13.3.1 空间图形的表面积-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间图形的表面积，通过正八面体钻石切割的情境导入，引导学生从实际问题出发，系统学习柱体、锥体、台体的表面积公式，构建从具体到抽象的学习支架，衔接多面体与旋转体的表面积计算逻辑。 其亮点在于融合直观想象、逻辑推理与数学运算核心素养，如正四棱台容器制作问题，让学生在情境中推导公式并解决实际问题。采用典例解析与分层作业结合的教学方法，帮助学生提升空间观念和运算能力，为教师提供系统的教学资源和高效的教学支持。

13.3.1　空间图形的表面积 1 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积的 求法（直观想象）. 2.了解柱体、锥体、台体的表面积计算公式；能运用柱体、锥体、台体 的表面积公式进行计算和解决有关实际问题（逻辑推理，数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了 具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金 刚石经过切割、打磨等工序就能加工成璀璨夺目的钻石.如图就是一块正 八面体的钻石. 【问题】　已知该正八面体钻石的棱长为a，你能求出它的表面积吗？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1. 定义：多面体的表面积就是 的面积的 ⁠. 2. 几个特殊多面体 （1）直棱柱：侧棱和底面 的棱柱； （2）正棱柱：底面为 的直棱柱； （3）正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是 ⁠ ⁠； （4）正棱台：正棱锥 的平面所截，截面和底面之间的 部分. 围成多面体各个面　 和　 垂直　 正多边形　 底面 中心　 被平行于底面　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 直棱 柱 S直棱柱侧＝ ⁠， S表＝S侧＋2S底 c为底面多边形的周 长，h为棱柱的高 正棱 锥 S正棱锥侧＝ ⁠ ＝ ⁠， S表＝S侧＋S底 a为底面边长，c为底面 周长，h'为斜高 ch　 nah'　 ch'　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 名称 展开图 公式 备注 正棱 台 S正棱台侧＝ ⁠ ⁠ ＝ ⁠， S表＝S侧＋S上底＋S下底 a为下底面边长，a'为上 底面边长，c为下底面 周长，c'为上底面周 长，h'为斜高 n（a＋ a'）h'　 （c＋c'）h'　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 提示：正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系可表示为： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　圆柱、圆锥和圆台的侧面积及表面积 名称 展开图 公式 备注 圆柱 S上底＝S下底＝2πr2， S圆柱侧＝cl ＝ ⁠， S圆柱表＝ ⁠ ⁠ r为底面圆半径，l为圆 柱的母线 2πrl　 2πr（r ＋l）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 名称 展开图 公式 备注 圆锥 S底＝ ⁠， S圆锥侧＝ cl ＝ ⁠， S圆锥表＝ ⁠ ⁠ c为底面周长，l为母线 长，r为底面圆半径 πr2　 πrl　 πr（r＋ l）　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 名称 展开图 公式 备注 圆台 S上底＝ ⁠， S下底＝ ⁠， S圆台侧＝ （c＋c'）l ＝π（r＋r'）l， S圆台表＝π（r'2＋ r2＋r'l＋rl） r'，r分别为上、下底面圆 半径，c'，c分别为上、 下底面圆周长，l为圆台 的母线长 πr'2　 πr2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有怎样的关系？ 提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系可表示为： 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 棱长都是1的三棱锥的表面积为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 4 √ 解析： 　S表＝4S正三角形＝4× ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 ，体对角线 长为 ，则下列结论正确的是（　　） A. 棱柱的侧面积是8 B. 棱柱的侧面积是2 C. 棱柱的表面积是9 D. 棱柱的侧面积是10 解析： 　由题意知，底面正方形的边长为1，直棱柱的高为2，所以S侧 ＝4×1×2＝8，S表＝S侧＋S底＝8＋2×1×1＝10.故选A、D. √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的 表面积是 ⁠. 解析：圆台的表面积为S表＝π（1＋5）×5＋12π＋52π＝56π. 4. （2025·南通期末）已知圆锥的底面半径和高均为1，则该圆锥的侧面积 为 ⁠. 解析：根据题意得圆锥的母线长l＝ ＝ ，代入S侧＝πrl即可求 得S侧＝π×1× ＝ π. 56π　 π　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜多面体的侧面积与表面积 【例1】　（链接教科书第200页例1）用铁皮制造一个上大下小的正四棱 台形无盖的容器（上面开口），正四棱台容器的上底面是边长为40 cm的 正方形，下底面是边长为20 cm的正方形，侧面是全等的等腰梯形. （1）若正四棱台的侧棱长为20 cm，则制造这种容器需要多少平方厘 米铁皮？ 解： 如图，将该正四棱台容器倒置后得正四棱台 ABCD-A1B1C1D1， 它的上底面是边长为20 cm的正方形，下底面是边长为40 cm的正方形， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以上底面小正方形的面积为400 cm2， 因为侧棱长为20 cm，侧面是全等的等腰梯形，作A1E垂直于AB，垂足为E， 所以侧面等腰梯形的高为A1E＝ ＝ ＝10 ， 所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40）×10 ＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4＝400＋1 200 （cm2）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若正四棱台的高为10 cm，则制造这种容器需要多少平方厘米 铁皮？ 解： 如图，将该正四棱台容器倒置后得正四棱台 ABCD-A1B1C1D1，设O1，O分别为上、下底面的中心， 过O作OE⊥BC于E，过O1作O1E1⊥B1C1于E1， 过E1作E1F⊥OE于F，连接E1E，则E1E为正四棱台的 斜高. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以侧面等腰梯形的高为E1E＝ ＝ ＝10 ， 所以侧面等腰梯形的面积为S梯形＝ ×（20＋40） ×10 ＝300 ， 所以该容器的表面积为S表＝400＋300 ×4＝400＋1 200 （cm2）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 　　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积和表面积的求解方法 （1）直棱柱的侧面展开图是一个矩形，因此求侧面积只需求出相应底面 周长及高即可； （2）求解正棱锥的表面积需注意棱锥的四个基本量，即底面的边长， 高，斜高，侧棱，并注意两个特殊的直角三角形的应用； （3）求解正棱台的表面积需注意棱台的五个基本量，即上下底面边长、 高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4 cm，它的侧棱与高所成的角为45°， 求该正三棱锥的表面积. 解：如图所示，设O为正三角形ABC的中心， 连接PO，连接AO并延长交BC于D，连接PD， 则PO是正三棱锥P-ABC的高. 由正三角形ABC的性质知，D是BC的中点， 又PB＝PC，故PD⊥BC，即PD是三棱锥的斜高. 由已知∠APO＝45°，AO＝ × ×4＝ （cm）， 数学·必修第二册（SJ） 目 录 所以PA＝ AO＝ × ＝ （cm）， 所以PB＝ （cm）.所以PD＝ ＝ ＝ （cm）. 所以正三棱锥P-ABC的侧面积S侧＝3S△PBC＝3× ×4× ＝4 （cm2）， 底面积S底＝ ×42× ＝4 （cm2）. 故S表面积＝S侧＋S底＝4 ＋4 ＝4（ ＋ ）（cm2）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜旋转体的侧面积与表面积 【例2】　（链接教科书第200页例2）如图所示，已知直角梯形ABCD 中，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm，求 以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形的表面积. 解：以AB所在直线为轴旋转一周所得空间图形是圆台， 其上底面半径是4 cm， 下底面半径是16 cm， 母线DC＝ ＝13（cm）， 所以该空间图形的表面积为π（4＋16）×13＋π×42＋π×162＝532π （cm2）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此弄清 侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们 的侧面积公式及解决有关问题的关键. 2. 解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平 面问题. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相 等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比. 解：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r，R，则有 ＝ ，即 ＝ ，所以R＝2r，圆锥的母线长l＝ R， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ －1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜组合体的表面积 【例3】　如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为 轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？ 解：几何体的表面积为S＝6×22－π×（0.5）2×2＋2π×0.5×2＝24－ 0.5π＋2π＝24＋1.5π. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求组合体表面积时应注意的问题 （1）首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求 其面积，然后把这些面的面积相加或相减； （2）在求组合体的表面积时要注意“表面（和外界直接接触的面）”的 定义，以确保不重复、不遗漏. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 （2025·镇江期末）如图，将一个圆柱4等份切割，再将其重新组合成一个 与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了 20，则原圆柱的侧面积是（　　） A. 10π B. 20π C. 100π D. 200π √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设圆柱的底面圆半径为r，高为h，则原圆柱的表面积为2πr2＋ 2πrh，新几何体的表面积为2πr2＋2πrh＋2rh，故2rh＝20，原圆柱的侧面 积为2πrh＝20π.故选B. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为 （　　） A. B. 1 C. D. 解析： 　依题意，正三棱台的高h＝ ＝1. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10， 则（　　） A. 圆台的侧面积为68π B. 圆台的侧面积为100π C. 圆台的表面积为100π D. 圆台的表面积为168π √ √ 解析： 　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r， 下底面半径为R，高为h，则它的母线长为l＝ ＝ ＝5r＝10，所以 r＝2，R＝8.故S侧＝π（R＋r）l＝π（8＋2）×10＝100π，S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选B、D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该 圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 ⁠. 解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形， 所以圆柱的高为2 ，底面圆的直径为2 ，所以该圆柱的表面积为 2×π×（ ）2＋2π× ×2 ＝12π. 12π　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图，设正三棱锥S-ABC的顶点S在底面的正投影 为点O，作OD⊥AB于点D，连接SD，SO. 因为正三棱锥 的底面边长为3，高为 ，所以OD＝ ，OS＝ ，则SD＝ ＝1.因为SO⊥AB，OD⊥AB，SO∩OD＝O，SO，OD⊂平面SOD，所以AB⊥平面SOD，则AB⊥SD. 因为正三棱锥的侧面是全等的三角形，所以正三棱锥的侧面积为3× ×3×1＝ . 4. 已知正三棱锥的底面边长为3，高为 ，则该正三棱锥的侧面积为 ⁠. 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 某圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为π的扇形，则该圆锥的高为 （　　） A. 1 B. C. 2 D. 2 解析： 　依题意，圆锥的母线长l＝2.设圆锥的底面圆半径为r，则2πr ＝π×2，解得r＝1，所以圆锥的高h＝ ＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这 个棱柱的表面积是（　　） A. 8 B. 16 C. 8＋12 D. 8＋16 解析： 　设直棱柱的高为h，则 ＝4，解得h＝2 ，故直 棱柱的表面积为2×22＋4×2×2 ＝8＋16 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表 面积是（　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 √ 解析： 　∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于 a，∴S表＝ a2 ＋3× × ＝ a2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为（　　） A. 4＋4 B. 4＋4 C. 12 D. 8＋4 √ 解析： 　连接A1B（图略）.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又 AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面 AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2 ， BC＝ .又AB⊥BC，则AB＝ ，则该三棱柱的侧面积为2 ×2＋ 2×2＝4＋4 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋 转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（　　） A. π B. （1＋ ）π C. 2 π D. （2＋ ）π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长 ，所以所形成的几何体的 表面积S＝πrl＋πr2＝π×1× ＋π×12＝（ ＋1）π；如果绕斜边所在 直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形 斜边的高 ，两个圆锥的母线长都是1，所以形成的几何体的表面积S＝ 2×πrl＝2×π× ×1＝ π.综上可知，形成几何体的表面积是（ ＋ 1）π或 π.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，若θ＝30°， 侧棱长为 ，则（　　） A. 正四棱锥的底面边长为6 B. 正四棱锥的底面边长为3 C. 正四棱锥的侧面积为24 D. 正四棱锥的侧面积为12 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　如图，在正四棱锥S-ABCD中，O为正方形 ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a（a＞0）， 因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝ a，SH＝a.在Rt△SAH中，a2＋ ＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝ ×6×2 ×4＝24 .故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 圆柱OO'的底面直径为4，母线长为6，则该圆柱的侧面积为 ，表 面积为 ⁠. 解析：由题意知圆柱的底面半径r＝2，母线长l＝6，则该圆柱的侧面积为 S侧＝2πrl＝24π，表面积为S表＝2πrl＋2πr2＝2πr（r＋l）＝32π. 24π　 32π　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 如图所示，正方形ABCD的边长为6 cm，BC，CD的中点分别为E， F，现沿AE，AF，EF折叠，使B，C，D三点重合，构成一个三棱锥， 则这个三棱锥的表面积为 cm2. 解析：因为折叠后构成的三棱锥的表面均由原正方形的各部分围成，且没 有重叠，因此这个三棱锥的表面积就是正方形的面积，为6×6＝36 （cm2）. 36　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8 的等腰梯形，则该四棱台的侧面积为 ⁠. 解析：如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，过B1作 B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝ ×（8－4） ＝2，B1B＝8，∴B1F＝ ＝2 ，S侧＝ ×（4 ＋8）×2 ×4＝48 . 48 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图所示，已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积. 解：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h'， 过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则 SE⊥AB，SE＝h'. 因为S侧＝2S底， 所以3× ·a·h'＝ a2×2. 所以a＝ h'. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋（ × h'）2＝h'2. 所以h'＝2 ，所以a＝ h'＝6. 所以S底＝ a2＝ ×62＝9 ，S侧＝2S底＝18 . 所以S表＝S侧＋S底＝18 ＋9 ＝27 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. （2025·连云港期末）用油漆涂100个圆台形无盖水桶（桶内外侧都要 涂），桶口直径为30 cm，桶底直径为25 cm，母线长为27.5 cm.已知每平 方米需用油漆120 g，共需用油漆（精确到0.1 kg）（　　） A. 6.7 kg B. 6.8 kg C. 6.9 kg D. 7.0 kg √ 解析： 30 cm＝0.3 m，25 cm＝0.25 m，27.5 cm＝0.275 m，120 g＝ 0.12 kg，S侧＝π×0.275×（ ＋ ）＝0.275×0.275π，S底＝π× （ ）2＝0.125×0.125π，故一个桶需要涂漆面积为S＝2（S侧＋S底）＝ 0.182 5π，故100个桶需要涂漆为100×0.12×0.182 5π≈6.9 kg.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台 O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说 法正确的有（　　） A. ∠ADC＝30° B. 该圆台轴截面ABCD面积为3 cm2 C. 该圆台的侧面积为6π cm2 D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 对于A，由已知及题图知： cos ∠ADC＝ 且0°＜∠ADC＜90°，故∠ADC＝60°，故A错误；对 于B，由A易知：圆台高为h＝2× sin 60°＝ ，所以圆 台轴截面ABCD面积S＝ ×（2＋4）× ＝3 cm2，故B正确；对于C，圆台的侧面积S侧＝π×（1＋2）×2＝6π cm2，故C正确；对于D，将圆台一半侧面展开，如图中ABCD且E为AD中点，而圆台对应的圆锥体一半侧面展开为COD且OC＝4，又∠COD＝ ＝ ，所以在Rt△COE中CE＝ ＝5 cm，即点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半 正多面体”（图①）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的 多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面 体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则 该半正多面体共有 个面，其棱长为 ⁠. 26　 －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：由题图②可知第一层与第三层各有9个面，共18个 面，第二层有8个面，所以该半正多面体共有18＋8＝26 （个）面.如图所示，设该半正多面体的棱长为x，则AB ＝BE＝x，延长CB与FE的延长线交于点G，延长BC交 棱长为1的正方体棱于点H，由半正多面体的对称性可 知，△BGE为等腰直角三角形，所以BG＝GE＝CH＝ x，所以GH＝2× x＋x＝（ ＋1）x＝1，解得x＝ ＝ －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高 为x的圆柱. （1）用x表示此圆柱的侧面积表达式； 解： 设圆柱的半径为r，圆柱的高为x，则 ＝ ， 解得r＝2－x，且0＜x＜2， ∴圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πrx＝2π（2－x）x＝－2πx2＋ 4πx（0＜x＜2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）当x为何值时，此圆柱的侧面积最大，最大值为多少？ 解： S圆柱侧＝－2πx2＋4πx＝2π[－（x－1）2＋1]，0 ＜x＜2，当x＝1时， S圆柱侧取得最大值为2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，是 《算经十书》中最重要的一部.《九章算术》中将有三条棱互相平行且有 一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，现有一个羡除如图所示，已知上 底面ABCD是高为2的等腰梯形，右侧面BCEF是高为1的等腰梯形，下底 面是梯形，前、后侧面均为三角形.AD＝8，BC＝10，EF＝6， AD∥BC∥EF，且平面ABCD⊥平面BCEF，求该“羡除”的表面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：S梯形ABCD＝ ×（8＋10）×2＝18， S梯形BCEF＝ ×（10＋6）×1＝8. 在等腰梯形ABCD中， ∵AD＝8，BC＝10， 梯形的高为2， ∴AB＝ ＝ . 同理可得，BF＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 过F作FM⊥BC于M，过M作MN⊥AD于N，连接FN（图略）， 则有FM＝1，MN＝2，BM＝2，AN＝1. ∵BC⊥FM，BC⊥MN，FM∩MN＝M，FM，MN⊂平面FMN， ∴BC⊥平面FMN. ∴BC⊥FN. 又BC∥AD，∴AD⊥FN. ∵平面ABCD⊥平面BCEF， ∴∠NMF＝90°.∴FN＝ ，AF＝ ， ∴S梯形ADEF＝ ×（8＋6）× ＝7 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 在等腰△ABF中，点B到AF的距离为 ＝ ，∴S△ABF＝ × × ＝ . 由对称性可知S△DCE＝S△ABF＝ . ∴该“羡除”的表面积为18＋8＋7 ＋ ＋ ＝26＋7 ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $