专题一：平面向量的概念、运算（讲义+课件)-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题一：平面向量的概念、运算（课本P1-P37) 2026.03.07 【知识点、题型梳理】 题型一：平面向量的概念 【例1】．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 练习1．（多选）（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 题型二：向量的图形、线性运算 【例2-1】．（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【例2-2】．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 练习2-1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 练习2-2．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 练习2-3．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，. (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 练习2-4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 练习2-5．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 题型三：向量的平行、垂直表示与应用 【例3-1】．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【例3-2】．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 练习3-1．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 练习3-2．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 练习3-3．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 题型四：向量数量积、模、夹角 【例4-1】．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【例4-2】．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】．（24-25高一下·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是， ，，则（    ） A．2 B． C． D． 练习4-1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 练习4-2．若平面内不共线的向量，，两两所成的角相等， 且||＝1，||＝1，||＝2，则|++|＝　 　． 练习4-3．（2020•全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（ ） A. B. C. D. 练习4-4．（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一：平面向量的概念、运算（课本P1-P37) 2026.03.07 【知识点、题型梳理】 题型一：平面向量的概念 【例1】．（24-25高一下·天津宝坻·月考）下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【解题思路】根据向量的概念即可判断. 【解答过程】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 练习1．（多选）（2025高一·全国·专题练习）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【答案】CD 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项. 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 因为，所以与同向，B正确； 若，则不一定平行，C不正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：CD 题型二：向量的图形、线性运算 【例2-1】．（24-25高一下·湖北武汉·期中）化简以下各式，结果不是零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【解答过程】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D： ，故D正确； 故选：B. 【例2-2】．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在正方形中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据平面向量的线性运算求得正确答案. 【解答过程】依题意， . 故选：B. 练习2-1．（24-25高一下·甘肃定西·期末）在中，M为边中点，N为的中点，，则（　　） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】由向量的线性运算即可求解. 【解答过程】 因为在中，M为边中点，N为的中点， 所以， 所以.故选：C. 练习2-2．（24-25高一下·海南海口·期中）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用和向量加法得到可解. 【解答过程】因为，所以， 即， 所以与的面积之比为. 故选：C. 练习2-3．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，. (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 练习2-4．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可. 【解答过程】由图知， . 故选：D. 练习2-5．（24-25高一下·四川眉山·期末）如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参. 【解答过程】在平行四边形中，是对角线的交点，， 因为， 则，. 故选：A. 题型三：向量的平行、垂直表示与应用 【例3-1】．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知非共线向量、，，，，则下列说法正确的是（   ） A．三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】A 【解题思路】利用平面向量共线定理求解. 【解答过程】由题可得，， 对于A，，所以三点共线，故A正确； 对于B，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故B错误； 对于C，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故C错误； 对于D，若三点共线，则存在实数，使得，则，无解，所以三点不共线，故D错误. 故选：A. 【例3-2】．（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：B. 练习3-1．（24-25高一下·新疆·期中）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【解题思路】由平面向量的线性运算将，用，表示出来，结合共线向量定理与平面向量基本定理建立方程组，求解即可． 【解答过程】解：因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 因为，是平面内的一组基底， 所以由平面向量基本定理可得：， 解得. 故选：C． 练习3-2．（24-25高一下·新疆·期末）已知向量，，且，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数. 【解答过程】因为，，所以， 由，得，解得. 故选：A. 练习3-3．（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解； （2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解. 【解答过程】（1）由于，若，则满足，解得； （2）与垂直，则， 即， 故， 化简可得，解得或. 题型四：向量数量积、模、夹角 【例4-1】．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知平面向量，则（   ） A． B． C．10 D．15 【答案】B 【解题思路】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【解答过程】，， 则. 故选：B. 【例4-2】．（24-25高一下·吉林长春·月考）若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【解答过程】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 【例4-3】．（24-25高一下·福建漳州·期末）已知平面向量的夹角是， ，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求出及的值，再求出，然后根据求向量模的公式 求解即可. 【解答过程】因为，所以. 因为平面向量，的夹角为， 所以. 因为， 所以 . 故选：C. 练习4-1．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且两向量不共线求解即可. 【解答过程】因为，， 所以，， 又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线， 所以且，解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 练习4-2．若平面内不共线的向量，，两两所成的角相等， 且||＝1，||＝1，||＝2，则|++|＝　 　 练习4-3．（2020•全国3卷）已知向量a，b满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，.故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 练习4-4．（2019全国Ⅲ理13）已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________. 解析 ， 因为， 所以，所以. 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题一:平面向量的概念、运算(课本P1-P37) 1 陶新军 2026.03.07 同学们好,今天我们学习比大小的微专题,这节课我们围绕为什么学,学什么,如何学依次展开。看这节课学习目标 4+1(7) 一.知识回顾 如何学呢,我们从知识回顾、自主构建方法体系、应用探究、课堂检测四方面展开,4分钟完成导学案第一页:知识回顾,1分钟对答案 3(10) 二.方法构建 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型一:平面向量的概念 C 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型一:平面向量的概念 CD 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 B 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 B 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 C 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 C 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 D 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型二:向量的图形、线性运算 A 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型三:向量的平行、垂直表示与应用 A 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型三:向量的平行、垂直表示与应用 B 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型三:向量的平行、垂直表示与应用 C 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型三:向量的平行、垂直表示与应用 A 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型三:向量的平行、垂直表示与应用 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 B 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 C 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 C 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 D 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? 3(10) 三.应用探究题型四:向量数量积、模、夹角 老师说从数与形思维视角入手,提问学生从图形后如何比较大小?提问学生从数入手比较大小方法有哪些? $null