第2章 第11节 函数模型及其应用——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据课标要求覆盖函数类型选择、增长速度比较、模型应用核心考点，通过知识梳理表格对比指数、对数、幂函数性质，归纳分段函数、指数衰减等常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“真题训练+模型构建+素养提升”策略，以广东佛山模拟题为例，用构建函数模型法解决实际问题图象刻画，培养数学眼光和思维。通过例3分段函数建模实例，指导学生用数学语言表达现实问题，帮助学生掌握答题技巧，教师可高效指导复习。

第2章 第11节　函数模型及其应用 2027 届高考总复习 目录索引 课表解读 课前自测 知识梳理 考点突破 课标解读　 1.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 课前自测 1.(人教A版必修第一册习题4.4第6题)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) B 解析 依题意,在2 h内,药物含量线性增加,排除A;又药物含量不可能为负值,排除D;停止注射后,药物含量指数衰减,排除C.故选B. 2.(人教A版必修第一册4.5.3节例6改编)某校拟用一种喷雾对宿舍进行消毒,需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位:毫克)与时间x(单位:时)的关系进行研究,为此收集部分数据并做了初步处理,得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系,则应选用的函数模型是(　　) A.y=ax+b B.y=a·()x+b(a>0) C.y=xa+b(a>0) D.y=ax+(a>0,b>0) B 解析 由题图可知,函数在区间(0,+∞)上单调递减,且散点分布在一条曲线附近,函数y=a·()x+b的图象为一条曲线,且当a>0时,该函数单调递减,符合题意. 3.(人教B版必修第一册3.3节例5改编)已知某产品的总成本C与年产量Q之间的关系为C=aQ2+3 000,且当年产量是100时,总成本是6 000.设该产品年产量为Q时的平均成本为f(Q),则当年产量为　　　　　时,平均成本最小. 100 解析 当Q=100时,C=6 000,代入得6 000=a·1002+3 000,解得a=,于是C=+3 000,于是f(Q)=≥2=60,当且仅当,即Q=100时,等号成立,故当年产量为100时平均成本最小. 知识梳理 1.指数、对数、幂函数模型性质的比较 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)内的单调性 单调　　  单调　　  单调　 　  增长速度 越来越　 　  越来越　 　  相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与　　　平行  随x的增大逐渐表现为与　　　　平行  随n值变化而各有不同 递增 递增 递增 快 慢 y轴 x轴 微点拨 “直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”是先慢后快,其增长速度越来越快,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”是先快后慢,其增长速度越来越缓慢. 2.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 反比例型函数 f(x)=+b(k,b为常数,k≠0) 二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数型函数 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0,且a≠1) 对数型函数 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0,且a≠1) 幂型函数 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0) 考点突破 考点一　实际问题变化过程的图象刻画 例1　(1)(2025·广东佛山模拟)如图,点P在边长为1的正方形边上运动,M是CD的中点,当点P沿A—B—C—M运动时,点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y=f(x)的图象大致是(　　) 解析 由已知得,当点P在AB上时,y=×AP×BC=,当点P在BC上时, y=AB×BC-×AB×BP-AD×DM-MC×CP=1-(x-1)-(2-x) =,当点P在CM上时,y=×AD×PM=-x)=x,据此可判断,A符合要求,B,C,D都不符合要求.故选A. (2)(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示: 根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的有(　　) A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用 B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒 C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒 ABC 解析 从图象中可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,故A正确;根据图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,故B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,故C正确;首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,故D错误.故选ABC. 规律方法　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法:先建立函数模型,再结合模型选图象. (2)验证法:根据实际问题中变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案. [对点训练1](2025·河南南阳模拟)如图,一高为H的球形鱼缸,匀速注满水所用时间为T.若鱼缸水深为h时,匀速注水所用的时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(　　) D 解析 将容器看做一个球体,在刚开始注水时,由于球体的截面积较小,对于相同的Δt时间,高度Δh的变化较大,即较大.到水注入球体的一半时,由于球体的截面积较大,h(t)的变化率较小,接近于球体的顶端时,h(t)的变化率又较大.故选D. 考点二　根据给定的函数模型解决实际问题 例2　(1)(2025·广东佛山模拟)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过8万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过8万元时,若超过多出的部分为A万元,则多出的部分按log5(2A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).如果业务员小江获得3.2万元的奖金,那么他的销售利润是(　　)万元. A.15 B.25 C.30 D.20 D 解析 由题意知,当0≤x≤8时,y=0.15x;当x>8时, y=8×0.15+log5[2(x-8)+1]=1.2+log5(2x-15), 所以y= 当0≤x≤8时,ymax=0.15×8=1.2<3.2,故小江销售利润x>8, 所以1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20,所以小江的销售利润是20万元. (2)(2025·湖北武汉二模)为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y=,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1 020万块,那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约为　　　　　万块.  (结果四舍五入保留到整数,参考数据:e-0.5≈0.61,e-0.6≈0.55,e-0.7≈0.50) 36 解析 根据题意,所给模型中y0=20,N=1 020,p=10%=0.1,x=6,则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y=,因为e-0.6≈0.55,所以y=≈36,所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块. 规律方法　根据给定函数模型解决实际问题的技巧 (1)认清给定函数模型所对应的解析式,明确其中的变量及其含义,弄清楚其中的待定系数. (2)根据已知条件,求出解析式中的待定系数. (3)分析函数模型,借助函数的性质解决相关问题. [对点训练2](2026·吉林长春模拟)氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体.500 g氡气经过散发后的剩余量A(单位:g)与散发时间t(单位:天)的关系为t=logaA+k,其中a,k为常数.在此条件下,已知 500 g氡气散发后的剩余量从250 g降到208.5 g时,散发时间增加了1天,则500 g氡气散发后的剩余量从200 g降到166.8 g时,散发时间增加了(　　) A.0.5天 B.1天 C.2天 D.5天 B 解析 由题意可知,loga208.5+k-(loga250+k)=1,即loga=loga=1,所以a=,则500 g氡气散发后的剩余量从200 g降到166.8 g时,散发时间增加了loga166.8+k-(loga200+k)=loga=loga=lo=1(天). 考点三　构建函数模型解决实际问题 例3　(2025·浙江湖州期中)生物钟是生物体内部的一个调节系统,控制着生物的日常生理活动.研究显示,人体的某些荷尔蒙(如皮质醇)在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化,从而影响人的活力和认知能力.假设人体某荷尔蒙的分泌量H(t)(单位:ng/mL)与一天中的时间t(单位:小时,以午夜0点为起点)的关系可以通过以下分段函数来描述: ●在夜间(0≤t<6),荷尔蒙分泌量保持在较低水平,可以近似为常数H(t)=a. ●在早晨(6≤t≤12),随着人醒来和太阳升起,荷尔蒙分泌量线性增加,其关系为H(t)=b(t-6)+a,当t=12时,分泌量达到最大值Hmax. ●在下午和晚上(12<t≤24),荷尔蒙分泌量逐渐降低,可以用指数衰减模型描述,即H(t)=Hmax·e-c(t-12). 已知某同学午夜时荷尔蒙分泌量为5 ng/mL,峰值分泌量为20 ng/mL. (1)求参数a,b和c的值以及函数H(t)的解析式; (2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于10 ng/mL的时长. 解 (1)根据题意得,午夜时荷尔蒙分泌量H(0)=5,所以a=5. 在早晨(6≤t≤12),荷尔蒙分泌量满足关系式H(t)=b(t-6)+a,当t=12时,分泌量达到峰值即Hmax=20,即H(12)=(12-6)b+a=20,解得b==2.5. 因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为H(t)=2.5(t-6)+5(6≤t≤12). 在下午和晚上(12<t≤24)时段,荷尔蒙分泌量满足H(t)=20·e-c(t-12), 所以H(24)=20·e-c(24-12)=5,解得c=,所以荷尔蒙分泌量为H(t)=20·(12<t≤24). 综上,荷尔蒙分泌量的函数关系为H(t)= (2)当6≤t≤12时,由H(t)=2.5(t-6)+5≥10,解得t≥8,所以8≤t≤12; 当12<t≤24时,由H(t)=20·e-c(t-12)≥10,所以, 所以-(t-12)≥ln=-ln 2, 所以t-12≤6,t≤18,所以12<t≤18. 综上,8≤t≤18,该同学一天之内荷尔蒙分泌量不少于10 ng/mL的时长为10个小时. 规律方法　选择恰当的函数模型解决问题的方法步骤 (1)根据给定的各组数据分析变量之间的变化规律及趋势,确定函数模型应该具有的性质. (2)逐一分析给出的各个函数模型,找出具有相应性质的函数模型,必要时用给出的数据进行验证. (3)利用选择的函数模型解决实际问题. [对点训练3](2025·山东烟台模拟)某新型企业为获得更大利润,需不断加大投资,若预计年利润率(利润/成本)低于10%,则该企业就考虑转型.下表显示的是该企业几年来年利润y(单位:百万元)与年投资成本x(单位:百万元)变化的一组数据: 年份 2020 2021 2022 2023 年投资成本x/百万元 3 5 9 17 年利润y/百万元 1 2 3 4 给出以下三个函数模型:①y=kx+b(k≠0);②y=abx(a≠0,b>0,b≠1); ③y=loga(x+b)(a>0,且a≠1). (1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系; (2)试判断该企业年利润为6百万元时,该企业是否要考虑转型. 解 (1)将点(3,1),(5,2)代入y=kx+b(k≠0)得解得所以y=x-,当x=9时,y=4,不符合题意; 将点(3,1),(5,2)代入y=abx,得解得 所以y=×()x=,当x=9时,y==8,不符合题意; 将点(3,1),(5,2)代入y=loga(x+b),得解得 所以y=log2(x-1),当x=9时,y=log28=3,当x=17时,y=log216=4, 故可用③来描述x,y之间的关系. (2)由log2(x-1)=6,得x=65.因为年利润率为<10%,所以该企业要考虑转型. A B C D A B C D A B C D $