5.2 分式的运算 导学案 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦“5.2分式的运算”，涵盖分式乘除、乘方、加减及混合运算，结合通分、约分等核心知识点。通过梳理运算法则、分解步骤搭建学习支架，引导学生从分式基本性质过渡到复杂运算，形成完整知识脉络。 资料特色在于系统整合与分层设计，以实际问题（如景观灯耗电、绿化用水）培养应用意识，易错点提示强化运算能力，新定义运算题发展推理意识，助力学生构建知识体系，提升数学思维与表达能力。

5.2分式的运算 考点1: 分式的乘除法与乘方 1. 分式的乘除法与乘方 运算 法则 字母表示 乘法 两个分式相乘，用分子相乘得到的积作为分子，分母相乘得到的积作为分母，能约分的先约分. ·＝ 除法 两个分式相除，将除数的分子和分母颠倒位置，再与被除式相乘. ÷＝·＝ 乘方 分式的乘方要把分子、分母分别乘方 ()n＝ (n是正整数) 2. 分式的乘除混合运算 (1)分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算 (2)分式的乘除混合运算的步骤： ①将乘除运算统一化成乘法运算；②能因式分解的先因式分解，再约分化简；③结果化为最简分式或整式. · ①分式乘除的运算结果要通过约分化为最简分式或整式. ②进行分式的乘法运算时，如果分式的分子、分母是多项式，那么要把分子、分母分别作为一个整体放到括号里参与运算. ③分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序类似，按照从左到右的顺序运算，有括号时先算括号里面的. ④分式的乘除混合运算要注意对各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号. ⑤分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式. 考点2: 同分母分式的加减 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 字母表示：±＝ · ①“把分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减，当减式的分子是多项式时要加括号，避免产生符号错误. ②分式加减运算的结果要化成最简分式或整式. 考点3: 最简公分母与通分 1. 最简公分母：一般取各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积作为几个分式的公分母，这样的公分母叫作最简公分母 2. 确定最简公分母的方法： (1)若分母是单项式，应取各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母； (2)若分母是多项式，应先进行因式分解，再取各项系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. · 确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 3. 分式的通分 定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 步骤：(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解； (2)确定最简公分母； (3)将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母. · 约分和通分的联系与区别： 约分 通分 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，不改变分式的值 区别 针对一个分式而言，将分式进行化简 针对多个分式而言，将几个异分母分式化为同分母分式 考点4: 异分母分式的加减 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 字母表示：±＝±＝ 考点5: 分式的混合运算 分式的混合运算和有理数的混合运算类似，要按运算顺序进行运算，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时，要先算括号里面的.另外，在运算中，如果能运用运算律，那么要尽量运用运算律简化运算. · 进行分式的混合运算时，先将分式的乘除法统一化成乘法，分式的加减法统一化成加法，再运用乘法运算律、加法运算律简化运算. 练习1. 1. 下列约分正确的是( ). A．＝x3 B．＝ C．＝0 D．＝－1 2. 下列各分式中，是最简分式的是( ). A． B． C． D． 3. 与分式－的值相等的是( ). A． B．－ C． D． 4. 下列各式计算错误的是( ). A．·＝－ B．÷＝ C．÷(a2－ab)＝ D．(－a3)÷＝b 5. 在计算＋通分时，分母确定为( ). A．1＋2x＋x2 B．2(x＋1)2 C．2x＋21 D．x＋1 6. 已知A＝÷，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是( ). 甲：A的计算结果为；乙：当x＝－3时，A＝2；丙：当0＜x＜3时，A的值为正数 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 7. 公园普通景观灯a天耗电m千瓦．改用LED节能景观灯后，同样m千瓦的电量可多用5天．普通景观灯每天的耗电量是LED节能景观灯每天耗电量的 倍． 8. 绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为 ． 9. 分式的值是整数，则正整数m的值等于 ． 10. 已知x为整数，且分式的值是整数，x所有可能值是 ． 11. 分式和的最简公分母是 12. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果y4＝ ． 13. 先化简再求值：(－x＋1)÷，其中x＝1． 14. 化简并求值：·÷()3，其中x＝3． 15. 对a，b定义定义一种新运算M，规定M(a，b)＝，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M(2，3)＝＝－12． (1)化简：M(2x，1)÷； (2)若令y＝M(x＋，x－)，且2x2＋2x－1＝0，求y的值． 巩固练习： 1. 计算·的结果是( ). A. B.－ C. D.－ 2. ÷的计算结果为( ). A． B． C． D． 3. 若x为正整数，则计算·的结果是( ). A．正整数 B．负整数 C．非负整数 D．非正整数 4. 下列计算正确的是( ). A．() 2＝ B．()2＝ C．()3＝ D．()2＝ 5. 计算－＋的结果是(　 　)． A. 0 B. C. D. 6. 若x和y互为倒数，则(x＋)(2y－)的值是(　 　)． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝(g为常数)，人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R．天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的(　 　)． A．倍 B．倍 C．25倍 D．4倍 8. 老师在黑板上写了一个分式的除法计算题，如图，用手遮住了一部分，让同学们通过计算求出被遮住部分的式子，则被遮住的式子是 .  9. 先化简，再求值：(x＋2＋)÷，中x是满足条件x≤2的合适的非负整数. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2分式的运算 考点1: 分式的乘除法与乘方 1. 分式的乘除法与乘方 运算 法则 字母表示 乘法 两个分式相乘，用分子相乘得到的积作为分子，分母相乘得到的积作为分母，能约分的先约分. ·＝ 除法 两个分式相除，将除数的分子和分母颠倒位置，再与被除式相乘. ÷＝·＝ 乘方 分式的乘方要把分子、分母分别乘方 ()n＝ (n是正整数) 2. 分式的乘除混合运算 (1)分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算 (2)分式的乘除混合运算的步骤： ①将乘除运算统一化成乘法运算；②能因式分解的先因式分解，再约分化简；③结果化为最简分式或整式. · ①分式乘除的运算结果要通过约分化为最简分式或整式. ②进行分式的乘法运算时，如果分式的分子、分母是多项式，那么要把分子、分母分别作为一个整体放到括号里参与运算. ③分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序类似，按照从左到右的顺序运算，有括号时先算括号里面的. ④分式的乘除混合运算要注意对各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号. ⑤分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式. 考点2: 同分母分式的加减 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 字母表示：±＝ · ①“把分子相加减”是指把各个分式的“分子的整体”相加减，当减式的分子是多项式时要加括号，避免产生符号错误. ②分式加减运算的结果要化成最简分式或整式. 考点3: 最简公分母与通分 1. 最简公分母：一般取各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积作为几个分式的公分母，这样的公分母叫作最简公分母 2. 确定最简公分母的方法： (1)若分母是单项式，应取各项系数的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积作为最简公分母； (2)若分母是多项式，应先进行因式分解，再取各项系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作为最简公分母. · 确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 3. 分式的通分 定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 步骤：(1)将所有分式的分母化为乘积的形式，当分母为多项式时，应进行因式分解； (2)确定最简公分母； (3)将分子、分母同乘一个因式，使分母变为最简公分母. · 约分和通分的联系与区别： 约分 通分 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，不改变分式的值 区别 针对一个分式而言，将分式进行化简 针对多个分式而言，将几个异分母分式化为同分母分式 考点4: 异分母分式的加减 法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算. 字母表示：±＝±＝ 考点5: 分式的混合运算 分式的混合运算和有理数的混合运算类似，要按运算顺序进行运算，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时，要先算括号里面的.另外，在运算中，如果能运用运算律，那么要尽量运用运算律简化运算. · 进行分式的混合运算时，先将分式的乘除法统一化成乘法，分式的加减法统一化成加法，再运用乘法运算律、加法运算律简化运算. 练习1. 1. 下列约分正确的是( D ). A．＝x3 B．＝ C．＝0 D．＝－1 2. 下列各分式中，是最简分式的是( A ). A． B． C． D． 3. 与分式－的值相等的是( C ). A． B．－ C． D． 4. 下列各式计算错误的是( D ). A．·＝－ B．÷＝ C．÷(a2－ab)＝ D．(－a3)÷＝b 5. 在计算＋通分时，分母确定为( B ). A．1＋2x＋x2 B．2(x＋1)2 C．2x＋21 D．x＋1 6. 已知A＝÷，关于甲、乙、丙的说法，下列判断正确的是( C ). 甲：A的计算结果为；乙：当x＝－3时，A＝2；丙：当0＜x＜3时，A的值为正数 A．乙错，丙对 B．甲和乙都对 C．甲对，丙错 D．甲错，丙对 7. 公园普通景观灯a天耗电m千瓦．改用LED节能景观灯后，同样m千瓦的电量可多用5天．普通景观灯每天的耗电量是LED节能景观灯每天耗电量的 倍． 8. 绿化队原来用浸灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，那么现在比原来每天节约用水的吨数为 ． 9. 分式的值是整数，则正整数m的值等于 2或3或5 ． 10. 已知x为整数，且分式的值是整数，x所有可能值是 0或－2或－3 ．． 11. 分式和的最简公分母是 18a2b2 12. 有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行，这种运算的过程如下：    则第4次运算的结果y4＝ ． 13. 先化简再求值：(－x＋1)÷，其中x＝1． 解：，3 14. 化简并求值：·÷()3，其中x＝3． 解：x2，9 15. 对a，b定义定义一种新运算M，规定M(a，b)＝，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M(2，3)＝＝－12． (1)化简：M(2x，1)÷； (2)若令y＝M(x＋，x－)，且2x2＋2x－1＝0，求y的值． 解：(1)－2x；(2)－. 巩固练习： 1. 计算·的结果是( C ). A. B.－ C. D.－ 2. ÷的计算结果为( B ). A． B． C． D． 3. 若x为正整数，则计算·的结果是( C ). A．正整数 B．负整数 C．非负整数 D．非正整数 4. 下列计算正确的是( C ). A．() 2＝ B．()2＝ C．()3＝ D．()2＝ 5. 计算－＋的结果是(　B　)． A. 0 B. C. D. 6. 若x和y互为倒数，则(x＋)(2y－)的值是(　B　)． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f＝(g为常数)，人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R．天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的(　B　)． A．倍 B．倍 C．25倍 D．4倍 8. 老师在黑板上写了一个分式的除法计算题，如图，用手遮住了一部分，让同学们通过计算求出被遮住部分的式子，则被遮住的式子是 　.  9. 先化简，再求值：(x＋2＋)÷，中x是满足条件x≤2的合适的非负整数. 解：原式＝. ∵x是满足条件x≤2的非负整数，且x≠0，2，∴x＝1.当x＝1时，原式＝－1. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $