广东珠海市第一中学2025-2026学年下学期高一第二阶段考试数学试题

**基本信息** 本试卷以高一数学核心知识为载体，通过基础题、综合题与创新题的梯度设计，融合数学文化（祖暅原理）与空间几何应用，考查空间观念、推理能力及创新意识，适配月考阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|圆锥体积、复数纯虚数、向量共线|基础概念辨析，如第2题复数纯虚数定义应用| |多选题|3/18|长方体线线角、向量夹角余弦值|多选项分层考查，如第10题综合线面角计算| |填空题|3/15|正四棱台表面积、向量投影坐标|需空间想象与运算结合，如第12题棱台表面积计算| |解答题|5/77|正三棱柱面面垂直证明、祖暅原理推导|第19题结合数学史，体现文化传承与创新应用|

珠海市第一中学2025-2026学年第二学期第二阶段考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色字的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂，不按要求填涂的，答卷无效。 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只将答题卡交回。 一、单选题:本题共8题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为( ） A. 9π B. 12π C. 16π D. 36π 2.复数z=(m2-1)+(m+1) i是纯虚数，则实数m=( ） A. 0 B. -1 C. 1 D.+l 3.已知向量 =(1,2), =(2,m)，若 - 与 共线，则m的值为( ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知m，n是两条直线，a，β两个平面.下列命题正确的是( ） A.若m//n,m⟂a,n⟂B，则a//β B. 若m//a,n//a,m⊂B,n⊂B,则a//β C.若m//n，n⊂a,则m//a D. 若m⟂a,m⟂n，n//B,则a⟂β 5.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，0为AC与BB交点. 当PA//平面EBF时，=( ） A． B． C. D. 6.已知一个正四面体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正四面体的长为( ） A. B. C. D. 7. 已△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b,c，且面积为S.若a=1,C=且4S=a cos B+bcos A, 则B=( ） A. B. C. D. 8. 已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为 ，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为( ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部分选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数z= ，则( ） A.z的虚部为-1 B.|2|= C. →=-1-2i D. z+4i5在复平面内对应的点位于第四象限 10.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2, BC=CC1=1, 则( ） A. BC1⟂DA1 B.直线AB1与BC1所成角的余弦值为 C.直线AB1与平面ABC1D1所成角的余弦值为 D.直线BC1与平面ABCD所成角的余弦值为 11.如图，△ABC是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形组成的大等边三角形，若DF=2AF，则( ） A.sin ∠CAF =3sin ∠ ACF B.||=|| C.= D.与夹角的余弦值为- 三、填空题:本题共3题，每小题5分，共15分。 12.若正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是3，则它的表面积为 。 13.已知=(3,1)，=(1,2)，=(x,1)，若⟂，则在方向上的投影向量的坐标为 。 14.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,且sin2A+sin2B+sin2C=2,则cos A+cosB+3cosC的最大值为 。 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小13分)如图，已知正三柱ABC-A1B1C1中，点P为BC的中点。 (1)证明:A1B//平面APC1； (2)证明:平面APC1⟂平面BCC1B1。 16. 本小题15分)在△ABC中，内角A,B.C的对边分别a,b.c，且bsinA=acosB. (1)求角B； (2)若a+c=2.b=,∠ABC的平分线交AC于点D,求BD。 17.(本小题15分)如图，在四边形 ABCD中,∠DAB =90°,∠ADC=135°, AB=5,AD=l,CD=,四边形ABCD绕AD所直线旋转一周所形成新的几何体。 (1)求该几何体的表面积和体积; (2)若旋转过程中，点C和点B始终落在球O上， 求球O的表面积。 17. (本小题17分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c-2BcosA=b。 (1) 求证: A=2B； (2)若cosB=, a+4=2c,求b； (3)求的最小值。 19.(本小题17分)南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同，则积不容异”如图1，其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅原理可以求解球缺的体积问题。如图2，球体被平面裁下的一部分叫作球缺，裁面叫作球缺的底面，垂直于面的直径被截下的线段长叫作球缺的高h。如图3，各校长均为4的正三棱锥A-BCD中，点H是的△BCD的中心，AH是正三锥的高(AH垂直于底面BCD任意一条直线)。 (1)求正三棱锥A-BCD的体积: (2)利用祖暅原理推导半径为R，高为h的球缺的体积公式: (3)已知动点P在空间内运动，且PA⟂PB，记点P围成的空间几何体为Ω .若平面BCD把空间几何体Ω分两个部分，求较小部分的体积。       第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $