOB＝θ(___≤θ≤___)叫做向量a与b的夹角． (2)性质：当θ＝___时，a与b同向；当θ＝___时，a与b反向． (3)向量垂直：如果a与b的夹角是___，我们说a与b垂直，记作_______. eq \a\vs4\al(0) eq \a\vs4\al(π) eq \a\vs4\al(0) eq \a\vs4\al(π) 2．向量的数量积 条件 非零向量a与b，它们的夹角为θ 结论 数量__________叫做向量a与b的数量积(或内积) 记法 向量a与b的数量积记作a·b，即_______________ 规定 零向量与任一向量的数量积为_____ |a||b|cos θ a·b＝|a||b|cos θ eq \a\vs4\al(0) 3．向量a在b上的投影向量 (1)设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up17(―→))＝a，eq \o(CD,\s\up17(―→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \o(AB,\s\up17(―→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up17(―→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up17(―→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up17(―→))叫做_________________的投影向量． 向量a在向量b上 (2)在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up17(―→))＝a，eq \o(ON,\s\up17(―→))＝b， 过点M作直线ON的垂线，垂足为M，则eq \o(OM1,\s\up17(―→))就 是向量a在向量b上的投影向量，且eq \o(OM1,\s\up17(―→))＝___________. |a|cos θ e (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　) (3)若a·b＝0，则a⊥b.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝________. 解析：a·b＝|a||b|cos θ＝1×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1. 答案：－1 3．已知|a|＝4, a与b的夹角θ＝60°，a在b方向上的投影向量为________． 解析：a在b方向上的投影为|a|cos θ e＝4×eq \f(1,2)e＝2e. 答案：2e －|a||b| |a|2 eq \r(a·a) |a||b| 知识点二　向量的数量积的性质及运算律 (一)教材梳理填空 1．数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝________. (2)a⊥b⇔__________. (3)当a，b同向时，a·b＝_________；当a，b反向时，a·b＝_______.特别地，a·a＝_____或|a|＝_______. (4)|a·b|≤_________. |a|cos θ a·b＝0 |a||b| a·c＋b·c 2．数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝______ (交换律)． (2) (λa)·b＝_________＝______ (结合律)． (3)(a＋b)·c＝_____________ (分配律)． b·a λ(a·b) a·(λb) (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．(　　) (2)a·(b·c)＝(a·b)·c.(　　) (3)eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(CD,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))·(eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→)))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(AD,\s\up17(―→)).(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(　　) A．|a|2＝a2　　　　　　　 B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a·b)＝λa·b D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 解析：选项B中，|a·b|＝|a||b||cos θ|，其中θ为a与b的夹角． 答案：B 3．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝2，则|a＋b|＝________. 解析：∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2|a|·|b|·cos 60°＋|b|2＝22＋2×2×2×eq \f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12， ∴|a＋b|＝eq \r(12)＝2eq \r(3). 答案：2eq \r(3) 题型一　数量积的运算 [学透用活] (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [典例1]　(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形， 点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE并延长到点F， 使得DE＝2EF，则eq \o(AF,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))的值为(　　) A．－eq \f(5,8)　　　　　　　 B.eq \f(1,8) C.eq \f(1,4) D.eq \f(11,8) (2)已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)． [解析]　(1)选B　∵D，E分别是AB，BC的中点，且DE＝2EF， ∴eq \o(AF,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＝(eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(DF,\s\up17(―→)))·eq \o(BC,\s\up17(―→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BA,\s\up17(―→))＋\f(3,2)\o(DE,\s\up17(―→))))·eq \o(BC,\s\up17(―→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BA,\s\up17(―→))＋\f(3,4)\o(AC,\s\up17(―→))))·eq \o(BC,\s\up17(―→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(BA,\s\up17(―→))＋\f(3,4)\o(BC,\s\up17(―→))－\f(3,4)\o(BA,\s\up17(―→))))·eq \o(BC,\s\up17(―→)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)\o(BA,\s\up17(―→))＋\f(3,4)\o(BC,\s\up17(―→))))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＝－eq \f(5,4) eq \o(BA,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \f(3,4) eq \o(BC,\s\up17(―→))2 ＝－eq \f(5,4)|eq \o(BA,\s\up17(―→))|·|eq \o(BC,\s\up17(―→))|cos 60°＋eq \f(3,4)×|eq \o(BC,\s\up17(―→))|2 ＝－eq \f(5,4)×1×1×eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)＝eq \f(1,8). (2)(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72＝－268. [方法技巧] 求平面向量数量积的两个方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ. [提醒]　运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影向量，可利用数量积的几何意义求a·b. [对点练清] 1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＝________，eq \o(BC,\s\up17(―→))·eq \o(CA,\s\up17(―→))＝________，eq \o(CA,\s\up17(―→))·eq \o(AB,\s\up17(―→))＝________. 解析：由题意，得|eq \o(AB,\s\up17(―→))|＝4，|eq \o(BC,\s\up17(―→))|＝4，|eq \o(CA,\s\up17(―→))|＝4eq \r(2)，所以eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＝4×4×cos 90°＝0，eq \o(BC,\s\up17(―→))·eq \o(CA,\s\up17(―→))＝4×4eq \r(2)×cos 135°＝－16，eq \o(CA,\s\up17(―→))·eq \o(AB,\s\up17(―→))＝4eq \r(2)×4×cos 135°＝－16. 答案：0　－16　－16 2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2， 求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－2b)． 解：(1)由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4. (2)(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12. 题型二　与向量的模有关的问题 [学透用活] [典例2]　(1)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2).若向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________. (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________. [解析]　(1)令e1与e2的夹角为θ， ∴e1·e2＝|e1|·|e2|cos θ＝cos θ＝eq \f(1,2). 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°， ∴b·e1＝|b||e1|cos 30°＝1， 从而|b|＝eq \f(1,cos 30°)＝eq \f(2\r(3),3). (2)∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a||b|cos 45°＝eq \f(\r(2),2)|b|， ∴|2a－b|2＝4－4×eq \f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10， 解得|b|＝3eq \r(2). [答案]　(1)eq \f(2\r(3),3)　(2)3eq \r(2) [方法技巧] 求向量的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，并灵活应用a2＝|a|2. (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝(eq \r(a))2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等． [对点练清] 1．已知非零向量a＝2b＋2c，|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|a|＝________. 解析：由于c＝eq \f(1,2)a－b，所以c2＝eq \f(1,4)|a|2＋|b|2－2×eq \f(1,2)|a||b|×eq \f(1,2)，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)． 答案：2 2．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，若c＝2a－b，d＝a＋2b， 求：(1)c·d；(2)|c＋2d|. 解：(1)c·d＝(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝2×4－2×1＋3×2×1×eq \f(1,2)＝9. (2)∵|c＋2d|2＝(4a＋3b)2＝16a2＋9b2＋24a·b＝16×4＋9×1＋24×2×1×eq \f(1,2)＝97， ∴|c＋2d|＝eq \r(97). 题型三　两个向量的夹角和垂直问题 [思考探究] 1．如何求a与b的夹角θ？ 提示：利用cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求出cos θ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ. 2．两非零向量a与b垂直的充要条件是什么？ 提示：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0. [学透用活] [典例3]　(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq \f(1,3)，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为(　　) A．4 B．－4 C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4) (2)设n和m是两个单位向量，其夹角是eq \f(π,3)，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． [解析]　(1)选B　由题意知，cos〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(m·n,\f(3,4)|n|2)＝eq \f(1,3)，所以m·n＝eq \f(1,4)|n|2＝eq \f(1,4)n2，因为n·(t m＋n)＝0，所以t m·n＋n2＝0，即eq \f(1,4)t n2＋n2＝0，所以t＝－4. (2)∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是eq \f(π,3)， ∴m·n＝|m||n|cos eq \f(π,3)＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). |a|＝|2m＋n|＝eq \r(2m＋n2)＝eq \r(4m2＋n2＋4m·n) ＝eq \r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq \r(7)， |b|＝|2n－3m|＝eq \r(2n－3m2) ＝eq \r(4n2＋9m2－12m·n)＝eq \r(4×1＋9×1－12×\f(1,2)) ＝eq \r(7)， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2 ＝eq \f(1,2)－6×1＋2×1＝－eq \f(7,2). 设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2). 又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3)，故a与b的夹角为eq \f(2π,3). [方法技巧] 求向量夹角的基本步骤及注意事项 (1)步骤： ①计算a·b及|a|，|b|；②计算cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)；③借助θ∈[0，π]求出θ值． (2)注意事项： 在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cos θ的值． [对点练清] 1．已知|a|＝1，|b|＝eq \r(2)，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是________． 解析：∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,1×\r(2))＝－eq \f(\r(2),2)，又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(3π,4). 答案：eq \f(3π,4) 2．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________． 解析：∵(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos θ－2×16＝－14－3×3×4cos θ≥4， ∴cos θ≤－eq \f(1,2)，∴θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)). 答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)) [课堂一刻钟巩固训练] 一、基础经典题 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝(　　) A．12　　　　　　　　　　 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12 解析：m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 135°＝－12eq \r(2). 答案：C 2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝eq \r(2)，则eq \o(BA,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))的值等于(　　) A．－2 B．2 C．－2eq \r(2) D．2eq \r(2) 解析：eq \o(BA,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＝|eq \o(BA,\s\up17(―→))||eq \o(BC,\s\up17(―→))|cos∠ABC＝2×eq \r(2)×cos 45°＝2. 答案：B 3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2) 解析：由题意知，a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，即cos θ＝eq \f(1,2)，又0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,3). 答案：C 二、创新应用题 4．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb. (1)当|u|取最小值时，求实数t的值； (2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？ 解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2 ＝|b|2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(a·b,|b|2)))2＋|a|2－eq \f(a·b2,|b|2). ∵b是非零向量，∴|b|≠0， ∴当t＝－eq \f(a·b,|b|2)时，|u|＝|a＋tb|的值最小． (2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a·b,|b|2)·|b|2))＝a·b－a·b＝0， ∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u. 三、易错防范题 5．(1)已知平面上三点A，B，C，满足|eq \o(AB,\s\up17(―→))|＝3，|eq \o(BC,\s\up17(―→))|＝4，|eq \o(CA,\s\up17(―→))|＝5，则eq \o(AB,\s\up17(―→))·eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))·eq \o(CA,\s\up17(―→))＋eq \o(CA,\s\up17(―→))·eq \o(AB,\s\up17(―→))的值等于 (　　) A．－7 B．7 C．25 D．－25 (2)设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为eq \f(π,3)，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________． 解析：(1)由条件知∠ABC＝90°， 所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝ －20cos C－15cos A＝－20×eq \f(4,5)－15×eq \f(3,5)＝－16－9＝－25. (2)由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角， 得eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2|·|e1＋te2|)<0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简得2t2＋15t＋7<0， 解得t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(1,2))). 当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0， 可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2).)) ∴所求实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))) 答案：(1)D　(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))) [易错矫正]　(1) 在涉及平面向量的数量积运算时，要注意准确确定两个向量的夹角，如第(1)小题中，向量eq \o(BC,\s\up17(―→))与eq \o(CA,\s\up17(―→))的夹角是180°－C，而不是C ，向量eq \o(CA,\s\up17(―→))与eq \o(AB,\s\up17(―→))的夹角是180°－A，而不是A. (2)第(2)小题易混淆两非零向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于0的关系，易忽视向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π时，也有数量积小于0的情况，从而得出t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(1,2)))的错误答案．事实上，由于a·b<0包含了其夹角为180°的情况，a·b>0包含了其夹角为0°的情况，在求解时应注意排除． $