2.1.1倾斜角与斜率教学课件--2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率，系统讲解倾斜角定义及范围、斜率概念与公式、方向向量等核心知识，通过探索确定直线位置的几何要素导入，衔接平面直角坐标系旧知，为后续直线方程学习搭建认知支架。 其亮点在于以数学抽象深化概念理解，如倾斜角三条件辨析，以直观想象辅助问题解决，如旋转倾斜角分情况讨论，结合数学运算设计分层例题与练习。教师可依托此资料系统教学，学生能通过数形结合提升解题能力，深化对“形”与“数”联系的认识。

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 第二章　直线和圆的方程 1 学习指导 核心素养 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程． 3.掌握过两点的直线斜率的计算公式． 数学抽象：理解直线的倾斜角和斜率的概念． 2.直观想象：结合图形把握，确定直线位置的几何要素． 3.数学运算：利用公式计算直线的斜率． 返回导航 CONTENTS 目录 必备知识 落实 关键能力 提升 课堂巩固 自测 课后达标 检测 01 必备知识 落实 4 知识点一　直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，以______轴为基准，x轴正向与直线l______的方向之间所成的角α叫做直线l的__________． (2)范围：当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为______，直线倾斜角α的取值范围为_______________． x 向上 倾斜角 0° 0°≤α<180° 返回导航 (1)在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正向；③小于平角的非负角． (2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 返回导航 　(1)如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜 角为(　　) A．45° B．135° C．0° D．无法计算 【解析】　根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90°＋45°＝135°.故选B. √ 返回导航 (2)(多选)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B．45°－α C．α－135° D．135°－α 【解析】 如图①所示，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角是α＋45°，如图②所示，当135°≤α<180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°. √ √ 返回导航 求直线倾斜角的关键及两点注意 (1)关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正向之间所成的角． (2)注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 返回导航 　已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90°　　　　　　 B．90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° 解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. √ 返回导航 知识点二　直线的斜率 (1)斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角α的__________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_________． 倾斜角是_________的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率． 正切值 tan α 90° 返回导航 直线的倾斜角是一个角(图形)，而斜率是一个实数值(数)，斜率的绝对值越大，直线的倾斜角越接近90°. 返回导航 (2)斜率公式 如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么可得斜率公式k＝_________． 在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和_________两个角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度． 数 返回导航 (1)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关，即在直线l上任取不同的两点P1，P2，其斜率均不变． (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换． 返回导航 　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α. (1)A(2，3)，B(4，5)； 返回导航 (2)C(－2，3)，D(2，－1)； (3)P(－3，1)，Q(－3，10). 【解】　不存在，因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，直线的倾斜角α＝90°. 返回导航 返回导航 √ 返回导航 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m，1)当m＝________时，直线l的斜率是1. 返回导航 知识点三　直线的方向向量 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量 ＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的非零向量都是直线的__________．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝_____． 方向向量 返回导航 1．已知经过两点A(2，3)，B(4，5)的直线的一个方向向量为(1，k)，则k的值为________． 返回导航 2．已知直线l的一个方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________． 返回导航 02 关键能力 提升 23 考点　倾斜角及斜率的应用 角度1　三点共线问题 　 若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，求k的值． 返回导航 用斜率公式解决三点共线的方法 返回导航 返回导航 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置． 返回导航 1．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) √ 返回导航 2．经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角为45°.若点C(m＋1，n)在直线AB上，求m，n的值． 返回导航 03 课堂巩固 自测 30 1．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B．一条直线的倾斜角为－30° C．若直线的倾斜角为α，则sin α≥0 D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α √ √ 2 3 4 1 返回导航 解析：据题意，对于A，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，A错误； 对于B，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，B错误； 对于C，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，则有sin α≥0，C正确； 对于D，任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α，D正确，故选CD. 2 3 4 1 返回导航 √ 2 3 4 1 返回导航 √ 2 3 4 1 返回导航 2 3 4 1 返回导航 4．已知点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值． 2 3 4 1 返回导航 2 3 4 1 返回导航 04 课后达标 检测 [A　基础达标] 1．直线x＝tan 60°的倾斜角是(　　) A．90° B．60° C．30° D．不存在 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 39 2．(2022·湖北部分重点中学高二期中)已知点A(－3，2)，B(0，－1)，则直线AB的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．120° √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 40 3．已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是(　　) A．0°≤α<180° B．15°<α<180° C．15°≤α<180° D．15°≤α<195° 解析：设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β＝α－15°，则0°≤α－15°<180°，解得15°≤α<195°. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 41 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 42 5．(2022·天津武清区高二月考)若A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)三点在同一条直线上，则实数b＝(　　) A．2 B．3 C．9 D．－9 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 43 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 44 6．(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标可能为(　　) A．(0，－4) B．(4，0) C．(2，0) D．(0，－8) √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 45 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 46 7．已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为________，实数m的值为________． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 47 8．一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________． 解析：作出入射光线和反射光线，如图．因为入射光 线的倾斜角α1＝30°，所以入射角为60°.又反射角等 于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60° ＋30°＝150°. 答案：150° 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 48 9．已知交于M(8，6)点的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，则这四条直线的倾斜角从小到大依次为________．(用“<”连接) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 49 10．已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ 解：若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1. (2)直线l的方向向量的坐标为(3，1). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 50 (3)直线的倾斜角为锐角？ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 51 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 52 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 53 12．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)   A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 解析：由题图知直线l1的倾斜角为钝角，所以k1<0.又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，所以0<k3<k2，所以k1<k3<k2. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 54 13．(多选)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则下列四种说法中错误的是(　　) A．若α<β，则k1<k2 B．若α＝β，则k1＝k2 C．若k1<k2，则α<β D．若k1＝k2，则α＝β √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 55 解析：由题意，两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别是k1，k2， 所以k1＝tan α，k2＝tan β，且α，β∈[0，π)，根据正切函数在[0，π)上的定义域和单调性的关系可得， 对于A，若α为锐角，β为钝角，此时k1>0>k2，故错误； 对于B，若α＝β＝ ，此时斜率不存在，故错误； 对于C，若k1<0，k2>0，此时α为钝角，β为锐角，α>β，故错误； 对于D，若k1＝k2，此时α＝β，故正确． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 56 14.如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，求对角线AC与BD所在直线的斜率． 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 57 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 58 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 59 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 60 因为函数y＝－2x＋8的图象是一条直线， 所以当x∈[2，5]时，其图象是直线y＝－2x＋8上的线段AB，其中A(2，4)，B(5，－2). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 61 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 13 14 15 16 返回导航 62 $