山西忻州市第一中学校2026届高三下学期考前猜题卷（一）数学试题

绝密女启用前 试卷类型：A 忻州一中2026届高三考前猜题卷（一） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知复数之满足(1-2)z=3+i,则|z= A.1 B.2 C.2 D.5 2.已知集合A={x∈Z|x-1<3},B={x|x2-4x≤0}，则A∩B的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 3.已知向量a,6满足1d=1,⑦=2，且(a+可⊥(2a-可，则a.6= A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.已知函数f()=sim(2x+p),0≤p<π。若f(x)的图象关于直线x= 对称，则= 6 A.0 B. C. 2m 6 3 D. 3 5.已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则该圆锥的体积为 A. 4V3π B. 8V3T C.8π D. 16V3π 3 3 3 6.某无人机在水平面内飞行，地速向量等于空速向量与风速向量之和。图中以同一比例尺给 出空速向量⑦a=OA和地速向量⑦。=OG,其中每格代表1/s。已知风速大小与风力等级 对应如下，则此时风速对应的名称为 风速大小(m/s) 名称 1.63.3 轻风 3.4八5.4 微风 5.57.9 和风 8.0~10.7 劲风 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学第1页（共4页）】 忻州一中✉ 模拟专用 G(4,3) 3 2 地速 1 空速 45A5.0) A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 7.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线1与C交于A,B两点。若AB=8,则 直线1的斜率的绝对值为 A.2 B.1 C.3 D.2 8.若正实数x,,z满足1+log2x=3+l1og3y=5+log5之，则x,y,z的大小关系不可能是 A.x>y>z B.y>x>z C.y>z>x D.x>z>y 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.有一组样本数据x1,x2,·,xn,其平均数为元，方差为s2(s>0)。现向这组数据中加入 两个新数据元-d,元+d(d>0),得到一组新的样本数据，其平均数为，方差为s2,则下 列说法正确的是 A.=元 B.新样本数据的中位数一定等于原样本数据的中位数 C.若d=s,则s2<s2 D.s2=ns2+22 n+2 0已知函数mL+0>-山。令9四)=f四+f-,-1<父<工 下列说法正确的是 A.f(x)在x=0处取得最小值 B.g(x)为偶函数，且g(x)≥0 C.方程g(x)=1在区间(-1,1)内有且仅有两个实根 D.对任意x∈(-1,1)，都有g(c)<2x2 1.椭园E:兰+y=1上有一点P位于第一象限。过P作椭圆E的切线，该切线与： 轴、y轴正半轴分别交于M,V。若S△oMN=4,其中O为坐标原点，则下列说法正确的是 A.满足条件的点P有且仅有2个 B.|OP2的两个可能值之和为5 C.切线的斜率一定小于-1 D. 两条可能切线的斜率之积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数之≠0满足之-1=2-，之+z=z2,则2= 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学第2页（共4页）】 忻州一中 专用 13.已知数列{an}满足a1=3,am+1=3+ (n∈N*),则a5= an+3 14.已知抛物线C:y2=4c的焦点为F,准线与x轴交于点D。过F的直线交C于A,B 两点，若点D在以AB为直径的圆上，则AB= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin C=2sin A cos B. (1)求证：A=B; (2)若c=2,且△ABC的面积为V3,求△ABC的周长。 16.（本小题满分15分)】 设数列{an}满足 a1=2, (n+1)an+1=nan +2n+1 (nEN*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设f(x)=1x+a2x2+·+anx”,求f'(1)。 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB1C1中， AB=AC=AA=2. ∠BAC=90°. 点D为棱BB1的中点，点E为线段A1C1的中点。 (1)证明：DE‖平面ABC1; (2)求平面CDE与平面ABC所成二面角的正弦值。 1 B D B 18.（本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F。过点F的直线1与抛物线C交于A,B两点，设M 为线段AB的中点。 (1)求点M的轨迹方程； (2)求弦AB长度的最小值，并说明取等条件。 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学第3页（共4页)】 忻州一中 用 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=x-ln(1+x)-ax2,x>0,a>0。 (1)讨论函数f(x)在区间(0，+o∞)上的单调性； (②)若0<a<2,求f(x)在(0，+∞)上的最大值 (3)求实数入的最小值，使得对任意x>0,都有 x-1n(1+x)≤λx2. 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学第4页（共4页）】 忻州一中 专用 参考答案与详解 2026届高三考前猜题卷（一）·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案B C D BB A B D 1.由 (1-2)z=3+i 取模，得 |1-2z=3+. 所以 v5z=V10, 因此 l=v2. 故选B。 2.由 x-1<3 得 -3<x-1<3, 即 -2<x<4. 又因为x∈Z,所以 A={-1,0,1,2,3} 由 x2-4x≤0 得 x(x-4)≤0， 所以 B=[0,4: 因此 A∩B={0,1,2,3} 共有4个元素。故选C。 3.由 (a+b⊥(2a-b 可知 (a+b.(2a-0=0. 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 展开得 2d2-d.i+2a.6-12=0, 即 2la2+d.i-1=0. 代入 ad=1, 0=2, 得 2.12+石.6-22=0. 所以 d.b=2. 故选D。 4.函数 f(x)=sin(2x+) 的对称轴满足 2x+p=2+km, k∈Z. 因为图象关于直线 x= 6 对称，所以 2. :6+9=2+km 即 3+9=2+m, 所以 p=石+k 又 0≤p<π， 因此 P-g 故选B。 5. 圆锥底面半径为 r=2 母线长为 1=4. 则圆锥的高为 h=V2-r2=V16-4=2V5. 所以圆锥体积为 V-mh-42w5-808 3 故选B。 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 6. 由题意， Ua Va Uw; 所以 iw=ig-元a 由图可知 ⑦。=(5,0)， 元g=(4,3). 因此 ⑦=(4,3)-(5,0)=(-1,3) 风速大小为 |⑦w=-1)2+32=V10. 又 vV10≈3.16， 落在 1.63.3 范围内，所以对应名称为轻风。故选A。 7.抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0). 设过F的直线为 y=k(x-1) 代入抛物线，得 k2(x-1)2=4x. 令 u=x-1, 则 k2u2=4(u+1), 即 k22u2-4u-4=0. 设两交点对应的u值为山1，u2,则 仙-l=仁4-42(-④_4V1+及 k2 2 由于直线上两点的坐标差满足 △y=k△x, 所以弦长为 AB V1+k2 un-u2 因此 ABI=V1+k2. V1+24(1+k2) k2 k2 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第3页】 州一中 专用 由题意 41+k2) 2 得 1+k2=2k2, 所以 k2=1. 因此 k=1. 故选B。 8.设公共值为t,则 1+10g2 x=3+log3 =5+l0g52=t. 于是 x=2-1,y=3-3,之=55. 下面比较三个函数 2*-1, 3t-3,5t-5 的大小变化。 令x=y,得 2t-1=3-3. 两边取自然对数，得 (t-1)ln2=(t-3)ln3, 所以 31n 3-In 2 ≈6.42. 1n3-In 2 令x=之，同理可得 51n5-In2 t= ≈8.03. ln5-In 2 令y=之，同理可得 5ln5-3n3 t= ≈9.30. 1n5-In3 因此随着t增大，三个量的大小顺序依次经历 c>y>2, y>x>2, y>之>x, 之>y>x. 所以选项A、B、C均可能出现，而 x>z>y 不可能出现。 故选D。 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第4页】 所州一中 专用 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 AD ABC ABD 9.加入的两个新数据为 元-d, 元+d, 它们关于元对称，所以新样本数据的平均数仍为 =元. 故A正确。 原样本方差为 由于新平均数仍为元，加入的两个数据到平均数的偏差分别为一d与d,所以新样本方差为 s2=ns2+d2+2_ns2+2a n+2 n+2 故D正确。 加入两个新数据后，样本容量和数据排列都可能发生变化，中位数不一定保持不变，故B错 误。 若d=s,则 s2=ns2+2s2 =s2) n+2 并非s2<s2,故C错误。 综上，选AD。 10.先研究 f)=ln(1+)-1+x 求导得 1 1 ')=1+1+=1+P 因为x>-1时有(1+x)2>0,所以当-1<x<0时，f'(x)<0;当x>0时，f'(c)>0。 因此f(x)在x=0处取得最小值，故A正确。 由 g(x)=f(c)+f(-x) 可知 g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x), 所以g(x)为偶函数。 进一步化简： 9=1+)-1千+1-到+1 所以 2x2 gc)=ln(1-2)+1-2 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 专用 令 t=x2,0≤t<1, 则 g(x)=h(t), 其中 2t hd)=n(1-)+1-t 求导得 闭=1+a2p-p>0 1 2 1+t 所以h(t)在[0,1)上单调递增。又 h(0)=0, 因此 g(x)≥0. 故B正确。 因为 h(0)=0, 且 lim h(t)=+oo, 并且h(t)在[0,1)上严格递增，所以方程 h(t)=1 在0<t<1内有且仅有一个实根。由于 t=x2, 故方程g(x)=1在(-1,1)内有且仅有两个实根。故C正确。 当x→1-时， gg=nl1-的+2→+o, 2x2 而 2x2<2. 所以不可能对任意x∈(-1,1)都有g(x)<2x2。故D错误。 综上，选ABC。 11.设 P=(2cos0,sin), 0<0< 记 c=cos0,s=sin0, 则 P=(2c,s) 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 用 椭圆 4+2=1 在点P处的切线方程为 x(2c) +ys=1, 4 即 c 2+5y=1. 令y=0,得 令x=0,得 所以 w(层o）v(o) 于是 1211 SAOMN=2e‘S=cS 由题意 S△OMN=4, 所以 1 cs=A 即 sin 20 2cs 1 2 因为 0<0<2 所以 29-=8 或20= 5π 6 故 0= 或日= 5π 因此满足条件的点P有且仅有2个，A正确。 又 1OP2=(2c)2+s2=4c2+s2. 因为 s2=1-c2, 所以 10P12=1+3c2. 当 最 5π 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第7页】 所州一中 时，对应的两个c2之和为1，所以两个OP2的可能值之和为 (1+3c2)+(1+3c2)=2+3(c2+c2)=5. 故B正确。 由切线方程 2+sy=1 可得 1 252+ 因此切线斜率为 k=-c 2s 当 时， M=_cot15° 2+V 2 2 当 0-日 时， 2= cot75°_2-V3 2 2 其中 aV8>-1 所以切线的斜率不一定小于一1，C错误。 两条可能切线的斜率之积为 -((29 2+82-图-青 故D正确。 综上，选ABD。 三、填空题 题号121314 答案 V2 33 31 4 12.设 之=x+y2. 由 |z-1=z- 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 专用 得 (x-1)2+y2=x2+(-1)2. 化简得 =4. 又由 之+乏=z2 得 2x=x2+y2 代入y=x,得 2x=2x2. 所以 x=0或x=1. 因为之卡0，所以 x=y=1. 因此 之=1+i, 从而 |z=12+12=V2 13. 由题意， a1=3. 直接计算得 02-38+3 3.3+15 3 3.号+1 9 3= +3=7 3.号+117 a4= 号+3=15 3贵+1_ 33 a5= 焉+3 留 31 也可令 6=am1 an +1 由 dn+1= 3am+1 an+3 可得 an+1-1_1,am-1 a+1+1=2a4+ 即 bn+1= 【2026届高三考前猜题卷（一）·数学参考答案与详解第9页】 所州一中 专用 又 3-11 3+1=2 所以 =() 32 于是 a6-1 1 a5+132 解得 32a5-32=a5+1, 所以 33 a5=31 14. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0), 准线为 x=-1. 所以准线与x轴交于 D(-1,0) 设抛物线上一点的参数形式为 (,2t). 过焦点F的弦AB两端点可设为 A(t,2t), (信) 这是因为对于抛物线y=4x,过焦点的弦两端参数满足 ts=-1. 点D在以AB为直径的圆上，等价于 ∠ADB=90°， 即 DA.DB=0. 又 DA=(+1,2t), 成-（信+1，-） 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 专用 所以 e+(层+)+2()=0 整理得 +2+-1=0， 即 +0-2-0 所以 (-)-0 从而 t=土1 当t=1时， A(1,2), B(1,-2): 因此 |AB=4. 四、解答题 15.答案：（(1)证明见下；(2)△ABC的周长为6。 (1)因为 A+B+C=π， 所以 sin C=sin(A+B). 由题意 sin C=2sin Acos B. 得 sin(A+B)=2sin A cos B. 展开左边： sin Acos B+cos Asin B=2sin A cos B. 整理得 cos Asin B=sin A cos B. 所以 sin B cos A-sin Acos B=0, 即 sin(B-A)=0. 又因为A,B为三角形内角，故 -π<B-A<π. 因此 B-A=0, 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第11页】 所州一中 即 A=B. (2)由(1)知 A=B, 所以 a =b. 又c=2,且△ABC的面积为√。以边AB为底边时，其对应高为 h=25=2y3 2 因为a=b,所以顶点C到AB的垂线平分AB。于是半底长为 分=1 故 a=b=V12+(w3)2=2. 所以三角形周长为 a+b+c=2+2+2=6. 16. 答车（四）a=n+分(2)f)=n2+3+D 6 (1)由题意 (n+1)an+1=nan+2n+1. 令 on nan. 则 bn+1=bn+2m+1. 又 b1=1·a1=2. 所以 bn=b1+∑2k+1). k=1 即 1 bn=2+∑(2k+1), k=1 计算得 2k+1)=2.n,1m+n-1)=a-1m+1. n-1 k=1 2 因此 bn=2+(m-1)(n+1)=n2+1. 于是 nan n2+1, 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 专用 所以 On=n 2 (2)由 f(x)=ax+a2x2+...+anxm 得 f'()=a +2a2x+...+nanzn-1, 所以 f'0=∑a k=1 由(1)知 a=k+ 1 故 kak =k2 +1. 因此 f')=∑k2+1)=∑2+n. k=1 k 所以 fu)=m+2n+1)+n. 6 整理得 f1=n2m2+3n+7) 6 17.答案：(1)证明见下；(2)平面CDE与平面ABC所成二面角的正弦值为 5V29 29° 以A为原点，分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,之轴，建立空间直角坐标系。 由题意可取 A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0) A1(0,0,2),B1(2,0,2), C1(0,2,2) 因为D为BB1的中点，E为A1C1的中点，所以 D(2,0,1), E(0,1,2): (1)有 D它=(-2,1,1)： 平面ABC1中， AB=(2,0,0), AC=(0,2,2). 设平面ABC1的一个法向量为 n1=(0,-1,1). 则 n1·AB=0,n1AC=0, 所以几1确为平面ABC1的法向量。 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第13页】 州一中 又 n1·D2=(0,-1,1)(-2,1,1)=0. 因此 DE‖平面ABC. (2)平面ABC即平面之=0，其一个法向量可取为 no=(0,0,1). 在平面CDE中， C=(2,-2,1), C立=(0，-1,2)： 设平面CDE的一个法向量为 n2 CD x CB. 计算得 n2=(-3,-4,-2). 于是 n2=V(-3)2+(-4)2+(-2)2=V29. 设平面CDE与平面ABC所成二面角为0，则 C0s0= n2·nol2 n2no V29 所以 sin0=V1-cos20=V1-29= 55V29 V2929 18.答案：(1)M的轨迹方程为y=2(x-1);(2)AB min=4,当l:x=1时取等。 抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F(1,0). (1)先考虑直线1不垂直于x轴的情形。设过焦点F的直线为 y=k(x-1): 代入抛物线方程y2=4x,得 k2(x-1)2=4x. 整理为 k22-(2k2+4)x+k2=0. 设交点A,B的横坐标分别为c1,x2,则 22+4=2+ 4 x1+x2= 2 所以中点M的横坐标为 1+2=1+2 2 TM= 2 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第14页】 忻州一中 专用 又因为 =k(x-1)(i=1,2), 所以 w=Mw-1)=~后-号 于是 6=是=2aw-1 因此点M满足 y2=2(x-1). 当1垂直于x轴时，1：x=1,此时交点为 (1,2), (1,-2), 中点为 M(1,0), 也满足 y2=2(x-1) 故M的轨迹方程为 y2=2(x-1). (2)当1：y=(x-1)时，由上面的二次方程可知 4 1+2=2+ X1x2=1. 所以 a-=a+gP-西=（+)°-4 即 (-2）2=162+1) 4 由于 -2=k(x1-x2), 故 |AB|=V(c1-2)2+(h-2)卫=V1+2c1-x2. 所以 AB-+平-4+是>4 k2 当1：x=1时，交点为 (1,2), (1,-2), 此时 |AB=4. 因此弦AB长度的最小值为 4 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第15页】 忻州一中 专用 当且仅当 1:x=1 时取得。 1 19. 答案：()当0<a<与时，先增后减：当a≥2时，单调递减。详见下文。(2)最大 值为 -a+lm(2a:(3)入mm=2 4a (1)由 f(x)=x-In(1+x)-ax2 得 f()=1-1+ 1 -2ax. 整理得 =千-2=（-2 由于 x>0, 所以f'(x)的符号由 1 1+2 决定。 若 2 则对任意x>0, 1 1+x <1≤2a, 所以 f'(x)<0. 因此f(x)在(0，+o∞)上单调递减。 若 。1 0<a<2 令 1 .-2a=0. 1+ 得 -1=1-2a 2a 记 1-2a 0= 2a 当 0<x<x0 时， f'(x)>0: 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第16页】 所州一中 专用 当 x>Xo 时， f'(x)<0. 因此f(x)在 上单调递增，在 (0+ 上单调递减。 (2)当 1 0<a<2 时，由(1)知，f(x)在 1-2a 2o=2a 处取得最大值。 又 1+t0=2a 因此 f(co)=0-ln(1+o）-a哈. 代入 1-2a x0= 2a 得 1 w-a6=0-a 所以 iao- 1 --a- 12a 即 f(eo）=4 1 -a+ln(2a). 故f(x)在(0，+o∞)上的最大值为 1 4a -a+n(2a). (3)要使对任意x>0,都有 x-ln(1+x)≤λx2, 等价于 x-1n(1+x)-λx2≤0 对任意x>0恒成立。 记 F(x)=x-ln(1+x)-λx2. 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第17页】 忻州一中 专用 若 1 入22 由(1)可知，F(x)在(0，+∞)上单调递减。又 lim F(x)=0, T-U 所以对任意x>0, F(x)<0. 因此入≥2时，不等式恒成立。 0天A号 由(2)可知，F(x)的最大值为 元-入+n(2. 1 设 )+n2. 0<A< 则 )=品-1+ 12-2<0 42 又 limp(入)=0， 入→号 所以当 0<A<日 时， ()>0. 因此此时存在x>0,使得 F(x)>0, 不等式不能恒成立。 若 入≤0， 由于 x-ln(1+x)>0(x>0), 而 入x2≤0， 不等式显然不可能对任意x>0成立。 综上，满足条件的入的最小值为 1 入min=2° 【2026届高三考前猜题卷（一)·数学参考答案与详解第18页】 忻州一中 扣用