第13章 培优微突破7 空间中的翻折问题-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（苏教版）

培优微突破7　空间中的翻折问题 第13章 立体几何初步 　　解立体几何中的“翻折”问题时，要注意两个方面：一是画好两个图——翻折前的平面图和翻折后的立体图；二是分析好两个关系 ——翻折前后哪些位置关系和度量关系发生了变化，哪些没有改变. [微重点] [例]　在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，E，F分别为线段CD，AB上的点，且＝＝，现将△ADE沿AE翻折至△APE，使二面角P－AE－B的大小为，且PB＝. (1)证明：AE⊥PF； 证明　连接EF，由题易知，四边形ADEF是边长为2的正方形. 连接DF，交AE于点M，如图，则AE⊥DF， 在四棱锥P－ABCE中，AE⊥PM，AE⊥MF， ∴AE⊥平面PMF，又PF⊂平面PMF， ∴AE⊥PF. (2)求直线PB与平面PAE所成角的正弦值. 解　设点F到平面PAE的距离为d1，点B到平面PAE的距离为d， 由(1)知∠PMF就是二面角P－AE－B的平面角， ∴∠PMF＝. ∵AE⊥平面PMF，∴平面PMF⊥平面PAE， 过点F作FH⊥PM交PM的延长线于点H， 如图，∵平面PMF∩平面PAE＝PM，∴FH⊥平面PAE. 又在△PMF中，PM＝MF＝， ∴∠FPM＝，PF＝， ∴d1＝FH＝PF＝， ∵＝，∴d＝d1＝. 设直线PB与平面PAE所成角为θ， ∴sin θ＝＝， ∴直线PB与平面PAE所成角的正弦值为. [微训练] 如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点. (1)求证：平面BDE⊥平面ABCM. 证明：由已知DA＝DM，E是AM的中点，∴DE⊥AM. ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，DE⊂平面ADM， ∴DE⊥平面ABCM. ∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCM. (2)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由. 解：过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件： ①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由： 在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM， ∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM， ∴l⊥平面ADM. ∵AD⊂平面ADM，∴l⊥AD. 故存在满足题意的直线l. $$