5.3分式方程（第3课时分式方程的应用）（导学案）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学导学案聚焦分式方程的应用，引导学生理解数量关系并列出分式方程解决实际问题。通过知识回顾解分式方程步骤与增根概念，结合行程、工程等应用题公式引入，搭建从解分式方程到实际应用的学习支架。 资料以自主探究与合作训练结合，分题型设计行程、工程、商品销售问题，引导学生用数学眼光发现等量关系，用数学思维推理列方程，强化双重检验，培养模型意识与应用意识，提升解决实际问题能力。

5.3分式方程 导学案 第3课时 分式方程的应用 1.理解数量关系正确列出分式方程。 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 学习重点：找等量关系，列分式方程解应用题。 学习难点：复杂情境中确定等量关系；落实双重检验。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.解分式方程的基本思路： 是将分式方程化为 方程，具体做法是“ ” ，即方程两边同乘 . 2.使原分式方程的分母为零的根称为原方程的 ． 3.解分式方程一般步骤: (1) ，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）; (2)解这个整式方程，得到方程的根. (3) ：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (4)结论 ：确定分式方程的解. 情景引入 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有4种： （1）行程问题： 路程=速度× ； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： 工作量=工时× ； （4）利润问题：利润= ﹣进价（成本）利润=总收入﹣ 利润率= ×100% 新知自研：自研课本第145--146页的内容． 【学法指导】 自研课本P145-146页例题上面的内容，思考： ●探究点：分式方程的应用 ◆1.尝试交流 某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? 解： 出租房屋的间数= . （2）根据这一情境你能提出哪些问题? （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 解：(3)设第一年每间房屋的租金为x元,则第二年每间房屋的租金为 元． 列方程得 , 方程两边乘 ，得 ． 解这个方程，得 ． 经检验 是原方程的根， 所以 ． 答:第一年每间房屋的租金为 元，则第二年每间房屋的租金为 元. ◆2.新知归纳 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出 ； （2）设：设未知数（要有单位）； （3）列：依据等量关系，列出相应的 ； （4）解：解方程； （5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意； （6）答：写出答案（要有单位）． ◆3.例题探究 例：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工 300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工 120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 分析：①问题中有怎样的等量关系？ 解：等量关系: 师傅每天加工这种工艺品的个数=徒弟每天加工这种工艺品的个数+ , 师傅加工 个这种工艺品所用的时间= ×徒弟加工 个这种工艺品所用的时间. ②如何分别用代数式表示师傅加工 300个这种工艺品、徒弟加工 120 个这种工艺品所用的时间? 解：若设徒弟每天加工这种工艺品x个, 则师傅加工300个这种工艺品所用的时间用代数式表示为 ， 徒弟加工120个这种工艺品所用的时间用代数式表示为 解:设徒弟每天加工这种工艺品x个,则师傅每天加工这种工艺品 个， 根据题意，得 解这个方程，得 . 经检验， 是所列方程的根. 师傅加工： 所以，师傅每天加工这种工艺品 个，徒弟每天加工这种工艺品 个. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 小吉和小林从同一地点出发跑800m，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40s到达终点。求小林跑步的平均速度。 例2 某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后很快售完．于是商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，但第二批最后150件按八折销售，也全部售完．问：在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何利用分式方程解决实际问题； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点.. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(　　) A.-=40 B.-=40 C.-=40 D.-=40 2.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　) A.−=3 B.−=3 C. −=3 D.−=3 3.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，可列出方程_______. 4.小王家距上班地点18千米,他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米.他从家出发到达上班地点,用乘公交车方式所用时间是用自驾车方式所用时间的.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶　　 千米.  5.为做好复工复产，某工厂用A,B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg，且A型机器人搬运1200 kg所用时间与B型机器人搬运1000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 6.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A的平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度.  7.某服装店购进A,B两种品牌的儿童服装,已知每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元,用2000元购进A品牌服装数量是用750元购进B品牌服装数量的2倍. (1)求A,B两种品牌服装每套的进价分别为多少元; (2)A品牌服装每套的售价为130元,B品牌服装每套的售价为95元.若服装店老板计划购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套,两种服装全部售出后,总获利超过1200元,则最少购进A品牌服装多少套? 题型一：分式方程的行程问题 1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 2．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 3．A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 4．从徐州到某地可乘普通列车，路程是，也可乘坐高铁，路程是．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用．求高铁行驶的平均速度． 5．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 题型二：分式方程的工程问题 6．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 7．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 8．为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 9．某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 10．为响应国家“发展新质生产力”的号召，某高科技公司计划将一批工业机器人投入智能化生产线．已知旧生产线由工人操作，每天生产的产品数量是固定的；新生产线由机器人操作，其生产效率比旧生产线高．若先用旧生产线单独工作3天，剩下的由新生产线单独完成，则总共需要9天才能完成该订单． 根据以上信息，解答下列问题： (1)旧生产线单独完成这批订单需要多少天？ (2)现计划由旧生产线、新生产线共同完成这批订单，若旧生产线每天所需费用为万元，新生产线每天所需费用为2万元，求在总费用不超万元的情况下，公司最多安排新生产线工作多少天？ 题型三：分式方程的商品销售问题 11．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 12．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 13．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，本次航天日的主题“海上生明月，九天揽星河”这一主题寓意人类共享宇宙探索成果，彰显中国航天和平利用外层空间，推动构建人类命运共同体的理念，某航天纪念品网店中，一个“天宫”空间站模型比一个“祝融号”火星探测器模型销售单价多30元，某天该网店卖出“天宫”空间站模型的销售额为2400元，“祝融号”火星探测器模型销售额为1500元，且销售的数量相等． (1)求“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是多少元？ (2)若某学校要购买该网店的上述两个模型共50个，且“天宫”空间站模型的数量不低于“祝融号”火星探测器模型的一半．求该学校最少花费多少元？ 14．某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 15．年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． ▲1、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出 ； （2）设：设未知数（要有单位）； （3）列：依据等量关系，列出相应的 ； （4）解：解方程； （5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意； （6）答：写出答案（要有单位）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3分式方程 导学案 第3课时 分式方程的应用 1.理解数量关系正确列出分式方程。 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 学习重点：找等量关系，列分式方程解应用题。 学习难点：复杂情境中确定等量关系；落实双重检验。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 知识回顾 1.解分式方程的基本思路： 是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” ，即方程两边同乘最简公分母. 2.使原分式方程的分母为零的根称为原方程的增根． 3.解分式方程一般步骤: (1)去分母，化为整式方程（方程两边各项乘以最简公分母）; (2)解这个整式方程，得到方程的根. (3)检验：判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解. (4)结论 ：确定分式方程的解. 情景引入 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有4种： （1）行程问题： 路程=速度×时间； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： 工作量=工时×工效； （4）利润问题：利润=售价﹣进价（成本）利润=总收入﹣总支出 利润率=×100% 新知自研：自研课本第145--146页的内容． 【学法指导】 自研课本P145-146页例题上面的内容，思考： ●探究点：分式方程的应用 ◆1.尝试交流 某单位将沿街的一部分房屋出租．每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元． （1）你能找出这一情境中的等量关系吗? 解： 出租房屋的间数=. （2）根据这一情境你能提出哪些问题? 解：①求出租房屋的总间数； ②分别求出这两年每间房屋的租金. （3）你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗? 解：(3)设第一年每间房屋的租金为x元,则第二年每间房屋的租金为(x＋500)元． 列方程得=, 方程两边乘x(x＋500)，得 96(x＋500)＝102x． 解这个方程，得 x=8000． 经检验 x=8000是原方程的根， 所以x＋500=8500． 答:第一年每间房屋的租金为8000元，则第二年每间房屋的租金为8500元. ◆2.新知归纳 列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系； （2）设：设未知数（要有单位）； （3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程； （4）解：解方程； （5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意； （6）答：写出答案（要有单位）． ◆3.例题探究 例：师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工 300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工 120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。 分析：①问题中有怎样的等量关系？ 解：等量关系: 师傅每天加工这种工艺品的个数=徒弟每天加工这种工艺品的个数+10, 师傅加工300个这种工艺品所用的时间=2×徒弟加工120个这种工艺品所用的时间. ②如何分别用代数式表示师傅加工 300个这种工艺品、徒弟加工 120 个这种工艺品所用的时间? 解：若设徒弟每天加工这种工艺品x个, 则师傅加工300个这种工艺品所用的时间用代数式表示为， 徒弟加工120个这种工艺品所用的时间用代数式表示为. 解:设徒弟每天加工这种工艺品x个,则师傅每天加工这种工艺品(x+10)个， 根据题意，得 =2×. 解这个方程，得x=40. 经检验，x=40 是所列方程的根. 师傅加工：40+10=50 所以，师傅每天加工这种工艺品50个，徒弟每天加工这种工艺品 40个. 【例题导析】 自研下面的例1和例2的内容，回答问题： 例1 小吉和小林从同一地点出发跑800m，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40s到达终点。求小林跑步的平均速度。 解:设小林跑步的平均速度为xm/s，则小吉的平均速度为 1.25x m/s. 由题意得 −=40, 解得 x=4， 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意。 答:小林跑步的平均速度为4m/s。 例2 某商厦进货员预测一种应季衬衫能够畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后很快售完．于是商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，但第二批最后150件按八折销售，也全部售完．问：在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？ 解:设第一批进价为x元/件，则第二批进价为（x+4)元/件. 根据题意，得 =2× 解这个方程，得x=40．经检验x=40是原方程的根． ∴第一批购进80000÷40=2000（件），第二批购进2×2000=4000（件）， （2000+4000-150）×58+150×58×0.8-80000-176000=90260（元） 答：商厦共盈利90260元. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨如何利用分式方程解决实际问题； B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，强调易错点.. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务,为了迎接雨季的到来,实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%,结果提前40天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,则下面所列方程中正确的是(　　) A.-=40 B.-=40 C.-=40 D.-=40 解：A 2.几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊3元车费，若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　) A.−=3 B.−=3 C. −=3 D.−=3 解：A 3.某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，可列出方程_______. 解：= 4.小王家距上班地点18千米,他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米.他从家出发到达上班地点,用乘公交车方式所用时间是用自驾车方式所用时间的.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶　　 千米.  解：27． 5.为做好复工复产，某工厂用A,B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg，且A型机器人搬运1200 kg所用时间与B型机器人搬运1000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 解：设B型机器人每小时搬运x kg原料,则A型机器人每小时搬运(x+20)kg原料. 依题意,得=, 解得x=100. 经检验,x=100是原方程的根,且符合题意, ∴x+20=120. 故A型机器人每小时搬运120 kg原料,B型机器人每小时搬运100 kg原料. 6.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25 km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30 km，走路线B比走路线A的平均速度提高50%，时间节省6 min，求走路线B的平均速度.  解：设走路线A的平均速度为x km/h,则走路线B的平均速度为(1+50%)x km/h. 依题意,得 −=, 解得x=50. 经检验，x=50是原方程的根,且符合题意, ∴(1+50%)x=75. 故走路线B的平均速度为75 km/h. 7.某服装店购进A,B两种品牌的儿童服装,已知每套A品牌服装进价比每套B品牌服装进价多25元,用2000元购进A品牌服装数量是用750元购进B品牌服装数量的2倍. (1)求A,B两种品牌服装每套的进价分别为多少元; 解：(1)设A品牌服装每套的进价为x元,则B品牌服装每套的进价为(x-25)元. 由题意，得 =×2， 解得x=100. 经检验,x=100是所列分式方程的根,且符合题意. x-25=100-25=75. 故A,B两种品牌服装每套的进价分别为100元,75元. (2)A品牌服装每套的售价为130元,B品牌服装每套的售价为95元.若服装店老板计划购进B品牌服装的数量比购进A品牌服装的数量的2倍还多4套,两种服装全部售出后,总获利超过1200元,则最少购进A品牌服装多少套? 解：(2)设购进A品牌服装a套,则购进B品牌服装(2a+4)套. 由题意，得 (130-100)a+(95-75)(2a+4)>1200, 解得a>16. 故最少购进A品牌服装17套. 题型一：分式方程的行程问题 1．斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．米／秒 B．米／秒 C．米／秒 D．米／秒 【答案】C 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 2．某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【答案】3 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 3．A市与甲、乙两地的距离分别为和，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地列车的速度快，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同．求从A市开往甲、乙两地列车的速度． 【答案】 从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为 【分析】本题利用“时间=路程÷速度”的关系，设出开往甲地的列车速度，再表示出开往乙地的速度，根据两地所需时间相等列出分式方程，求解检验后即可得到结果． 【详解】解: 设从A市开往甲地的列车速度为km/h，则从A市开往乙地的列车速度为， 根据题意得， ， 解得， 经检验 是原方程的解，且符合题意， ， 答：从A市开往甲地的列车速度为，从A市开往乙地的列车速度为． 4．从徐州到某地可乘普通列车，路程是，也可乘坐高铁，路程是．已知高铁行驶的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且从徐州乘坐高铁比乘坐普通列车少用．求高铁行驶的平均速度． 【答案】高铁行驶的平均速度是300千米/时． 【分析】设普通列车的平均速度是千米/时，根据题意列分式方程求解． 【详解】解：设普通列车的平均速度是千米/时， 则， 解得： 经检验，是原方程的解， ， 答：高铁行驶的平均速度是300千米/时． 5．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 题型二：分式方程的工程问题 6．为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产50台机器，改造后生产600台机器所需时间与改造前生产400台机器所需时间相同．则改造后每天生产的机器台数为（   ） A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，设改造后每天生产的机器台数为未知数，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合改造前后生产对应数量机器的时间相同列分式方程求解，最后检验并得到答案． 【详解】解：设改造后每天生产的机器台数为，则改造前每天生产台，根据题意得， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， ∴改造后每天生产的机器台数为150. 故选：B． 7．随着人工智能的快速发展，某快递站使用机器人分拣小型包裹，其效率是人工分拣的4倍，且机器人分拣3200件小型包裹比人工分拣1600件小型包裹少用，则人工每小时分拣小型包裹的数量为_________件． 【答案】400 【分析】设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹，根据时间差关系列分式方程求解，最后检验方程的解即可. 【详解】解：设人工每小时分拣件小型包裹，则机器人每小时分拣件小型包裹． 根据题意，得 去分母，得 合并同类项，得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义． 8．为缩短两江新区与武隆之间的距离，武隆凤来大溪河特大桥正在建设中，甲、乙两个工程队承建了该项目中的一段2400米的桥梁施工任务．计划现由甲工程队单独施工6个月后，剩下的施工任务由甲、乙两个工程队合作2个月完成，已知甲工程队每月的计划的施工量比乙工程队每月的计划的施工量多200米． (1)甲、乙两工程队每月各计划施工多少米？ (2)在实际施工中，甲工程队先单独施工了若干个月后，被调往其它工程项目，剩下的施工任务由乙工程队单独完成，甲、乙工程队共用10个月完成了该项目，若这段道路施工任务的总施工费用是420万元，已知乙工程队的总施工费用为120万元，甲工程队每月的施工费用是乙工程队每月施工费用的倍，则甲工程队每月的施工费用是多少万元？ 【答案】(1)甲工程队计划施工280米，乙工程队计划施工80米 (2)50 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，能够正确把握题目中的等量关系是解题的关键． （1）根据题意可设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米，根据工作总量=工作时间工作效率，即可列式求解； （2）根据题意可设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元，根据工作时间=工作总量工作效率，即可列式求解． 【详解】（1）解：设乙工程队计划每月施工米，则甲工程队计划每月施工米， 由题意得，， 解得， ， 则甲工程队计划每月施工280米，乙工程队计划每月施工80米； （2）解：设乙工程队每月施工费用为万元，则甲工程队每月施工费用为万元， 由题意得，， 解得， 经检验符合题意， 则， 即甲工程队每月施工费用为50万元． 9．某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 【答案】(1)甲队单独完成这项过程需要25天，则乙队单独完成这项工程需要20天 (2)万元 【分析】（1）设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天， 然后根据题意列分式方程求得x的值，再求得的值即可解答； （2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天，  根据题意，得， 解得，  经检验，是原方程的解，且符合题意，  则，  答：甲队单独完成这项工程需要25天，乙队单独完成这项工程需要20天． （2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，  则有，  解得．  因为不足一天的按一天计算， 所以工期为12天． 所以需要施工费用：（万元）．  答：需要的施工预算总费用是万元． 10．为响应国家“发展新质生产力”的号召，某高科技公司计划将一批工业机器人投入智能化生产线．已知旧生产线由工人操作，每天生产的产品数量是固定的；新生产线由机器人操作，其生产效率比旧生产线高．若先用旧生产线单独工作3天，剩下的由新生产线单独完成，则总共需要9天才能完成该订单． 根据以上信息，解答下列问题： (1)旧生产线单独完成这批订单需要多少天？ (2)现计划由旧生产线、新生产线共同完成这批订单，若旧生产线每天所需费用为万元，新生产线每天所需费用为2万元，求在总费用不超万元的情况下，公司最多安排新生产线工作多少天？ 【答案】(1)旧生产线单独完成整批订单需要12天 (2)公司最多安排新生产线工作4天 【分析】（1）设旧生产线单独完成整批订单需要x天，则旧生产线的工作效率为，结合题意可得，再进一步求解即可； （2）由（1）得旧生产线的工作效率为，新生产线的效率为，设公司安排新生产线工作天，则旧生产线工作天，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设旧生产线单独完成整批订单需要x天，则旧生产线的工作效率为 根据题意，新生产线的效率比旧生产线高，故新生产线的效率为， 旧线工作3天，新线工作（天）， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解． 答：旧生产线单独完成整批订单需要12天． （2）解：由（1）得旧生产线的工作效率为，新生产线的效率为， 设公司安排新生产线工作天，则旧生产线工作（天）， 根据题意，得， 解得， 答：公司最多安排新生产线工作4天． 题型三：分式方程的商品销售问题 11．为贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯．某校第一批为各班用400元购进跳绳，接着又用450元购进第二批跳绳，已知第二批跳绳数是第一批跳绳数的倍，且第二批每根跳绳进价比第一批的进价少5元，求第二批跳绳每根的进价是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用．设第二批跳绳每根的进价为x元，则第一批进价为元．根据第二批跳绳数是第一批的1.5倍，列出方程求解． 【详解】设第二批跳绳每根的进价为元，则第一批跳绳每根的进价为元． ∵第一批跳绳数量为根，第二批跳绳数量为根， 且第二批跳绳数是第一批的1.5倍， 根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴第二批跳绳每根的进价是15元． 故选：B． 12．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 【答案】60 【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可. 【详解】解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元. 第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒. ∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍， ∴， 交叉相乘化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元. 13．2025年4月24日是第十个“中国航天日”，本次航天日的主题“海上生明月，九天揽星河”这一主题寓意人类共享宇宙探索成果，彰显中国航天和平利用外层空间，推动构建人类命运共同体的理念，某航天纪念品网店中，一个“天宫”空间站模型比一个“祝融号”火星探测器模型销售单价多30元，某天该网店卖出“天宫”空间站模型的销售额为2400元，“祝融号”火星探测器模型销售额为1500元，且销售的数量相等． (1)求“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是多少元？ (2)若某学校要购买该网店的上述两个模型共50个，且“天宫”空间站模型的数量不低于“祝融号”火星探测器模型的一半．求该学校最少花费多少元？ 【答案】(1)“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元 (2)3010元 【分析】（1）设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个，列出函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设“祝融号”火星探测器模型每个售价是元，则“天宫”空间站模型每个售价为元， 由题意得，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：“天宫”空间站模型和“祝融号”火星探测器模型每个售价分别是80元和50元． （2）解：设购买“天宫”空间站模型个，则购买“祝融号”火星探测器模型为个， 根据题意得，解得， 设该学校需花费元， 根据题意得： ， ， 随的增大而增大， 为整数， 的最小值为17， 当时，有最小值 ， 答：该学校最少需花费3010元． 14．某学校为了全面落实劳动教育，决定开设校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种劳动工具．已知甲种工具的单价比乙种工具的单价少10元，且用300元购买甲种工具的数量与用500元购买乙种工具的数量相等． (1)求甲、乙两种工具的单价． (2)若该校计划购买甲、乙两种工具共80件，且甲种工具的数量不超过乙种工具数量的3倍．求购买这批劳动工具所需的最低费用． 【答案】(1) 甲种工具的单价是元，乙种工具的单价是元 (2) 购买这批劳动工具所需的最低费用是元 【分析】 （1）设甲种工具的单价为元，根据题意表示出乙种工具的单价，再根据两种工具购买数量相等列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设购买甲种工具件，总费用为元，列出总费用关于的一次函数解析式，再根据甲种工具数量的限制条件列不等式求出的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最低费用. 【详解】（1） 解：设甲种工具的单价是元，则乙种工具的单价是元，依题意得 ，解得； 经检验：是原分式方程的解； 当时，； 答：甲种工具的单价是15元，乙种工具的单价是25元； （2）解：设购买甲种工具件，则购买乙种工具件，所需总费用为元，依题意得 ，， 解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为（元）； 答：购买这批劳动工具所需的最低费用是1400元. 15．年春节，智能健康手表成为热门“孝心年货”，其中、两款手表深受市民喜爱．某商店专营该两款手表，已知款手表的进价比款手表每块多元．该商店用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等． (1)求款、款手表每块的进价分别为多少元？ (2)该商店计划购进这两款手表(两种都要购进）共块，且进货总费用不超过元．已知每块款手表利润元，每块款手表利润元．求全部售出后可获得的最大总利润． 【答案】(1)款手表每块进价元，款手表每块进价元 (2)元 【分析】（1）设款手表每块进价元，款手表每块进价元，根据“用元购进款手表的数量，与用元购进款手表的数量相等”可列出关于的分式方程，求解并检验后可得答案； （2）设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元，根据“进货总费用不超过元”列出关于的不等式，求解后确定的取值范围；根据“每块款手表利润元，每块款手表利润元”可确定关于的一次函数，根据一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设款手表每块进价元，款手表每块进价元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴款手表每块进价元，款手表每块进价元； （2）解：设购进款手表（为正整数）块，则购进款手表块，全部售出的利润为元， ∵进货总费用不超过元， ∴， 解得：， 又∵购进款手表块， ∴， 解得：， ∴（为正整数）， 全部售出后可获得的利润为：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ∴全部售出后可获得的最大总利润为元． ▲1、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审：审清题意，了解已知量与所求量各是什么，找出等量关系； （2）设：设未知数（要有单位）； （3）列：依据等量关系，列出相应的分式方程； （4）解：解方程； （5）验：看方程的解是否满足方程和符合题意； （6）答：写出答案（要有单位）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $