6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.能用坐标表示平面向量的数量积. 2.会用坐标表示两个平面向量的夹角. 3.能用坐标表示平面向量垂直的充要条件. 重点：向量的数量积、模、夹角的坐标表示及两向量垂直的充要条件的坐标表示. 难点：平面向量数量积的坐标表示的应用. 知识梳理 例1 一　平面向量数量积的坐标运算 1.已知向量的坐标求数量积 解题归纳 已知P1（0，5），P2（2，-1），P3（-1，4），则向量与向量的数量积为（　　） A.4 B. C. D. 训练题 A 1. 已知向量a＝（1，2），b＝（-2，1），c＝（x，y）. 若（a+b）⊥c，则|b| cos 〈b，c〉为（　　） A.± B.± C. D.- 2. A 已知a与b同向，b＝（1，2），a·b＝10. （1）求a的坐标；（2）若c＝（2，-1），求a（b·c）及（a·b）c. 训练题 3. 解：（1）设a＝λb＝（λ，2λ）（λ>0），则有a·b＝λ+4λ＝10，解得λ＝2，∴ a＝（2，4）. （2）∵ b·c＝1×2+2×（-1）＝0，a·b＝10， ∴ a（b·c）＝0a＝0，（a·b）c＝10（2，-1）＝（20，-10）. 例2 2.以图形为背景的数量积的坐标运算 训练题 D 例4 二　向量模的坐标表示 已知向量a＝（x，2），b＝（2，y），c＝（2，-4），且a∥c，b⊥c，则|a-b|＝（　　） A.3 B. C. D. 【解析】　因为向量a＝（x，2），b＝（2，y），c＝（2，-4），且a∥c，b⊥c，所以解得 即a＝（-1，2），b＝（2，1），所以a-b＝（-3，1）， 因此|a-b|＝＝. 【答案】　B 求向量模的两种基本策略 （1）字母表示下的运算 将向量模的运算问题转化为向量的数量积运算的问题，利用公式|a|2＝a2进行运算. （2）坐标表示下的运算 先求出需求模的向量的坐标，然后利用公式|a|＝或||＝进行运算. 解题归纳 （1）若a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a-b＝（，），则|2a-b|＝（　　） A. B. C. D. （2）若向量a的起点为A（-2，4），终点为B（2，1），则向量a的模为　　　　. （3）若向量a＝（2x-1，3-x），b＝（1-x，2x-1），则|a-b|的最小值为　 　　. 训练题 C 5 例5 三 向量的夹角与垂直问题　 1.向量的夹角问题 已知平面向量a＝（3，4），b＝（9，x），c＝（4，y），且a∥b，a⊥c. （1）求b与c； （2）若m＝2a-b，n＝a+c，求向量m，n夹角的大小. 【解】　（1）∵ a∥b，∴ 3x＝4×9，∴ x＝12. ∵ a⊥c，∴ 3×4+4y＝0，∴ y＝-3. ∴ b＝（9，12），c＝（4，-3）. （2）m＝2a-b＝（6，8）-（9，12）＝（-3，-4）， n＝a+c＝（3，4）+（4，-3）＝（7，1）. 设m，n的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝-. ∵ θ∈［0，π］，∴ θ＝，即m，n的夹角为. 用坐标法求两个非零向量夹角的一般步骤 1.利用向量的坐标求出这两个向量的数量积. 2.利用公式|a|＝求出这两个向量的模. 3.代入cos θ＝求出cos θ的值. 4.根据θ的取值范围确定θ的值. 解题归纳 训练题 1. 2. D B 训练题 3. 已知a＝（1，2），b＝（1，λ），求满足下列条件的实数λ的值（或取值范围）. （1）a与b的夹角为90°； （2）a与b的夹角为锐角. 解：（1）因为|a|＝＝，|b|＝，a·b＝1×1+2λ＝1+2λ， 又因为a⊥b，所以a·b＝0，所以1+2λ＝0，所以λ＝-. （2）设a与b的夹角为θ. 因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ>0，且cos θ≠1，所以a·b>0且a与b不同向.所以1+2λ>0，所以λ>-.又当a与b共线且同向时，λ＝2.所以当a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为∪（2，+∞）. 例6 2.向量垂直问题 已知向量a＝（2，3），b＝（3，m），且a⊥b，则a·（a+b）为（　　） A.-13 B. C.13 D.- 训练题 1. 2. C 在△ABC中，已知＝（2，3），＝（1，k）.若△ABC是直角三角形，求k的值. 解：∵＝（2，3），＝（1，k）， ∴＝-＝（-1，k-3）. 若∠A＝90°，则·＝2×1+3k＝0，解得k＝-； 若∠B＝90°，则·＝2×（-1）+3（k-3）＝0，解得k＝； 若∠C＝90°，则·＝1×（-1）+k（k-3）＝0， 解得k＝. 故所求k的值为-或或. 例7 四　坐标法的综合应用 1.坐标法求解平面几何问题 已知点A（-2，0），B（1，9），C（m，n），O是坐标原点. （1）若A，B，C三点共线，求m与n满足的关系式； （2）若△AOC的面积等于3，且⊥，求. 【解】　（1）由已知，得＝（3，9），＝（m+2，n）. 由A，B，C三点共线，知∥， ∴ 3n-9（m+2）＝0，即n-3m-6＝0. （2）由△AOC的面积是3，得×2×|n|＝3，解得n＝±3. ∵＝（m-1，n-9），且⊥， ∴ （m+2）（m-1）+n（n-9）＝0，即m2+n2+m-9n-2＝0. ∴ 当n＝3时，m2+m-20＝0，解得m＝4或m＝-5； 当n＝-3时，m2+m+34＝0，方程没有实数根. ∴＝（4，3）或＝（-5，3）. 坐标法求解平面几何问题的思路 利用坐标法求解平面几何问题的关键是建立直角坐标系，然后利用向量数量积求解，而求解向量数量积的常用方法如下： （1）定义法：利用定义式求解； （2）坐标法：利用坐标式求解； （3）转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行求解. 解题归纳 训练题 已知在边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点.若点E满足＝，·＝-，则·的最小值为（　　） A.- B.- C.- D.-  D 2.向量与三角函数结合 例8 解题归纳 训练题 小结 $