13.3-空间图形的表面积和体积教学课件-2025-2026学年高一数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间图形的表面积和体积，涵盖多面体与旋转体公式，通过基础小测、公式关系思考导入，衔接空间几何体结构知识，为公式应用和综合问题解决搭建学习支架。 其亮点是以典例、变式及跟踪训练为载体，融合数学运算、直观想象、数学建模等核心素养，如通过圆柱圆锥侧面积公式关系培养逻辑思维，实际应用问题（油漆水桶）强化应用意识。解题策略系统总结方法，助力学生形成思维体系，教师使用可提升教学效率，学生能发展运算能力与问题解决能力。

13.3.1 空间图形的表面积 13.3.2　空间图形的体积 P38　 13.3 空间图形的表面积和体积 1.几种特殊的多面体 (1)直棱柱:侧棱和底面_____的棱柱叫作直棱柱. (2)正棱柱:底面为_________的直棱柱叫作正棱柱. (3)正棱锥:一个棱锥的底面是_________,并且顶点在底面的射影是_________, 那么称这样的棱锥为正棱锥.正棱锥的_______都相等,侧面均为全等的等腰三 角形. (4)正棱台:_______被平行于底面的平面所截,_____和_____之间的部分叫作正 棱台. 垂直 正多边形 正多边形 底面中心 侧棱长 正棱锥 截面 底面 13.3.1 空间图形的表面积 2.几种简单几何体的侧面展开图与侧面积 几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 直棱柱 S直棱柱侧= ___ 正棱锥 S正棱锥侧＝ ______ 正棱台 S正棱台侧= ___________ ch ch ′ (c+c′)h′ 几何体 直观图 侧面展开图 侧面积 圆柱 S圆柱侧=_____ =_____ 圆锥 S圆锥侧=____=____ 圆台 S圆台侧=___________ =__________ cl 2πrl (c+c′)l π(r+r′)l cl πrl 【思考】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系? 提示:S圆柱侧=2πrl S圆台侧=π(r′+r)l S圆锥侧=πrl. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和. (　　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的. (　　) (3)圆台的高就是相应母线的长. (　　) 提示:(1)√. (2)×.棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的,不一定是等腰梯形. (3)×.圆台的高是指两个底面之间的距离. 2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是 (　　) A.4π B.3π C.2π D.π 【解析】选C.底面圆半径为1,高为1,侧面积S=2πrh=2π×1×1=2π. 3.(教材二次开发:例题改编)正四棱台上、下底面边长分别为2,4,侧面高为2,则其表面积为 (　　) A.20 B.24 C.36 D.44 【解析】选D.S=2×2+4×4+4× (2+4)×2=20+4×6=44. 类型一　棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积(数学运算) 【典例】已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm,它的侧棱与高所成的角为45°,求正三棱锥的表面积. 【思路导引】先求出正三棱锥的高PO,从而求出侧面的斜高PD进而求出侧面积和底面积. 【解析】如图所示,设O为正三角形ABC的中心,连接PO,连接AO并延长交BC于D,连接PD,则PO是正三棱锥P-ABC的高. 由正三角形ABC的性质知,D是BC的中点, 又PB=PC,故PD⊥BC,即PD是三棱锥的斜高. 由已知∠APO=45°,AO= × ×4= (cm), 所以PA= AO= × = (cm), 所以PB= (cm). 所以PD= = = (cm). 所以正三棱锥P-ABC的侧面积为: S侧=3S△PBC=3× ×4× =4 (cm2), 底面积:S底= ×42× =4 (cm2). 故S表面积=S侧+S底=4 +4 =4( + )(cm2). 【变式探究】若将本例中“侧棱与高所成的角为45°”改为“侧面都是直角三角形”,如何求三棱锥的表面积? 【解析】由已知得正三棱锥的侧面为全等的等腰直角三角形,设正三棱锥的侧棱长为x,则x2+x2=42 所以x=2 ,所以S侧=3× ×(2 )2=12(cm2). 又因为S底=4 cm2, 所以S表=S侧+S底=12+4 (cm2). 【解题策略】 求多面体的表面积 对于简单几何体,我们可利用公式,直接求出其表面积,而在求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割(或补全)成基本的柱、锥、台体,先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积. 【跟踪训练】 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高. 【解析】如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,则DD′是等腰梯形BCC′B′的高, 所以S侧=3× ×(20+30)×DD′=75DD′. 又A′B′=20 cm,AB=30 cm,则上、下底面面积之和为 S上+S下= ×(202+302)=325 (cm2). 由S侧=S上+S下,得75DD′=325 , 所以DD′= cm, 又因为O′D′= ×20= (cm),OD= ×30=5 (cm), 所以棱台的高h=O′O= = =4 (cm). 类型二　圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积(数学运算) 【典例】如图所示,在边长为4的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,D为BC的中点,H,G分别是BD,CD的中点,若将正三角形ABC绕AD旋转180°,求阴影部分形成的几何体的表面积. 【思路导引】利用圆锥与圆柱的轴截面求解. 【解析】该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体. 令BD=R,HD=r,AB=l,EH=h, 则R=2,r=1,l=4,h= . 所以圆锥的表面积S1=πR2+πRl=π×22+π×2×4=12π,圆柱的侧面积S2=2πrh=2π×1× =2 π. 所以所求几何体的表面积S=S1+S2=12π+2 π=(12+2 )π. 【解题策略】　 (1)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上,因此准确把握轴截面中相关量是求解旋转体表面积的关键. (2)解决柱体、锥体、台体、球体中的接、切问题,通常是作出轴截面,转化为平面问题来求解. 【跟踪训练】 圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少? 【解析】如图所示,设圆台的上底面周长为c,因为扇环的圆心角是180°,故c=π·SA=2π×10,所以SA=20,同理可得SB=40, 所以AB=SB-SA=20, 所以S表面积=S侧+S上+S下=π(r1+r2)·AB+π +π =π(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2). 故圆台的表面积为1100πcm2. 类型三　几何体侧面积和全面积的实际应用(数学建模、数学运算) 【典例】用油漆涂100个圆台形水桶(桶内、外侧都要涂),桶口直径为30 cm,桶底直径为25 cm,母线长是27.5 cm,已知每平方米需要油漆150 g,共需要多少油漆?(精确到0.1 kg) 【思路导引】求水桶的表面积→计算总油漆量. 【解析】每个水桶需要涂油漆的面积为S=(S桶底+S侧)×2 =π ×2 =0.182 5π(m2), 因此100个水桶需要油漆100×0.182 5π×0.15≈8.6(kg). 【解题策略】　对于有关几何体侧面积和全面积的实际问题,求解的关键是把题设信息数学化,然后借助数学知识解决该问题. 【跟踪训练】　如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体,若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔,求打孔后的几何体的表面积是多少?(π取3.14) 【解析】正方体的表面积为42×6=96(cm2), 一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28(cm2),则打孔后几何体的表面积为96+6.28×6=133.68(cm2). 备选类型　与空间几何体表面积相关的综合题(直观想象、数学运算) 【典例】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABD折起,使∠BDC=90°. (1)证明:平面ADB⊥平面BDC; (2)若BD=1,求三棱锥D-ABC的表面积. 【思路导引】(1)利用面面垂直的判定定理证明; (2)平面ABC为等边三角形,其余各面均是直角三角形. 【解析】(1)因为折起前AD是BC边上的高, 所以当△ABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又DB∩DC=D,所以AD⊥平面BDC, 因为AD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, 因为DB=DA=DC=1,所以AB=BC=CA= , 从而S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= , S△ABC= × × = , 故三棱锥D-ABC的表面积S= ×3+ = . 【解题策略】 (1)棱柱、棱锥和棱台的表面积等于侧面积与底面积之和.棱柱、棱锥、棱台均是多面体,多面体的表面积的求法有两种:一种是分开算,把各个面的面积分别计算出来,再求其和;另一种是将它们沿某些棱剪开,计算平面展开图的面积. (2)多面体的有关表面积计算要抓住平面展开图,或者关键的线面长,如底面边长、高等.旋转体的表面积计算要抓住轴截面及旋转半径、母线长等. 【跟踪训练】 一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其中有一个高为x cm的内接圆柱. (1)求圆锥的侧面积; (2)当x为何值时圆柱侧面积最大?求出最大值. 【解析】(1)母线l= =2 , S侧面积=π×2×2 =4 π(cm2); (2)设圆柱的底面半径为r cm,则 = , 所以r=2- ,则圆柱的侧面积为S=2π ·x=- ,所以当 x=3 cm时,S最大=6π cm2. 1.圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 A.42π B.51π C.58π D.67π 【解析】选D.S圆台表=S圆台侧+S上底+S下底=π(3+4)×6+π×32+π×42=67π. 2.(教材二次开发:练习改编)已知各面均为等边三角形的四面体SABC(即正四面体SABC),棱长为a,则其表面积为________.  【解析】过点S作SD⊥BC,交BC于点D,如图所示. 因为BC=a,SD= = = a, 所以S△SBC= BC·SD= a× a= a2. 因此,四面体SABC的表面积S=4× a2= a2. 答案: a2 3.一个圆柱的底面面积是S,其侧面积展开图是正方形,那么该圆柱的侧面积为________.  【解析】设圆柱的底面半径为R,则S=πR2,R= ,底面周长c=2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧=c2=(2πR)2=4π2 =4πS. 答案:4πS 4.一座仓库的屋顶呈正四棱锥形,底面的边长为2.7 m,侧棱长为2.3 m,如果要在屋顶上铺一层油毡纸,则需多少油毡纸?(精确到0.1 m2) 【解析】如图所示,设SE是侧面三角形ABS的高,则SE就是正四棱锥的斜高. 在Rt△SAE中,SA=2.3 m,AE=1.35 m, 所以SE= (m), 而底面周长=4×2.7=10.8(m), 所以S棱锥侧= ×10.8× ≈10.1(m2). 故需要油毡纸约10.1 m2. 13.3.2　空间图形的体积　 导思 1.如何求柱体、锥体和台体的体积? 2.如何求简单组合体的体积? 1.柱体、锥体、台体的体积 几何体 体积 柱体 V柱体=___(S为底面面积,h为高) V圆柱=_____(r为底面半径) 锥体 V锥体=______(S为底面面积,h为高) V圆锥=______(r为底面半径) Sh πr2h Sh r2h 几何体 体积 台体 V台体=______________ (S′,S分别为上、下底面面积,h为高),V圆台=_______________(r′,r分别为上、下底面半径) 【思考】 　柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系. 提示:V=Sh V= (S′+ +S)h V= Sh. 2.球的体积和表面积 若球的半径为R,则 (1)球的体积V=________. (2)球的表面积S=_____. 4πR2 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)锥体的体积等于底面面积与高之积. (　　) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径. (　　) (3)球的体积之比等于半径比的平方. (　　) 提示:(1)×.锥体的体积等于底面面积与高之积的 . (2)√.球的大圆半径等于球的半径. (3)×.球的体积之比等于半径比的立方. 2.直径为6的球的表面积和体积分别是 (　　) A.36π,144π B.36π,36π C.144π,36π D.144π,144π 【解析】选B.由题意知,球的半径r=3. 则S球=4πr2=4π×32=36π, V球= πr3= π×33=36π. 3.(教材二次开发:例题/习题改编)若正方体的体对角线长为a,则它的体积为________.  【解析】设正方体的边长为x,则 x=a, 故x= ,V= a3. 答案: a3 类型一　棱柱、棱锥和棱台的体积(数学运算、直观想象) 【典例】如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC,点D是AB的中点,求三棱锥A1-B1CD的体积. 【思路导引】方法一: 方法二:利用等体积法求解, 【解析】因为AA1=AC=4,BC=3,AC⊥BC, 所以AB=A1B1=5. 方法一:由题意可知 方法二:在△ABC中过C作CF⊥AB,垂足为F, 由平面ABB1A1⊥平面ABC知,CF⊥平面A1B1BA. 在△ABC中,CF= 【解题策略】 　几何体的体积的求法 (1)直接法:直接套用体积公式求解. (2)等体积转移法:在三棱锥中,每一个面都可作为底面.为了求解的方便,我们经常需要换底,此法在求点到平面的距离时也常用到. (3)分割法:在求一些不规则的几何体的体积时,我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体. (4)补形法:对一些不规则(或难求解)的几何体,我们可以通过补形,将其补为规则(或易于求解)的几何体. 【跟踪训练】 　如图,在三棱锥P-ABC中,PA=a,AB=AC=2a,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,求三棱锥P-ABC的体积. 【解析】因为AB=AC,∠BAC=60°, 所以△ABC为正三角形,设D为BC的中点,连接AD,PD,作PO⊥平面ABC. 因为∠PAB=∠PAC且AB=AC,所以O∈AD. 作PE⊥AB于点E,连接OE,则OE⊥AB. 在Rt△PAE中,PE=asin 60°= a,AE= . 在Rt△AEO中,OE= tan 30°= a. 所以OP= 又S△ABC= BC·AD= a2. 所以VP-ABC= ·S△ABC·OP= a3. 类型二　圆柱、圆锥和圆台的体积(数学运算、直观想象) 【典例】圆台上底的面积为16π cm2,下底半径为6 cm,母线长为10 cm,那么圆台的侧面积和体积各是多少? 【思路导引】解答本题作轴截面可以得到等腰梯形,为了得到高,可将梯形分割为直角三角形和矩形,利用它们方便解决问题. 【解析】如图,由题意可知,圆台的上底圆半径为4 cm,于是S圆台侧 =π(r+r')l=100π(cm2). 圆台的高h=BC= = V圆台= 【解题策略】 　求台体的体积关键是求高,为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算.对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形;在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形. 【跟踪训练】 　如图,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积. 【解析】如图所示,所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体,高的和AB=5, 底面半径DC= 故S表=π·DC·(BC+AC)= π, V= π·CD2·DA+ π·CD2·BD= π·CD2·(DA+BD)= π. 类型三　球的表面积和体积(数学运算、直观想象) 　角度1　球的表面积和体积  【典例】(1)已知球的体积是 ,则此球的表面积是 (　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.12π B.16π C. D. (2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么球的体积扩大到原来的 (　　) A.2倍 B. 倍 C.2 倍 D. 倍 【思路导引】结合球的表面积和体积公式计算求解. 【解析】(1)选B.设球的半径为R,由已知得V= πR3= ,解得R=2.所以球的表 面积S=4πR2=16π. (2)选C.设原来球的半径为r,扩大后球的半径为R,依题意可知 =2, 所以R= r.所以 即球的体积扩大到原来的2 倍. 　角度2　几何体的外接球内切球的问题  【典例】已知正四面体的棱长为a,四个顶点都在同一个球面上,试求这个球的表面积和体积. 【思路导引】正四面体的顶点都在同一个球面上,球心和正四面体的中心是同一个点,球心与正四面体各顶点的距离即球的半径. 【解析】如图所示,设正四面体P-ABC的高为PO1,球的球心为O,半径为R,则AO1 = AB= a. 在Rt△PO1A中, PO1= 在Rt△OO1A中,AO2 即R2= 解得R= a. 所以球的表面积S=4πR2=4π 体积V= πR3= π = πa3. 【解题策略】 　处理有关几何体外接球的问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总是在几何体的特殊位置,比如中心、对角线中点等.该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径. 【题组训练】 1.两个球的半径相差1,表面积之差为28π,则它们的体积和为________.  【解析】设大、小两球半径分别为R,r, 则由题意可得 所以 所以它们的体积和为 πR3+ πr3= 答案: 2.已知球的大圆周长为16π cm,求这个球的表面积. 【解析】设球的半径为R cm,由题意可知2πR=16π,解得R=8,则S球=4πR2=256π(cm2). 3.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B. πa2 C. πa2 D.5πa2 【解析】选B.由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a. 如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,易知AP= OP= a,所以球的半径R=OA满足R2= 故S球=4πR2= πa2. 4.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC=BC=6,AB=4,求球面面积与球的体积. 【解析】如图,设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于点O1,由于OA=OB=OC=R, 则O1是△ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1∈CM. 设O1M=x,易知O1M⊥AB, 则O1A= ,O1C=CM-O1M= -x. 又O1A=O1C,所以 = -x, 解得x= .所以O1A=O1B=O1C= 在Rt△OO1A中,O1O= ,∠OO1A=90°,OA=R, 由勾股定理得 解得R= (负值舍去), 则S球=4πR2=54π,V球= πR3=27 π. 1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球,则该球的体积为 (　　)　　　　 【解析】选A.由题意知,此球是正方体的内切球,根据其几何特征知,此球的直 径与正方体的棱长是相等的,故可得球的直径为2,所以球的半径为1,其体积是 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的 表面积为 (　　) A. B.16π C.9π D. 【解析】选A.如图,设球心为O,半径为r,则在Rt△AOE中,(4-r)2+( )2=r2,解得 r= ,所以该球的表面积为4πr2=4π× 3.(教材二次开发:练习改编)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为 则这个长方体的体对角线长是________.  【解析】 所以体对角线l= 答案: 4.如图在所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1中,三棱锥B-A1C1C的体积是________.  【解析】因为三棱锥B-A1C1C与三棱锥B-A1AC等底同高, 故 所以 而三棱锥A1-ABC的底面就是正三棱柱的底面,它的高就是正三棱柱的高, S△ABC= 所以 答案: 5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若这个球的体积 是 ,求此三棱柱的体积. 【解析】由 πR3= ,得R=2, 所以正三棱柱的高h=4.设其底面边长为a, 则 · a=2,所以a=4 , 所以V= $